第8章 第5课时 椭圆及其性质-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(五十四)　椭圆及其性质 一、单项选择题 1．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率e＝，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋y2＝1　　　 B．＋y2＝1 C．＝1 　 D．＝1 2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 3．(2024·湖南师大附中模拟)曲线＝1与曲线＝1(k＜9且k≠0)的(　　) A．长轴长相等 　 B．短轴长相等 C．焦距相等 　 D．离心率相等 4．(2024·内蒙古包头模拟)已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|MF1||NF1|的最大值为(　　) A．9 　 B．20 C．25 　 D．30 5．(2024·河南新乡模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线AM，AN的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 6．(2024·贵州毕节模拟)加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：＝1相切，则下列说法错误的是(　　) A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10 C．若G为正方形，则G的边长为2 D．长方形G的面积的最大值为18 7．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＋y2＝1 8．(2023·湖南邵阳二模)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得＝，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．[－1，1) 　 B．(－1，1) C．(0，－1) 　 D．(0，－1] 二、多项选择题 9．(2024·广东佛山模拟)已知方程＝1表示椭圆，下列说法正确的是(　　) A．m的取值范围为(4，12) B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12) C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4 D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，) 10．(2024·衡水模拟)已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(　　) A．存在P使得∠F1PF2＝ B．cos ∠F1PF2的最小值为－ C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9 D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 三、填空题 11．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 12．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆＋y2＝1(a>1)上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________． 四、解答题 13．(2024·山东德州期中)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q. (1)求点Q的轨迹方程C； (2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值(其中O为坐标原点)． 14．如图所示，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程． 15．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 16．(2024·鞍山模拟)已知A，B，C是椭圆＝1(a＞b＞0)上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　椭圆及其性质 梳理·必备知识 1．常数　焦点　焦距 2.2a　2b　2c　(0，1)　a2－b2 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、1．A　[椭圆＋y2＝1的长轴长2a＝10，而点P到椭圆一个焦点的距离为7，所以P到另一个焦点的距离为2a－7＝3. 故选A.] 2．D　[把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝， 则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝，故选D.] 3.20　[△AF1B的周长为4a＝4×5＝20.] 4．＝1或＝1　[因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7．因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＝1或＝1.] 考点一 典例1　(1)D　(2)C　(3)6＋　6－　[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＝1．故选D. (2)由椭圆＝1，得a＝5， b＝3，c＝4. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∴m＋n＝10， 在△PF1F2中，由余弦定理可得 (2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·， 可得64＝100－mn，得mn＝， 故mn·sin∠F1PF2＝××. 故选C. (3)椭圆方程可化为＝1. 设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，连接AF1，PF1(图略)， ∴|AF1|＝，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.] 跟进训练 1．(1)D　(2)BCD　[(1)由题意得圆F的半径r＝2，F(1，0)，且|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2， ∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝， ∴动点P的轨迹方程为＝1，故选D. (2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，A错误； 在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2＝×6×＝2，B正确； 设点P到x轴的距离为d，则|F1F2|·d＝×2d＝2，所以d＝，C正确； ·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，D正确.故选BCD.] 考点二 考向1　典例2　BC　[若C为椭圆，则∴1<t<3且t≠2，A错误； 若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0， ∴t>3或t<1，B正确； 若C为圆，则3－t＝t－1，∴t＝2，C正确； 若C为椭圆，且长轴在y轴上， 则 ∴2<t<3，D错误.故选BC.] 考向2　典例3　(1)＝1　(2)＝1　(3)＝1或＝1　[(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n). 由 解得m＝，n＝. ∴椭圆的标准方程为＝1. (2)法一(定义法)：椭圆＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4. 由椭圆的定义知， 2a＝＋， 解得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为＝1. 法二(待定系数法)：∵所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同， ∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＝1(a>b>0). ∵c2＝16，且c2＝a2－b2， 故a2－b2＝16． ① 又点(，－)在所求椭圆上， ∴＝1， 则＝1． ② 由①②得b2＝4，a2＝20， ∴所求椭圆的标准方程为＝1. (3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝，解得a2＝， 所以椭圆方程是＝1. 综上得，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.] 跟进训练 2．(1)C　(2)B　(3)＝1　[(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F'，连接PF'(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF'|知，∠PFF'＝∠FPO，∠OF'P＝∠OPF'，所以∠PFF'＋∠OF'P＝∠FPO＋∠OPF'，所以∠FPO＋∠OPF'＝90°，即PF⊥PF'. 在Rt△PFF'中，由勾股定理， 得|PF'|＝＝8， 由椭圆的定义，得|PF|＋|PF'|＝2a＝6＋8＝14，则a＝7，a2＝49，所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为＝1．故选C. (2)由已知可设|F2Q|＝m，|PF2|＝3m， 又因为|PQ|＝|QF1|，所以|QF1|＝5m. 根据椭圆的定义|QF2|＋|QF1|＝2a，所以6m＝2a，所以a＝3m， |PF1|＝2a－|PF2|＝2a－a＝a＝3m. 在△PF1Q中，由余弦定理的推论得 cos∠F1PQ＝＝0，所以∠F1PQ＝90°， 所以|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2⇒9m2＋9m2＝4，所以m＝，a＝3m＝，b＝1， 故椭圆方程为＋x2＝1．故选B. (3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，所以a－c＝2－2. 因为离心率e＝， 解得a＝2，c＝2，则b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆E的方程为＝1.] 考点三 考向1　典例4　C　[由椭圆的性质知，a＋c＝R，a－c＝r，解得2c＝R－r，故①正确； 由①知a＝，c＝， 所以2b＝2＝2＝2， 若R不变，r越大，2b越大，轨道Ⅱ的短轴长越大，②错误； 由①知2a＝R＋r，故轨道Ⅱ的长轴长为R＋r，③正确； 因为e＝＝1－＝1－， 若r不变，R越大，则越小， 所以e越大，轨道Ⅱ的离心率越大，④正确.故选C.] 考向2　典例5　(1)A　(2)B　[(1)在椭圆C：＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得＝2a， 因为，|PF1|＝.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c， 由余弦定理得－2cos∠F1PF2， 即4c2＝a2， 所以， 所以C的离心率e＝.故选A. (2)若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥， 又e<1，所以e∈.故选B.] 考向3　典例6　(1)A　(2)A　[(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大. ①如图1，当焦点在x轴，即0<m<3时， a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0<m≤1. ②如图2，当焦点在y轴，即m>3时， a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴m≥9. 综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)， 故选A. (2)法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝. 当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A. 法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ). 易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A.] 跟进训练 3．(1)BCD　(2)　[(1)由题意得a＝2，又点P(，1)在椭圆C外，则>1，解得b2<2， 所以椭圆C的离心率e＝>，又0<e<1， 则椭圆C的离心率的取值范围是，A错误； 当e＝时，c＝，b＝＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，B正确； 设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)， 由于·＝b2－c2＝2b2－a2<0， 所以存在点Q使得·＝0，C正确； (|QF1|＋|QF2|)＝2＋≥2＋2＝4， 当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立， 又|QF1|＋|QF2|＝4， 所以≥1，D正确.故选BCD. (2)如图， 因为3＝2，所以可设|AF2|＝2t，|F2B|＝3t， 又|AF1|＝2|AF2|，所以|AF1|＝4t， 由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝6t＝2a，即t＝， 又|BF1|＝2a－|BF2|＝2a－a＝a，即B点为短轴端点， 所以在△ABF1中， cos∠ABF1＝， 又在△F2BF1中， cos∠F1BF2＝＝＝1－2e2＝， 解得e＝或e＝－(舍去)，即椭圆E的离心率为.] 拓展视野3 典例　ABD　[依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝，A正确； 因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以＝2×a，所以△MPQ面积的最大值为××a2，B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝a2，所以＋2x0c＋c2＝a2＋2x0×a＋a2＝2a2＋ax0，又－a≤x0≤a，所以≥a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A，D，则B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝， 又＝0，所以·＝－，所以k1k2＝－，D正确.故选ABD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五十四)　椭圆及其性质 1．C　[由于2c＝2，所以c＝1， 因为e＝＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝3. 所以椭圆的标准方程为＝1. 故选C.] 2．A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝.故选A.] 3．C　[曲线＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8的椭圆． 曲线＝1(k＜9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为的椭圆．故选C.] 4．C　[根据椭圆定义可得： |MF1|＋|MF2|＝2a＝8，|NF1|＋|NF2|＝8， 因为|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6， 即|MF1|＋|NF1|＝10≥2，当且仅当|MF1|＝|NF1|＝5时等号成立， 所以|MF1|·|NF1|≤25，则|MF1||NF1|的最大值为25. 故选C.] 5．D　[由题意，椭圆C的左顶点为A(－a，0)， 因为点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(－x0，y0)， 所以kAM＝，kAN＝，可得 kAMkAN＝＝＝. 又因为＝1，即＝， 代入可得＝，所以离心率e＝＝＝＝.故选D.] 6．D　[由椭圆方程知a＝，b＝2，则c＝＝，离心率为e＝＝，A正确； 当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2和4，其对角线长为＝2，因此蒙日圆的半径为，圆的方程为x2＋y2＝10，B正确； 设长方形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为2，C正确，D错误．故选D.] 7．B　[由离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b)． 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1. 故选B.] 8．B　[由＝， 得＝＝＝， ∴|PF1|＝. 又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c＜＜a＋c， ∴a2－c2＜2ac＜(a＋c)2，即e2＋2e－1＞0， 又e∈(0，1)，∴e∈(－1，1)．故选B.] 9．BC　[因为方程＝1表示椭圆， 所以解得4＜m＜12，且m≠8，A错误； 因为椭圆＝1的焦点在y轴上， 所以m－4＞12－m＞0，解得8＜m＜12，故B正确； 若m＝6，则椭圆方程为＝1， 所以c2＝a2－b2＝6－2＝4，从而2c＝4，C正确； 若m＝10，则椭圆方程为＝1， 点(1，)的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(1，)，D错误．故选BC.] 10．ABC　[设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：＝1中，a＝5，b＝3，c＝4， 所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)． 由于＝(－4，－3)，＝(4，－3)， ＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2＝，A正确； 记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10， 由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝＝＝＝－1≥－1＝－，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”，B正确； 由于PF1⊥PF2，故⇒mn＝[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝18， 所以＝mn＝9，C正确； 设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，＝1，则kPA＝，kPB＝，于是kPA·kPB＝＝＝＝－，D错误．故选ABC.] 11．8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．] 12．　[x2＋y2－6y＋8＝0化简为x2＋(y－3)2＝1，圆心A(0，3)．的最大值为5等价于的最大值为4，设Q(x，y)，即x2＋(y－3)2≤16，又＋y2＝1(a>1)， 化简得到(1－a2)y2－6y＋a2－7≤0(－1≤y≤1)． 当y＝－1时，验证等号成立； 对称轴为y＝，满足y＝≤－1，即a≤2，故1<a≤2. ∴e2＝＝＝1－，∴e≤. 故离心率的最大值为.] 13．解：(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径为r＝2，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2，且|PM|＝|PQ|＋|QM|， 则|QN|＋|QM|＝2＞2， 由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，b＝1， 则点Q的轨迹方程C：＋x2＝1. (2)设A(x，y)，则＝(x，y)，＝(－x，－1－y)， 所以＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y， 又＋x2＝1，所以x2＝1－y2，所以＝－y2－y－1＝－(y＋1)2－， 由椭圆的有界性可知－≤y≤， 所以当y＝－1时，取最大值－. 所以的最大值为－. 14．解：(1)因为∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)， 由＝2，得解得x＝，y＝－. 代入＝1，得＝1. 即＝1，解得a2＝3，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆的方程为＝1. 15．B　[法一：依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，　① 由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，　② 由①②，解得mn＝. 设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π， 由余弦定理得＝－， 得x2＝＝＝， 所以|OP|＝. 法二：依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，∠F1PF2＝α，则cos ∠F1PF2＝cos α＝， 故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去)． 故＝b2tan ＝6×＝3. 又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝3，又＝1， 所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝. 法三：依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0)． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中， cos ∠F1PF2＝＝，　① 由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，　② 由①②，解得mn＝. 因为＝)， 所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2) ＝＝，所以|PO|＝.] 16．　[设椭圆的左焦点F1(－c，0)，连接AF1，BF1，CF1，如图，|OA|＝|OF|＝|OB|，所以AF⊥BF. 设|CF|＝m，|AF|＝2m， 由对称性可知：|AF1|＝|BF|＝2a－2m， 在△ABF中，由|AF|2＋|BF|2＝|AB|2， 则4m2＋(2a－2m)2＝(2c)2，① 在Rt△AF1C中，|CF1|＝2a－m， 9m2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，可得a＝3m， 将m＝a代入①，解得椭圆的离心率e＝＝. ] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　椭圆及其性质 [考试要求]　1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2．掌握椭圆的简单应用． 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的____，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的____，焦距的一半称为半焦距． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____ 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 e＝∈__________ a，b，c的关系 c2＝__________ [常用结论] 1．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为． (3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0． (4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ． (6)＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc. 2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． (　　) (3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． (　　) (4)＝1(a>b>0)与＝1(a>b>0)的焦距相同． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P109练习T1改编)若椭圆＋y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一个焦点的距离为(　　) A．3　　 B．4　 C．5　　 D．6 2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 　 B．焦距为 C．短轴长为 　 D．离心率为 3．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△AF1B的周长为________． 4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是________． 考点一　椭圆的定义及应用 [典例1]　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 (2)(2023·河南开封三模)已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 　 B．12 C． 　 D．2 (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． (3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化． [跟进训练] 1．(1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 (2)(多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B．＝2 C．点P到x轴的距离为 D．＝2 考点二　椭圆的标准方程 　椭圆标准方程的特征 [典例2]　(多选)(2024·山东威海模拟)若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　) A．若C为椭圆，则1＜t＜3 B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1 C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　椭圆标准方程的求法 [典例3]　(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，()，则椭圆的标准方程为________． (2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________． (3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 2．椭圆的标准方程的两个应用 (1)方程＝1与＝λ(λ>0)有相同的离心率． (2)与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． [跟进训练] 2．(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 (2)(2024·湖北襄阳模拟)已知椭圆C的焦点为F1(0，－1)，F2(0，1)，过F2的直线与C交于P，Q两点，若|PF2|＝3|F2Q|，|PQ|＝|QF1|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＝1 　 B．＋x2＝1 C．＝1 　 D．＝1 (3)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________. 考点三　椭圆的简单几何性质 　椭圆的长轴、短轴、焦距 [典例4]　如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为(　　) ①轨道Ⅱ的焦距为R－r； ②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小； ③轨道Ⅱ的长轴长为R＋r； ④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大． A．①②③ 　 B．①②④ C．①③④ 　 D．②③④ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　离心率问题 [典例5]　(1)已知F1，F2是椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，，则C的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)已知F1，F2分别是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　) A． 　 B． C． 　 D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　与椭圆有关的最值(范围)问题 [典例6]　(1)设A，B是椭圆C：＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞) 　 B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) 　 D．(0，]∪[4，＋∞) (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． 　 B． C． 　 D．2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c.利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率．利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解． [跟进训练] 3．(1)(多选)(2024·广东广州模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则(　　) A．椭圆C的离心率的取值范围是 B．当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋] C．存在点Q使得＝0 的最小值为1 (2)(2024·河北唐山摸底考试)已知F1，F2是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，E上两点A，B满足3＝2，|AF1|＝2|AF2|，则椭圆E的离心率为________． 过椭圆＝1(a>b>0)上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质： 性质1：PM⊥PN. 性质2：PO平分切点弦MN. 性质3：S△MON的最大值为，S△MON的最小值为. [典例]　(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＝1(a>b>0)的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则(　　) A．椭圆Γ的离心率为 B．△MPQ面积的最大值为a2 C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为a D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$