第8章 第11课时 圆锥曲线中的证明、探索性问题-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第11课时　圆锥曲线中的证明、探索性问题 考点一　证明问题 　证明位置关系 [典例1]　(2023·北京卷)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，C分别为E的上、下顶点，B，D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4. (1)求E的方程； (2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD. [思维流程]　 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　证明数量关系 [典例2]　已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1，0)对称． (1)求E和Γ的标准方程； (2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|＞|AB|. [思维流程]　 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　圆锥曲线中的常见证明问题 (1)位置关系：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系：如存在定值、恒成立、相等等． 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明． [跟进训练] 1．在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点F的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过点A，B作C的切线l1，l2，且l1与l2交于点P，证明：O，P，M三点共线． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．已知圆M：(x＋2)2＋y2＝的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知定点P，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点二　探索性问题 [典例3]　已知椭圆C1：＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C1的上顶点与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点F重合，且抛物线C2经过点P(2，1)，O为坐标原点． (1)求椭圆C1和抛物线C2的标准方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与抛物线C2交于A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点，若直线PF平分∠APB，四边形OCPD能否为平行四边形？若能，求实数m的值；若不能，请说明理由． [思维流程] [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　肯定顺推法求解存在性问题 先假设满足条件的元素(点、直线、曲线、参数等)存在，用待定系数法设出，并列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线、参数等)存在；否则，元素(点、直线、曲线、参数等)不存在． [跟进训练] 3．(2023·福建厦门一模)已知椭圆Γ：＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点为F1(－2，0)． (1)求Γ的方程； (2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$课时分层作业(六十二 圆锥曲线中的证明、 探索性问题 [A组 在基础中考查学科功底] 1. 解:(1)由题意可得-=1,2a+b}=10,故a=4,b=3,所以C的方 程为=1. (2)证明:设E(42,0,G(x,yì),H(x2,y2), 当x-42时,即---1,解得y--3,则!<3. 因为双曲线的渐近线方程为y一士}x, 故当直线DE与渐近线平行时. 此时和双曲线仅有一个交点, 此时直线DE方程为y-(x-22) 令x-2,则吾,故1字#。# 则直线DE:-(x-22). ##-寸#(x-22). ##行1 得(9-2^*)+82r2x-16^-144=0, G$DHF-GDH=(22-,-)(4-, -y-(42-,-y) (x2-22,2) =2xx+2yy-62(x+x)-(y+y)+32 =#(2+)xx-(3+2+62)(x+x)+42+32 4+(49) 4+(t+-24+4-+32=一0. 2t9 2-9 所以GDHE=GF·DH, 所以GDIHElos O=GElDlo O,即 | 2. 解:(1)设圆C的方程为x2+jy{-1(u,>0,>0) 1/7 :点#,2)和#, 2)在圆C上. [3+8$=1 #-. 解得(1# &圆C的标准方程为+=1. 由概圆C的方程可知,圆C的左顶点为(-3,0),又F(号,0). ·-(-3)-4,解得p-2. '.抛物线尸的方程为②一4x (2)①证明:当m=k时,直线1:y=k(x十1),即x- y-1, 令 =n,则直线ì:x=ny-1,设P(x,yì),Q(x2,y), (x=ny-1. 由{y2-4x: 得y2-4ny+4-0, 则4=16r2-16>0,.n2>1, '.y+y=4n,yy2=4. 设抛物线尸在点P,O处的切线方程分别为x=n(y-y)+x,x=n(y-y)+x (x-n(y-y)+x. 由#y2=4 得 -4y+4ny -4x=0,'.4=16n}-16ny+ 16x-0. 又y2-4x,则4y2-16x, .16n}-16n.y+4y2-4(2n-y)2=0,则2n=y. 同理可得2n2一y2 (x=n(y-y)+x. {x-n2(y-y2)+x2. 联立两切线方程 将2n-y,2n2-y2代入, {x-_-1. 解得 ..s(1,2n). .sP-(x-1)+(v-2n)},又x=ny-1, .$P{}=(ny-2)2+(v-2n)2=(n+1)y-8ny+4n2+4. 同理可得so2-(n+1)y}-8ny+4n2+4. 2/7 一_ 要证PF·SO=O·SP{2 等价于证明y·SO=y·SP^2} '·$=(n+1)y,-8nyy+4(n+1)y,又y=4,'·$2=4(on2 +1)+y)-32n. 同理可得y·SP2-4(n+1)(v+y)-32n '.y·SO=y2sP. 即PF·$O=1o·sP^{2 ②当m=-2k时,直线l:y=k(x-2). 假设存在点T(xo.0).使直线MT,NT的倾斜角互补. 则直线MT,NT的斜率之和为0 设M(xs,y3),N(x4,y4), (y=k(x-2). #由{###)一1# 得(3k2+4)2-12k2x+12k-36-0 ..=(12k)2-4(3k+4)(12k-36)>0 即5k2+12>0恒成立. .+:-2 12-36 34,3x= 3k14, .+一0. '(-2)(x-xo)+k(x-2)(x-xo)-0 即2xx-(x+2)(x+x)+4x=0 2_ 16x72 即3{4 2-0,解得xo一, '.假设成立,即存在点T(,0),使得直线MT,NT的倾斜角互补. [B组 在综合中考查关键能力] 3. 解:(1)由题意可得=3,a+b-2,故a=1,=3.因此C的方程为 2#-1. (2)设直线PO的方程为y一kx十b(k:0),将直线PO的方程代入C的方程得(3一 3/7 3+3 #($x+x)^2-4x1= #k~3 设点M的坐标为(x,y, {VMV=3(xM-×), 则43(X×), 两式相减,得y-y=23x-3(x+x) 而y-y=(kx +-(kx+b)=k (-x2), k6+3k-kb 故23x=k(x-x)+3(x+x),解得x& k3 两式相加,得2y-(v+y)-3(x-x2), 而y+y=(kx.+b)+(kx+b)=k(x+x)+2b,故2y=k(x +x)+3(x-x)+2 因此,点M的轨迹为直线y-x,其中k为直线PQ的斜率. 若选择①②: 证明:因为PO//AB,所以设直线AB的方程为y=k(x-2),并设A(x4,y4),B (x,ys),不妨令点A在直线y-x上, (yA=K(xA-2), . (yM=K(xM-2). #得xy 而点M的坐标满足 ,故M为AB的中点,即MA一MB. 若选择①③: 证明:当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M不在直线y= 2:上,矛盾. 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为v一m(x一2)(m:0),并设A(x,y) 4/7 (yA=m(xA-2). 解得x-m3, 2m _ 因为M在AB上,且A{=AB,所以x_,_,.$ 由于点M同时在直线y-x上,故6m-3·2m^{},解得k=m.因此PO/AB 若选择②③: 证明:因为PO//AB,所以设直线AB的方程为y=k(x-2),并设A(x4,y),B (y-k(xA-2). 解得 _. 由于MAl-MB,故M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yc=-(x- xc)上. 即点M恰为AB的 中点,故点M在直线AB上. 4.解:(1)设点P的坐标为(x,), 依题意得y-x2+(y-){2}, 化简得2--, 所以W的方程为x2-y-. (2)证明:设矩形ABCD的三个顶点A,B,C在W上,则AB1BC,矩形ABCD 的周长为2(AB+BC) 设B(t,t2+),依题意知直线AB不与两坐标轴平行, 故可设直线AB的方程为y-(t2+)-k(x-),不妨设k>0, 与x2-y-联立,得x2-kx十kt-2-0, 5/7 则△=k-4(kt-*)=(k-2)>0,所以$k$ $ 设A(x,y),所以t十x=k,所以x=k-t, 所以4B=1+k^$}{x-=1+k^$}{k-2^=1+k^$}2 -k (2k21-k3+2kt+1). 所以2k2t-3+2kt+1= ((-2k2-2k)t+k-1, t<-, (2k-2k{}t+k3+1,-<t<, (②k{+2k)t-k^3+1,t> ①当2k-2k2<0,即k1时,函数y=(-2k2-2k)+-1在(-o,-|上单 调递减,函数y=(2k-2k{)+k+1在(-,l上单调递减或是常数函数(当k -1时是常数函数),函数y=(2k2十2k)1-k3十1在(,+oo)上单调递增, 所以当t-时,2k2t-+2kt十1取得最小值,且最小值为r2+1. #(62+1)21} 令/()1_{ #,1, 1×{#k 则f’()一 当1<k<2时,f()<0,当k>2时,f()>0, 所以函数f()在[1, 2)上单调递减,在(\2,+)上单调递增,所以f(k)=f 2)-3, 所以2(|AB+BC ) ②当2 k-2k>0,即0<k<1时,函数y=(-2k-2k)+k-1在(-co,-]上 单调递减,函数y=(2k-2k2)+k3十1在(-,]上单调递增,函数y=(2k2十 $k)-k+1在(,+oo)上单调递增,所以当t=一时,2k2t-3+2k+1|取 得最小值,且最小值为十k一k(1十). #&· (+1)-1^{} 6/7 21分(~1) 则g(k)= 当0<☆<时,g(h)<o,当<k<l时,g(b)→o, 所以画数g(k)在(o)上单调逃减,在(,1)上单调递增,所以g)g(5) =3. 综上,矩形ABCD的周长大于33. 7/7 第11课时　圆锥曲线中的 证明、探索性问题 考点一 考向1　典例1　解：(1)由题意可得2b＝4，e＝，a2＝b2＋c2， 解得b＝2，a2＝9，∴椭圆E的方程为＝1. (2)证明：由题意可知，A(0，2)，B(－3，0)，C(0，－2)，D(3，0)， 直线BC的方程为＝1，即2x＋3y＋6＝0. 设直线AP的方程为y＝kx＋2(k<0)，∴N. 联立消去y并整理，得(4＋9k2)x2＋36kx＝0， 解得x＝0或x＝－，∴P. 直线PD的方程为y＝(x－3)， 即y＝(x－3)， 与2x＋3y＋6＝0联立，解得x＝， y＝. ∴M. ∴kMN＝，kCD＝， ∴MN∥CD. 考向2　典例2　解：(1)设抛物线Γ的标准方程为x2＝2py，p>0，则F0，. 已知点E在直线y＝x上， 故可设E(2a，a). 因为E，F关于点M(－1，0)对称， 所以 所以抛物线Γ的标准方程为x2＝4y. 因为圆E与x轴相切，故半径r＝|a|＝1， 所以圆E的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1. (2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，那么其方程为y＝k(x＋1)(k≠0). 则E(－2，－1)到直线l的距离d＝， 因为l与E交于A，B两点， 所以d2<r2，即<1， 解得k>0， 所以|AB|＝2＝2. 由消去y并整理，得x2－4kx－4k＝0. Δ＝16k2＋16k>0恒成立， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k， 那么|CD|＝|x1－x2| ＝· ＝4·. 所以 ＝>＝2. 所以|CD|2>2|AB|2，即|CD|>|AB|. 跟进训练 1．解：(1)由题意得⇒椭圆C的标准方程为＝1. (2)证明：由题意知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，P(x3，y3). 由得3(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12， 即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. ∴Δ＝144(m2＋1)>0，y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴y0＝，x0＝， ∴kOM＝－m. 直线l1的方程为＝1，* 直线l2的方程为＝1，※ ※－*可得(y2－y1)＝(x1－x2)， 则·＝－m， ∴＝－m＝kOP， ∴kOM＝kOP，即O，P，M三点共线. 2．解：(1)如图， 设圆E的圆心E(x，y)，半径为r， 则|EM|＝r＋，|EN|＝r－， 所以|EM|－|EN|＝2<|MN|＝4. 由双曲线的定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点， 实轴长为2的双曲线的右支， 所以曲线C的方程为－y2＝1，x≥. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2， 由于直线l与曲线C交于两点，故－<m<， 联立消去x并整理得(m2－3)y2＋4my＋1＝0， 故 又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，y1≠0，y2≠0， ∴＝2m＋·＝2m＋·＝0， 即kAP＋kBP＝0，所以∠APN＝∠BPN，得证. 考点二 典例3　解：(1)由抛物线C2经过点P(2，1)，得4＝2p，所以p＝2， 故抛物线C2的标准方程为x2＝4y. 抛物线C2：x2＝4y的焦点为F(0，1)，所以b＝1. 又椭圆C1的离心率e＝，所以a＝2. 所以椭圆C1的标准方程为＋y2＝1. (2)四边形OCPD不是平行四边形，理由如下： 将y＝kx＋m代入x2＝4y，消去y并整理得， x2－4kx－4m＝0. 所以Δ＝16k2＋16m>0，即m>－k2. 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2. 因为直线PF平分∠APB，所以k1＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝0. 又＝4y1，＝4y2， 则＝0， 所以x1＋x2＝－4， 所以kAB＝＝－1， 所以直线l：y＝－x＋m且m>－1. 由消去y并整理得5x2－8mx＋4m2－4＝0. 所以Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(5－m2)>0， 解得－<m<，所以－1<m<. 设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3＋x4＝， y3＋y4＝－(x3＋x4)＋2m＝. 若四边形OCPD为平行四边形， 则， 即(2，1)＝(x3＋x4，y3＋y4). 所以显然方程组无解. 所以四边形OCPD不是平行四边形. 跟进训练 3．解：(1)由题意设焦距为2c，则c＝2， 因为椭圆的离心率为，所以a＝2， 则b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆Γ的方程为＝1. (2)不存在.证明如下：假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合， 直线PM的斜率为0，不合题意. 依题意不妨设直线PM：y＝k1x＋2(k1≠0)， PN：y＝k2x＋2(k2≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆F1的半径为r， 则圆心到直线PM的距离为＝r， 即k1，k2是关于k的方程(r2－4)k2＋8k＋r2－4＝0的两异根，此时k1k2＝1， 再联立直线PM与椭圆方程 得(1＋2)x2＋8k1x＝0， 所以xP＋x1＝，即x1＝， 得y1＝， 所以M， 由k2＝，得N， 由题意，PM⊥MN，即kMN＝－，此时 kMN＝ ＝ ＝， 所以＝－， 因为k1≠0，所以方程无解，命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六十二)　圆锥曲线中的证明、探索性问题 1．(2023·四省联考)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)过点A(4，3)，且焦距为10. (1)求C的方程； (2)已知点B(4，－3)，D(2，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：＝. 2．(2023·福建漳州三模)已知椭圆C的中心为坐标原点O，对称轴为x轴、y轴，且点(，2)和点(，2)在椭圆C上，椭圆的左顶点与抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点F的距离为4. (1)求椭圆C和抛物线Γ的方程； (2)直线l：y＝kx＋m(k≠0)与抛物线Γ交于P，Q两点，与椭圆C交于M，N两点． ①若m＝k，抛物线Γ在点P，Q处的切线交于点S，求证：|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2； ②若m＝－2k，是否存在定点T(x0，0)，使得直线MT，NT的倾斜角互补？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． 3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0．过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. 4．(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$