第8章 第1课时 直线的方程-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(五十)　直线的方程 一、单项选择题 1．过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 　 B．x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 　 D．2x－y＋4＝0 2．(2024·山东滨州模拟)已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三点共线，则m＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ 3．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是(　　) A．x－y＋＋1＝0 B．x＋y＋－1＝0 C．x－3y＋＋3＝0 D．x＋3y＋－3＝0 4．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 　 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 　 D．2x＋y－7＝0 5．(2024·湖北武汉模拟)已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为(　　) A． 　 B．－ C．或0 　 D．－或－ 6．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，直线AC的斜率为，则直线BC的斜率为(　　) A． 　 B． C． 　 D．2 7．(2024·湖北武汉模拟)已知点A(2，3)，B(－3，－2)，与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　) A．k≥2或k≤ 　 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ 　 D．≤k≤2 8．(2024·四川宜宾模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 二、多项选择题 9．已知直线l：x＝my＋1，则(　　) A．直线l恒过定点(1，0) B．直线l的斜率必定存在 C．m＝时，直线l的倾斜角为60° D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 10．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 　 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 　 D．x－y－1＝0 三、填空题 11．(2024·福建南平模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ________． 12．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________． 13．(2023·甘肃陇南一模)斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)约为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为(　　) A．± 　 B．± C．± 　 D．± 14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　) A．2 　 B．3 C．3 　 D．6 15．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3，5)，则直线l的一般式方程为________． 16．(2024·安徽定远模拟)直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和 ________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　直线的方程 [考试要求]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)． 1．直线的方向向量 (1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． (2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，________与直线l____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为__________________． 3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_________(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝． 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ________________________ 不含直线x＝x0 斜截式 ____________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ____________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 _________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 提醒：①“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． ②研究直线，首先要考虑直线斜率是否存在． [常用结论] 1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系 α 0≤α< ＜α＜π k k≥0 不存在 k<0 2．特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0； (2)y轴：x＝0； (3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b； (4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a； (5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx. 3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量n＝(－B，A)． 4．直线的方向向量n＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α． (　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　) (3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示． (　　) (4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0)． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是(　　) A．1　　　B．－1　　　C．2　　　D．－2 2．(人教A版选择性必修第一册P55练习T1改编)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为(　　) A．y＝－x－1 　 B．y＝－x＋1 C．y＝x－1 　 D．y＝x＋1 3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________. 4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________. 考点一　直线的倾斜角与斜率 [典例1]　(1)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[－，1]　 B．(－∞，－]∪[1，＋∞) C． 　 D．∪[1，＋∞) (2)(2024·河南郑州模拟)已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A．　　　 B． C． 　 D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　斜率取值范围的两种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分与两种情况讨论．一般要用到y＝tan x的单调性，y＝tan x在上都是单调递增的． [跟进训练] 1．(1)(2024·安徽江淮十校模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________． 考点二　直线方程的求法 [典例2]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求直线方程的两种方法 [跟进训练] 2．(1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________． (2)过点(3，－2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为________． 考点三　直线方程的综合应用 [典例3]　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [拓展变式] 1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”． 提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式． [跟进训练] 3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五十)　直线的方程 1．A　[由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.] 2．A　[由A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)， 可得＝(－m，1)，＝(3，－2)， 因为A，B，C三点共线， 所以∥，即(－m)×(－2)－1×3＝0， 解得m＝.故选A.] 3．B　[因为k1＝tan α＝，所以α＝60°， 所以k＝tan 120°＝－， 所以直线l的方程是y－1＝－(x＋1)， 即x＋y＋－1＝0.故选B.] 4．A　[易知A(－1，0)． ∵|PA|＝|PB|， ∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上， ∴B(5，0)． ∵PA，PB关于直线x＝2对称， ∴kPB＝－1．∴lPB：y－0＝－(x－5)， 即x＋y－5＝0.故选A.] 5．C　[因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－， 所以其倾斜角为120°.直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)， 如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°， 则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0.故选C.] 6．A　[由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝，|BC|＝|AB|＝|CD|， ∴tan ∠CBD＝，∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan ＝.故选A.] 7．A　[已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交， 直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1，1)， 所以直线MA的斜率为＝2，直线MB的斜率为＝， 则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤.故选A.] 8．D　[因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab， 又因为a＞0，b＞0，所以＝1， 所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为 b＋a＝(b＋a)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”， 所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4. 故选D.] 9．AD　[由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，A正确； 当m＝0时，直线斜率不存在，B错误； m＝时，直线l：y＝(x－1)， 则直线l的斜率为，倾斜角为30°，C错误； m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴、y轴的交点分别为(1，0)，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确． 故选AD.] 10．ABC　[当直线经过原点时，斜率为k＝＝2， 所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0； 当直线不过原点时， 设所求的直线方程为x±y＝a， 把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a， 求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0.故选ABC.] 11．(－1，－1)(答案不唯一)　[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得解得则A(2，1)． 又B(1，0)，则＝(－1，－1)． 即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．] 12．x＝－或y＝(x＋)　[在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．] 13．B　[由题意可知，{OPi}，{OBi}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，则|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OB10|＝|OB1|＋9×18＝78＋9×18＝240， 故＝＝＝＝－， 所以最长拉索所在直线的斜率为±.故选B.] 14．D　[由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2，3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为，所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．故选D.] 15．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0　[因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±，又因为直线l经过点P(3，5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0．] 16．或－2或－(任选2个即可)　[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k， 当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2； 当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2， 整理得k2＋k－1＝0，而k＞0，解得k＝； 当围成的等腰三角形底边在直线l2上，θ∈，可解得k＝－；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，可解得k＝－. 所以k的取值为或－2或－.] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章　解析几何 第1课时　直线的方程 梳理·必备知识 2．(1)x轴正向　向上　(2)0°≤α<180° 3．(1)正切值　tan α　(2) 4．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　　＝1　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3) ×　(4)√ 二、1．D　[由已知得k＝＝－2.故选D.] 2．C　[因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan 60°＝，又直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝x－1．故选C.] 3．－3　[因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kAC，所以， 所以x＝－3.] 4.9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0.] 考点一 典例1　(1)B　(2)B　[(1)如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1， 则k1＝＝－；当直线l过点A时， 设直线l的斜率为k2，则k2＝＝ 1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).故选B. (2)直线l的方程为xsin α＋y－1＝0， 则直线l的斜率k＝－sin α∈. 设直线l的倾斜角为θ， 则有tan θ∈，又θ∈[0，π)， 所以当k∈时，直线l的倾斜角θ∈； 当k∈时，直线l的倾斜角θ∈. 综上所述，直线l的倾斜角θ∈∪. 故选B.] 跟进训练 1．(1)A　(2)　－3　[(1)由题意得，直线l的斜率k＝＝tan， 即直线l的倾斜角为. 故选A. (2)如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝，kOC＝tan(θ＋45°)＝＝－3.] 考点二 典例2　解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为，即x＋2y－4＝0. (2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2. BC边的中线AD所在直线过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2．由(2)知，点D的坐标为(0，2)，则所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 跟进训练 2．(1)2x＋3y－5＝0　(2)2x＋3y＝0和x＋y－1＝0　[(1)联立解得x＝1，y＝1，∴直线过点(1，1). ∵直线的方向向量v＝(－3，2)， ∴直线的斜率k＝－. 则直线的方程为y－1＝－(x－1)， 即2x＋3y－5＝0. (2)当直线经过原点时，此时直线方程为2x＋3y＝0，且在x轴、y轴的距离均为0，符合题意. 当直线在x轴、y轴均不为0时，设直线方程为＝1， 将＝1，解得a＝1，故直线方程为x＋y－1＝0. 所以所求直线方程为2x＋3y＝0和x＋y－1＝0.] 考点三 典例3　解：法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A，B(0，1－2k)， S△AOB＝(1－2k)＝≥×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立. 故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 法二：设直线l：＝1，且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2，1)，所以＝1， 则1＝≥2，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4， 当且仅当时取等号， 此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，即x＋2y－4＝0. 拓展变式 1．解：由本例法二知，＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋≥3＋2， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 2．解：法一：由本例法一知A， B(0，1－2k)(k<0). 所以|MA|·|MB|＝·＝2×＝2≥4. 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号. 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1．所以|MA|·|MB|＝||·||＝－ ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1 ＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 跟进训练 3．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令 ∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1). 法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1). (2)法一：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞). 法二：直线l方程可化为y＝kx＋1＋2k， ∴ ∴k∈[0，＋∞). (3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k)． 依题意得解得k>0. ∵S＝·|OA|·|OB| ＝·|1＋2k| ＝＝ ≥×(2×2＋4)＝4， 当且仅当k>0且4k＝，即k＝时“＝”成立，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$