第8章 第3课时 圆的方程-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(五十二)　圆的方程 1．A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝.] 2．B　[若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆， 则(－1)2＋32－4a＝10－4a>0，解得a<. ∵a<3a<，a<⇒a<3， ∴甲是乙的必要不充分条件．故选B.] 3．B　[因为直线l：y＝x的倾斜角为30°， 所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝x上． 设圆心C(a，a)，则圆C的方程为 (x－a)2＋(y－a)2＝a2， 将点P(2，)的坐标代入，得(2－a)2＋(a)2＝a2，整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝. 所以圆C的直径为2或.故选B.] 4．D　[显然x≠0，令＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝得(1＋k2)x2－2x＋＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×≥0，解得－≤k≤. 所以k的最大值为.故选D. ] 5．A　[设圆心C(x，y)，则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图， 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.] 6．C　[A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，|AB|＝6，圆的半径为5，可得|PC|＝＝4，所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.] 7．C　[根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3，2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由|A′C|＝＝5，则A′到圆C上的点的最短距离为5－1.故这束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是5－1.故选C.] 8．B　[因为||＝2||，||max＝|OC|＋1＝＋1＝6，所以||max＝12.故选B.] 9．ABD　[由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16， 化成圆的一般式为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确； 因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确； 圆心到y轴的距离d＝2＜4，则圆与y轴相交，C错误； 的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2，1)的距离， 从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2，1)距离与半径之和， 故的最大值为 ＋4＝9，D正确．故选ABD.] 10．ABD　[设动点P(x，y)， 则由＝2，得＝2， 即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]， 化简得：x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确； 因为点P轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆， 则点P到原点O的距离最大值为＋2＝5，B正确； 又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3， 所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误； 又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2， 因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)， 所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)， 则≤－5×(－5)－7＝18，D正确． 故选ABD.] 11．0或1(只写一个即可)　[由题设知⊥，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为， 所以M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2， 而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝＝0，即直线过圆心， 所以M到直线y＝x＋2的距离范围[0，]， 所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．] 12．x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))　[设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2. 考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1)． 所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))．] 13．解：(1)设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 将点A，B，C的坐标分别代入圆的方程， 得 解得D＝－2，E＝－6，F＝5， 得圆的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0. 将点D的坐标代入上述所得圆的方程， 得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或5. (2)点P(x，y)在圆E：(x－1)2＋(y－3)2＝5上，x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义为圆E上的点到M(－1，0)距离的平方减1. 如图，|EM|＝＝， ∴x2＋2x＋y2的最小值为()2－1＝17－2； x2＋2x＋y2的最大值为()2－1＝17＋2. ∴x2＋2x＋y2的取值范围是[17－2，17＋2]. 14．解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)． (1)若存在以AB为直径的圆过点C，则＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－. 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心， 半径r＝|CM|＝， 故所求圆的方程为＋y2＝. (2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m， 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0. 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令 可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　圆的方程 梳理·必备知识 1．定点　定长　(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)　(a，b)　－，－　 2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2　(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2　(3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 激活·基本技能 一、(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 二、1．A　[法一：AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2. 法二(应用常用结论)：以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.] 2．C　[法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1．所以r＝2. 所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：由已知条件得AB的垂直平分线方程l1：y＝x， 由 ∴圆心坐标为(1，1)， ∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.] 3．C　[由题意得 解得－2<k<，故选C.] 4．x2＋y2－2x＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)， ∴ ∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.] 考点一 典例1　(1)AB　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5　[(1)点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，A正确； 点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，B正确； 点(0，0)，(－1，1)都不在圆＝22上，C错误； 点(4，0)，(－1，1)都不在圆＋(y－1)2＝上，D错误.故选AB. (2)法一(三点共圆)： ∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， ∴M(1，－1)，R＝， ☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法二(圆的几何性质)： 由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点(1，－1).又圆的半径R＝，所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.] 跟进训练 1．(1)A　(2)(－2，－4)　5　[(1)易得该直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得直径长为2，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13. (2)由已知方程表示圆，得a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.] 考点二 考向1　典例2　解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆. (1)＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图1)，此时，解得k＝±. 所以，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图2)，此时，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. 考向2　典例3　12　[法一：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 法二：由向量的极化恒等式，得·－4， 由于点P在圆：x2＋(y－3)2＝1上，则 当点P坐标为(0，4)时，取得最大值16， ∴·的最大值为16－4＝12.] 考向3　典例4　D　[曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心，半径为1的圆， C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心，半径为1的圆.由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|－1，|PN|的最小值为|PC2|－1. 过C2作直线x＋y＋1＝0的对称点B，设坐标为(m，n)， 可得＝1，＋1＝0， 解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2). 连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝＝5. 当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|＋|PC2|的最小值为5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－2＝3．故选D.] 跟进训练 2．(1)C　(2)C　(3)4＋　[(1)法一(判别式法)：令x－y＝k，则x＝k＋y， 代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0， 即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0， 化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是3＋1．故选C. 法二(换元法)：x2＋y2－4x－2y－4＝0， 整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cosθ＋＋1， 因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．故选C. 法三(几何意义)：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3.故选C. (2)将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0).所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以·＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以·＝4x－3－2x＝2x－3．因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．因此－1≤2x－3≤3，从而·(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3].故选C. (3)由题设，C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3， 所以|C1C2|＝<r2－r1＝2，即圆C2包含圆C1. 又M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点， 要使|PN|－|PM|的最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以 (|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋.] 考点三 典例5　解：(1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)(相关点法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 跟进训练 3．解：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0). 设P(x，y)， 因为PA⊥PB， 所以·＝－1(x≠±a). 化简得x2＋y2＝a2(x≠±a). 当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式.故点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2. 拓展视野2 典例　(1)AD　(2)[－2－1，2－1]　[(1)由题意可设点P， 由A，B，得， 化简得x2＋y2＋8x＝0，即＋y2＝16，A正确； 点(1，1)到圆上的点的最大距离为＋4<10，故不存在点D符合题意，B错误； 设M(x0，y0)，由＝2， 得＝2， 又＝16， 联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，C错误； C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为d＋r＝5＋4＝9，D正确.故选AD. (2) 设P(x，y)，则·，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5，0)为圆心，2为半径的圆上运动.另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点.所以|a＋1|≤2.故实数a的取值范围是[－2－1，2－1].] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五十二)　圆的方程 一、单项选择题 1．(2022·北京高考)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A．　 　B．－　 　C．1　 　D．－1 2．设甲：实数a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2023·广东湛江二模)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的直径为(　　) A．2 　 B．2或 C． 　 D．或 4．如果实数x，y满足(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是(　　) A．　　　 　 B．　　　 C．　　　 　 D． 5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 　 B．5 C．6 　 D．7 6．(2024·湖南郴州模拟)已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为(　　) A．(x－4)2＋(y－2)2＝16 B．(x－2)2＋(y－4)2＝11 C．(x－2)2＋(y－4)2＝16 D．(x－4)2＋(y－2)2＝11 7．一束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是(　　) A．4　　　 　 B．5　　　 C．5－1　　　 　 D．2－1 8．(2024·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则||的最大值为(　　) A．16 　 B．12 C．8 　 D．6 二、多项选择题 9．(2024·辽宁沈阳模拟)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　) A．F＝4 B．圆关于直线y＝－2x对称 C．圆与y轴相切 D．的最大值为9 10．(2024·山东鄄城模拟)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为(　　) A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4 B．点P到原点O的距离的最大值为5 C．△PAB面积的最大值为4 D．的最大值为18 三、填空题 11．(2024·云南昆明模拟)已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值) 12．已知等腰三角形ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为________. 四、解答题 13．(2024·湖北沙市模拟)在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，D(0，a)四点在同一个圆E上． (1)求实数a的值； (2)若点P(x，y)在圆E上，求x2＋2x＋y2的取值范围． 14．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C. (1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A，B，C三点的圆过定点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　圆的方程 [考试要求]　1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1．圆的定义及方程 定义 平面上到____的距离等于____的点的集合(轨迹) 标准方程 _____________________________ 圆心__________，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心， 半径 提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则____________________________________． (2)若M(x0，y0)在圆上，则____________________________________． (3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________________________． [常用结论] 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． (　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝2 　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 　 D．x2＋y2＝4 2．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3．(人教A版选择性必修第一册P88练习T2改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) 　 B． C． 　 D．(－2，2) 4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________． 考点一　圆的方程 [典例1]　(1)(多选)(2023·辽宁葫芦岛二模)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13 C．＋＝22 D．＋(y－1)2＝ (2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． [跟进训练] 1．(1)若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 (2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 考点二　与圆有关的最值问题 　斜率型、截距型、距离型最值问题 [典例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　建立函数关系求最值 [典例3]　设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用对称性求最值 [典例4]　已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．　　 B．　 C．2　　 D．3 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题． (3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2．建立函数关系式求最值问题的解题策略 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值． 3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． [跟进训练] 2．(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋　　　 B．4 C．1＋3 　 D．7 (2)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是(　　) A．[－3，1] 　 B．[－1，1] C．[－1，3] 　 D．[1，3] (3)(2024·广东惠州模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是________． 考点三　与圆有关的轨迹问题 [典例5]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 提醒：注意特殊点的取舍． [跟进训练] 3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|. 当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆． 证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)． 又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)． 当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线； 当λ>0且λ≠1时，＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆． [典例]　(1)(多选)(2024·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)．点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　　) A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16　 B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10 C．在C上存在点M，使得＝2　 D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9 (2)在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$