第8章 第6课时 直线与椭圆-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第6课时　直线与椭圆 梳理·必备知识 1．>　＝　<　 激活·基本技能 一、(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、1．A　[法一(通解)：联立直线与椭圆的方程 消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交. 法二(优解)：直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交.] 2．C　[由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3， 所以右焦点坐标为(，0)， 则直线l的方程为y＝x－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y得5x2－8x＋8＝0， Δ＝(－8)2－4×5×8＝32>0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|AB|＝·＝×. 即弦AB的长为.] 3．AB　[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±.] 4．　　[设直线l1：x－y＋m＝0，联立 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. 则Δ＝64m2－4×5＝0， 解得m＝±. 当m＝－时，直线l与直线l1之间的距离d＝； 当m＝时，直线l到直线l1之间的距离d＝＝2. 所以点P到直线l的最小距离是. 此时5x2－8x＋16＝0，解得x＝， 将x＝代入x－y－＝0，得y＝－，则点P的坐标为.] 考点一 典例1　解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②， 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 跟进训练 1．BCD　[联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12. 令Δ＝12≥0，则有≤2，－2≤m≤2，A错误； 令Δ＝12>0，则有<2，正确； 令直线l与椭圆C相切， 则Δ＝12＝0， 即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，C正确； 如图，直线y＝x－与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确.故选BCD. ] 2．　[如图，设直线m平行于直线l且与椭圆相切，则m的方程为4x－5y＋k＝0. 由方程组消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0，由Δ＝0，得64k2－4×25(k2－225)＝0，解得k1＝25，k2＝－25．由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，所以dmin＝＝.] 考点二 考向1　典例2　解：设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，得|m|<. |AB|＝2＝2＝×. 联立消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0， 由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，所以m2<2. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， |CD|＝|x1－x2| ＝× ＝×× ＝|AB|＝××， 解得m2＝<2，得m＝±.即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±. 考向2　典例3　(1)D　(2)＝1　[(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0). ∵＝1，＝1， 两式相减可得＝0， 把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝k＝＝tan 150°＝－. ∴e＝.故选D. (2)法一(直接法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆方程为＝1(b>0)，由消去x， 得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0， 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知＝1， ∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8. 经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意. ∴所求椭圆方程为＝1. 法二(点差法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为＝1(b>0). 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ①－②得＋＝0， 即·＝－， 又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2， k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意. 故所求的椭圆方程为＝1.] 跟进训练 3．解：(1)设过P的直线与椭圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则 两式相减得＝－×， 由中点P的坐标为可知 x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝2×＝1， 所以＝－，即直线斜率k＝－， 所以直线方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0. (2)由题意知，过F2的直线斜率存在且不为0. 设过F2的直线为x＝my＋1(m≠0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 联立方程⇒(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 所以 又＝2，则y4＝－2y3， 代入方程解得m2＝， 所以|AB|＝. 考点三 典例4　解：(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0). 设Q(x0，y0)，则由， 得 代入椭圆方程得b2＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2. 联立 消去y并整理，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．(*) 因为直线l与E有两个交点，即方程(*)有不相等的两实根， 故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0， 解得k2>. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得 因为坐标原点O位于以MN为直径的圆外， 所以·>0，即x1x2＋y1y2>0， 又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2) ＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4 ＝(1＋k2)·－2k·＋4>0， 解得k2<4， 综上可得<k2<4， 则<k<2或－2<k<－. 则满足条件的斜率k的取值范围为. 跟进训练 4．解：(1)根据题意知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)， 由 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)， 联立 整理得y2－y－9＝0， 则Δ＝＋144>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 又＝2，所以y1＝－2y2， 又y1＋y2＝，所以y1＝，y2＝，代入y1y2＝， 则3＋4k2＝8，解得k＝±， 又k>0，所以k＝. 微点突破6 跟进训练 解：(1)由题意可得 所以a＝2，b＝. 故椭圆C的标准方程为＝1. (2)①由题意知，F(－1，0)， 设直线MN方程：x＝my－1，M(x1，y1)， N(x2，y2)，E(－4，y1)， 由方程组 得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， 所以－2my1y2＝3(y1＋y2). 又kEN＝， 所以直线EN的方程为y－y1＝(x＋4)， 令y＝0，则x＝－4－＝－4－＝－4－＝－4＋＝－. 所以直线EN过定点P. ②由①中知Δ＝144(m2＋1)>0，所以m∈R，又|y1－y2|＝， 所以S△OEN＝|OP||y1－y2|＝·， 令t＝，t≥1，则f (t)＝， 令g(t)＝3t＋，g'(t)＝3－，当t≥1时，g'(t)≥0， 故g(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增， 则f (t)＝在[1，＋∞)上单调递减， 即S△OEN＝在[1，＋∞) 上单调递减，所以t＝1时，(S△OEN)max＝. 点拨：换元功能：降次、去根号，把分子或分母变简单. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五十五)　直线与椭圆(一) 1．B　[直线过定点M(1，0)且该定点在椭圆＝1内，故直线与椭圆相交．故选B.] 2．B　[如图所示：根据题意可知，当点M在第三象限且椭圆在点M处的切线与直线x＋2y－10＝0平行时， 点M到直线x＋2y－10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x＋2y＋m＝0(m＞0)，联立 消去x整理可得25y2＋16my＋4m2－36＝0， Δ＝162m2－100(4m2－36)＝0，因为m＞0，解得m＝5， 所以椭圆＝1在点M处的切线方程为x＋2y＋5＝0， 因此，点M到直线x＋2y－10＝0的距离的最大值为＝3， 联立 可得点M的坐标为.故选B.] 3．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2， 由已知有＝＝1， 作差得＝， 则＝＝－＝－， 所以a2＝3b2，又c＝4，a2＝b2＋c2＝3b2，解得b2＝8，a2＝24， 则E的方程为＝1. 故选D.] 4．A　[由题意，椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则＝，又由＝＝＝－，可得＝，因为∈，即≤－1，可得，所以直线PA2斜率的取值范围是.故选A.] 5．C　[将直线方程y＝x＋m与椭圆方程联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2，设F1到AB的距离为d1，F2到AB距离为d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2， 解得m＝－或－3(舍去)．故选C.] 6．C　[对直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1, 故F(－2，0)，M(0，1)，则＝(2，1)，设A(x0，y0)，则＝(－x0，1－y0)， 而＝3， 则 解得 则A， 又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)， 由2a＝|AF|＋|AF′|＝＝， 则a＝，椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.] 7．B　[内、外椭圆的离心率均为，设内层椭圆的短半轴长为b，e＝＝＝，所以a＝2b，则内层椭圆方程为＝1，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，AC的方程为y＝－(x＋100)， 代入内层椭圆方程可得：x2＋100x＋5 000－2b2＝0， 可得Δ＝10 000－4×(5 000－2b2)＝0，解得b2＝1 250. 所以b＝25.即内层椭圆的短轴长2b＝50 m．故选B.] 8．D　[由题意可知，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1， 所以椭圆C：x2＋＝1的上焦点为F(0，1)， 则直线l的方程为y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y，得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 由题设知，OA所在的直线方程为y＝x. 因为直线OA与直线y＝2相交于点M， 所以M； 同理可得N. 所以＝＝. 因为∠MON为锐角， 所以＞0， 所以＝＋4＝＋4 ＝＋4 ＝＋4， ＝＋4＝. 即＞0，解得k2＜或k2＞1， 所以－＜k＜，或k＞1，或k＜－1. 故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选D.] 9．ABD　[因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0， 所以AB中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2. 又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，离心率为， 所以椭圆E的方程为＝1.故选ABD.] 10．ACD　[方程kx－y－k＝0可化为y＝k(x－1)， 所以直线l恒过点(1，0)，A正确； 设椭圆的半焦距为c(c＞0)，则焦点F的坐标可能为(c，0)或(－c，0)， 若直线恒过点(－c，0)，则0＝k(－c－1)， 故c＝－1，矛盾， 若直线恒过点(c，0)，则0＝k(c－1)，故c＝1，所以a2－b2＝1，B错误； 联立消y可得，(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0， 由对任意实数k，l与C总有两个互异公共点， 可得方程(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0有2个不相等的实数解， 所以Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＞0， 所以k2(a2－1)＋b2＞0， 所以a≥1，C正确； 因为Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＝4a2b2[k2(a2－1)＋b2]， 所以a＜1时，则k2＝，即k＝±时， 可得Δ＝0，此时方程组有且只有一组解， 故l与C有且只有一个公共点，D正确． 故选ACD.] 11．　[由题意可知F(－1，0)，故l的方程为y＝(x＋1)． 由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－. 设A(0，)，B. 又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝， ∴＝.] 12．　[∵椭圆＋y2＝1，∴x2＋2y2－2＝0， 设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝2x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)， 则＝2，① ＝2，② ①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 即2x0·(x1－x2)＋2×2y0·(y1－y2)＝0， ∴kAB＝＝－＝－. ∴y0＝x0，代入直线方程y＝2x＋m得x0＝－m，y0＝－m. ∵(x0，y0)在椭圆内部， ∴m2＋2(－m)2＜2， 解得－＜m＜， 即实数m的取值范围是.] 13．解：(1)设动圆M的半径为r. 由动圆M与圆C1外切可知：|MC1|＝r＋1，① 由动圆M与圆C2内切可知：|MC2|＝9－r，② 则①＋②可得：|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8. 所以动圆M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))． 动圆M圆心的轨迹Γ的方程为＝1(x≠－5)． (2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)． 由得25x2＋8mx＋m2－225＝0. Δ＝(8m)2－4×25×(m2－225)＝0. 当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切． 由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大． 设最大距离为d，则d＝＝. 所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为. 14．解：(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)， 因为弦AB被点平分， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝， 所以直线l的斜率k＝＝－＝－， 故直线l的方程为x＋2y－2＝0. (2)法一(常规方法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得x2－2x－2＝0， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2， 所以|AB|＝＝＝5， 由椭圆的方程可得，c2＝a2－b2＝16－4＝12， 所以c＝2，所以F1(－2，0)， 所以点F1(－2，0)到直线l：x＋2y－2＝0的距离d＝＝， 所以S△F1AB＝|AB|d＝×5×＝2. 法二(面积拆分法)：联立 得2y2－2y－1＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝， 又因为直线l过点F2(2，0)， 所以S△F1AB＝|F1F2||y1－y2|＝×4＝2. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五十五)　直线与椭圆(一) 一、单项选择题 1．(2024·广东深圳中学期中)椭圆＝1与直线y＝k(x－1)的位置关系是(　　) A．相离　 B．相交 C．相切 　 D．无法确定 2．(2024·内蒙古赤峰模拟)在椭圆＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大，点M的坐标为(　　) A．(－3，0) 　 B． C． 　 D．(－2，0) 3．(2024·贵州模拟)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4，0)，过点F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(3，－1)，则E的方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 4．椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　) A． 　 B．　 C． 　 D． 5．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ 6．(2023·山东淄博一模)直线x－2y＋2＝0经过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若＝3，则该椭圆的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 7．(2024·河南商丘模拟)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200 m，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为－，则内层椭圆的短轴长为(　　) A．75 m 　 B．50 m C．50 m 　 D．25 m 8．已知过椭圆C：x2＋＝1的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线y＝2相交于M，N两点．若∠MON为锐角，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B． C． D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 二、多项选择题 9．(2024·湖南雅礼中学模拟)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则(　　) A．直线AB的方程为y＝(x－3) B．a2＝2b2 C．椭圆的标准方程为＝1 D．椭圆的离心率为 10．(2023·苏锡常镇二模)在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：kx－y－k＝0，椭圆C：＝1(a＞b＞0)，则下列说法正确的有(　　) A．l恒过点(1，0) B．若l恒过C的焦点，则a2＋b2＝1 C．若对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，则a≥1 D．若a＜1，则一定存在实数k，使得l与C有且只有一个公共点 三、填空题 11．过椭圆C：＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＝________． 12．(2024·湖南岳阳模拟)已知椭圆＋y2＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝2x＋m对称，则实数m的取值范围是________． 四、解答题 13．(2024·吉林模拟)已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切． (1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线； (2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离． 14．(2024·河南安阳模拟)已知椭圆C：＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点平分．求： (1)直线l的方程； (2)△F1AB的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五十六)　直线与椭圆(二) 1．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2. (1)求椭圆C的方程； (2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线． 2．(2024·河北承德模拟)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(n，m)． (1)若n＝1，m＝－1，求k的值； (2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P，且|AB|＝4|PM|，求直线l的方程． 3．(2024·北京海淀区模拟)已知椭圆G：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(3，1)． (1)求椭圆G的方程； (2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积． 4．(2024·江西南昌模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，过左焦点F(－，0)作倾斜角为α的直线l交椭圆C于A，B两点．当直线l的倾斜角为时，|AF|＝7|BF|. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点O为坐标原点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五十六)　直线与椭圆(二) 1．解：(1)由离心率为得，＝，① 由△A1A2B的面积为2得，ab＝2．② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③解得，a＝2，b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)． 又A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆方程＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0， 由－2＋x1＝得x1＝， 代入直线PA1的方程得y1＝， 即M， 同理可得N. 因为Q(1，0)，所以＝＝， 由＝知，M，Q，N三点共线． 2．解：(1)由题设作差可得 ＋＝＋＝0， 又xA＋xB＝2n＝2，yA＋yB＝2m＝－2，故＝，所以k＝＝. (2)由题意，直线l斜率一定存在，直线l为y＝k(x－n)＋m， 若k＝0，直线l：y＝m且M(0，m)，－＜m＜，此时中垂线PM与y轴重合， 与题设中，垂直平分线与y轴交于P矛盾，不满足题意； 若k≠0，由(1)知：＝－，则k＝＝－， 则中垂线PM为y＋＝x，即6mx－3ny－n＝0，又M(n，m)在该直线上， 所以3mn－n＝0，得n＝0或m＝，当n＝0时k＝0，不满足题意，故m＝， 故k＝－，即l：y＝－n(x－n)，与椭圆方程联立得x2＋2＝6， 整理得 9(2＋9n2)x2－18n(2＋9n2)x＋81n4＋36n2－104＝0， 所以xA＋xB＝2n，xAxB＝， 则|AB|＝ ＝，而|PM|＝， 由|AB|＝4|PM|，得＝8n2＋， 解得n＝±，所以l：y＝1±x. 综上，直线l的方程为y＝±x＋1. 3．解：(1)由题意可知解得 ∴椭圆G的方程为＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m， 联立方程 消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，① Δ＝36m2－16(3m2－12)＞0，即－4＜m＜4. ∴xA＋xB＝－，xAxB＝， ∴yA＋yB＝xA＋xB＋2m＝－＋2m＝. 设M为AB的中点，则M，AB的中垂线的斜率k＝－1， ∴AB的中垂线的方程为y－＝－，即x＋y＋＝0， 将P(－3，2)代入得m＝2， ∴直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0， 此时方程①为4x2＋12x＝0，解得xA＝－3，xB＝0， ∴yA＝－1，yB＝2， ∴A(－3，－1)，B(0，2)， ∴|AB|＝3， 又∵点P到直线l的距离d＝＝， ∴△PAB的面积为×|AB|×d＝×3＝. 4．解：(1)当直线l的倾斜角为时，k＝tan ＝， 又直线l过F(－，0)，则直线l的方程为y＝(x＋)，即x＝y－， 联立消去x，得(a2＋3b2)y2－6b2y＋3b2－a2b2＝0， 则Δ＝36b4－4(3b2＋a2)(3b2－a2b2)＝4a2b2(a2＋3b2－3)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y1＋y2＝，y1y2＝， 因为|AF|＝7|BF|，所以y1＝－7y2， 将其代入y1＋y2＝，可得y2＝，y1＝， 所以＝， 整理得16b2＋3a2－3a2b2－a4＝0， 又b2＝a2－c2＝a2－3， 所以16(a2－3)＋3a2－3a2(a2－3)－a4＝0， 整理得a4－7a2＋12＝0，解得a2＝4或a2＝3(舍去)， 所以b2＝a2－3＝4－3＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意，显然直线l不平行于x轴，设直线l的方程为x＝ty－， 联立消去x，得(t2＋4)y2－2ty－1＝0， 而Δ＝12t2＋4(t2＋4)＝16(t2＋1)＞0， 又A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝， 则|y1－y2|＝＝＝， 于是得S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝＝≤＝1， 当且仅当＝，即t＝±时，等号成立， 所以当t＝±时，△OAB的面积取得最大值1， 此时直线l的方程是x＝±y－，即y＝x＋或y＝－x－. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6课时　直线与椭圆 [考试要求]　1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法.2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题． 1．直线与椭圆的位置判断 将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ__0；直线与椭圆相切⇔Δ__0；直线与椭圆相离⇔Δ__0. 2．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0. [常用结论] 1．点P(x0，y0)和椭圆＝1(a＞b＞0)的位置关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＜1． (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＝1． (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＞1． 2．椭圆上一点处的切线方程 点P(x0，y0)在椭圆＝1(a＞b＞0)上，过点P的切线方程为＝1． 3．关于－的重要结论 (1)过原点的直线交椭圆＝1(a＞b＞0)于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－． (2)若M(x0，y0)是椭圆＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦． (　　) (2)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交． (　　) (3)直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断． (　　) (4)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A．相交 　 B．相切 C．相离 　 D．无法判断 2．(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 3．(多选) (人教A版选择性必修第一册P114例7改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A． 　 B．－ C．－ 　 D． 4．(人教A版选择性必修第一册P116T13改编)若点P是椭圆E：＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x－y－3＝0的距离的最小值是________，此时，点P的坐标为________． 考点一　直线与椭圆的位置关系 [典例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． [跟进训练] 1．(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则<2 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 2．已知椭圆＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，则椭圆上的点到直线l的距离的最小值是________． 考点二　弦长及中点弦问题 　弦长问题 [典例2]　已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，且＝，求出直线l的方程． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　中点弦问题 [典例3]　(1)已知直线x－y＋1＝0与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． (2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解答弦长问题及中点弦问题的注意点 (1)求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算弦长； 对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与椭圆是否相交． (2)点差法适用范围：涉及弦中点轨迹问题或弦所在直线斜率问题时，可考虑点差法． [跟进训练] 3．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2. (1)求过点P且被P点平分的弦的直线方程； (2)若过F2作直线与椭圆C相交于A，B两点，且＝2，求|AB|. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　直线与椭圆的综合问题 [典例4]　已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝. (1)求椭圆E的方程； (2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法，如弦长公式中|x1－x2|＝＝，其中x1，x2是ax2＋bx＋c＝0两根． 2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． [跟进训练] 4．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元二次方程，它的两个根x1，x2满足根与系数的关系．一般来说，在应用题设条件解决问题时，常常能凑出x1＋x2和x1x2，但有些时候无法直接凑出这两个式子，进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系问题． 下面通过对一道圆锥曲线“非对称”结构问题的多角度切入求解，给出其适当的拓展与变式，以探究圆锥曲线非对称结构问题的一般性解决方法． [典例]　已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上一点，且PF1与x轴垂直． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点F2的直线l与E交于A，B两点，已知点M(0，1)，且△MAF2的面积为△MBF2面积的2倍，求直线l的方程． [赏析]　(1)因为P为E上一点，且PF1与x轴垂直，所以解得所以椭圆E的方程为＝1. (2)易得直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x＝ty＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，故y1＋y2＝－，y1y2＝－. 由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，可得＝2，所以y1＝－2y2，即y1＋2y2＝0. 　代数式y1＝－2y2为非对称结构，需要通过适当的处理使之变为对称结构，下面就以此为例，给出此类y1＝λy2(或x1＝λx2)问题的几种处理方法，并对其进行拓展． 拓展1　倒数求和法 此拓展是对形如y1＝λy2(或x1＝λx2)的关系式，利用＝将问题转化为对称结构． 解法1　接典例解答，由y1＝－2y2，得＝－2，故＝＝－.结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝.故直线l的方程为y＝±(x－1)． 拓展2　配凑法 由y1＋λy2＝0配凑，得λ(y1＋y2)＝(λ－1)y1，y1＋y2＝(1－λ)y2，两式相乘，可得λ(y1＋y2)2＝－(λ－1)2y1y2，从而将问题转化为对称结构． 解法2　接典例解答，由y1＝－2y2，得y1＋2y2＝0，于是两式相乘可得2(y1＋y2)2＝－y1y2，结合根与系数的关系，化简可得5t2＝4，即t2＝.故直线l的方程为y＝±(x－1)． 拓展3　方程组法 该拓展的实质是借助方程思想，由非对称式结合根与系数的关系，列方程组解答． 解法3　接典例解答，联立y1＋2y2＝0与y1＋y2＝－，解得y1＝－，y2＝.再结合y1y2＝－，得＝，解得t2＝.故直线l的方程为y＝±(x－1)． [跟进训练] 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆的左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为x＝－2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E. (1)求椭圆C的标准方程； (2)①求证：线段EN必过定点P，并求定点P的坐标； ②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$