第7章 高考培优7 立体几何中的动态问题-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

高考培优7　立体几何中的动态问题 题型一 典例1　(1)ABD　(2)ABD　[(1)取AP中点G，连接EG，FG，如图， 因为F为线段PD的中点，则有GF∥AD，GF＝AD，又E是矩形ABCD边BC的中点，则CE∥AD，CE＝AD，于是得GF∥CE，GF＝CE，即有四边形CEGF是平行四边形，则CF∥EG，而EG⊂平面AEP，CF⊄平面AEP， 因此，CF∥平面AEP，A正确； 在▱CEGF中，CF＝EG，在△PAE中，PE＝PA＝AB，∠APE＝90°，即EG为已知等腰直角三角形一腰上的中线，则EG长是定值，∠PEG也是定值， 因此，CF的长度恒定不变，B正确； 由CF∥EG知，异面直线CF与PE所成角的大小为∠PEG，D正确； 假设AE⊥DP，由于AE＝DE＝AB，则AE2＋DE2＝4AB2＝AD2，即AE⊥DE， 而DP∩DE＝D，DP，DE⊂平面PDE，则AE⊥平面PDE，有AE⊥PE，在折叠前有∠PEA＝∠BEA＝45°，与AE⊥PE矛盾，即假设错误，C不正确.故选ABD. (2)如图1，P为AD1中点，取B1D1的中点O，连接PO，BO，则PO∥C1D，所以∠BPO或其补角即为异面直线BP与C1D所成的角，易得BP＝，PO＝，BO＝，所以cos∠BPO＝，A正确. 由条件＝λ(λ∈[0，1])，可知点P的轨迹为线段B1C1，因为B1C1∥BC，故P到平面A1BC的距离为定值，且△A1BC面积为定值，故三棱锥P⁃A1BC体积为定值，B正确. 由＝λ(λ∈[0，1])可知点P在线段EF上(E，F分别为BB1，CC1中点)，如图2，因为A1C⊥平面AB1D1，所以平面AB1P即为平面AB1D1，点P即为平面AB1D1与直线EF交点，此交点在FE延长线上，C错误. 由＝λ(λ∈[0，1])可知点P的轨迹为线段AD1，以A1为坐标原点建立空间直角坐标系，如图3，C1(2，2，0)，D(0，2，2)， B(2，0，2)，设P(0，a，2－a)，a∈[0，2]，得＝(－2，0，2)，＝(－2，a，－a)，所以cos〈〉＝，令2－a＝x∈[0，2]， 当a＝2，即x＝0时，cos〈〉＝0，此时直线BP和C1D所成角是； 当a≠2，即x∈(0，2]时，则cos〈〉＝＝t∈，＋∞，cos〈〉＝＝t＝，即a＝0时，cos〈，直线BP和C1D所成角的最小值为，D正确.故选ABD.] 跟进训练 1．(1)ACD　(2)ACD　[(1)依题意，AF∥EC，AF＝EC， 则四边形AECF为平行四边形， 有CF∥AE， 而AF＝AB＝BE，∠BAF＝∠ABE＝90°， 即有∠ABO＝∠BAO＝45°，因此BF⊥AE， 即OP⊥AE，因此CF⊥OP，A正确； 因为PE∩AE＝E，CF∥AE，因此PE，CF不平行， 即不存在点P，使得PE∥CF，B错误； 连接PF，当PF＝1时， 因为PO＝FO＝， 即PO2＋FO2＝1＝PF2，则PO⊥FO， 而FO⊥AE，PO∩AE＝O，PO，AE⊂平面PAE，因此FO⊥平面PAE，又O，F分别为AE，AD的中点， 即ED∥FO，于是ED⊥平面PAE，而PE⊂平面PAE，则PE⊥ED，C正确； 在翻折过程中，令PO与平面AED所成角为θ，则点P到平面AED的距离 h＝POsin θ＝sin θ， 又S△AED＝AD·AB＝1， 因此三棱锥P⁃AED的体积 VP⁃AED＝S△AED·h＝sin θ≤， 当且仅当θ＝90°，即PO⊥平面AED时取等号， 所以三棱锥P⁃AED的体积的最大值为，D正确. 故选ACD. (2)当λ＝μ＝1时，此时点P与点C1重合，由正方体可得BC1⊥A1D，所以BP⊥A1D，A正确； 当λ＝μ＝时，此时点P为B1C的中点，由B1C∥平面A1BD，得点P到平面A1BD的距离等于点C到平面A1BD的距离，设为d，由××1×1×1＝×××d，解得d＝，B错误； 当λ＋μ＝1时，此时P，C，B1三点共线，由平面B1CD1∥平面A1BD，得D1P∥平面A1BD，C正确； 点P在△BB1C中与B1C平行的中位线MN(图略)上，易得MN∥平面A1BD，点P到平面A1BD的距离为定值，为点C到平面A1BD的距离的一半，即d＝的等边三角形A1BD，所以×()2×，则三棱锥A1⁃PBD的体积××，D正确. 故选ACD.] 题型二 典例2　(1)ACD　(2)3 [(1)如图所示，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，A正确； 在Rt△MDN中，DN＝＝2，取MD的中点E，MN的中点P，连接PE，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，B不正确； 连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，C正确； 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)， 设N(x，y，0)， 则＝(0，4，0)，＝(x，y，－4)， 因为D1N与AB所成的角为， 所以|cos〈〉|＝cos ， 所以＝1，所以点N的轨迹为双曲线，D正确.故选ACD. (2)因为＝x＋y(x，y∈R)，所以点Q在平面MGN上，分别取AB，CC1，C1D1的中点E，F，O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG， 因为正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2， 所以正六边形OFNEMG的边长为， 所以点Q的轨迹围成图形的面积 S＝6××××sin 60°＝3.] 跟进训练 2．(1)AC　(2)2　π　[(1)当PM长度最小时，点M为线段DD1的中点，MD＝DD1＝，求得点P到平面BDM的距离为h＝，VM⁃BDP＝VP⁃BDM＝S△BDM×h＝××××，A正确； 当PM长度最大时，点M与点A或点A1重合，若点M与点A重合， VM⁃BDP＝VP⁃ABD＝S△ABD×PC＝××2×1×， 当点M与点A1重合时，由于AA1与平面BDP不平行且A，A1在该平面同侧，所以此时体积不为，B错误； 取DD1中点O，连接PO，OM，如图所示，易证PO⊥平面ADD1A1，OM⊂平面ADD1A1，则PO⊥OM，若保持PM＝，则OM＝＝1， 则点M的轨迹是以1为半径的半圆弧，长度为π×1＝π，C正确； 以点D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则D1(0，0，3)，B1(1，2，3)，B(1，2，0)， 设M(m，0，n)(0≤m≤1，0≤n≤3)， 则有＝(1，2，－3)，＝(1，2，0)，＝(m，0，n－3)， 若∠MD1B＝∠B1D1B，则有cos∠MD1B＝cos∠B1D1B， 即， 化简得2n2－2m2－12n＋9m－3mn＋18＝0，即(m＋2n－6)(－2m＋n－3)＝0， 即m＋2n－6＝0或－2m＋n－3＝0(此时n＝2m＋3，m＝0，n＝3)， 故点M的轨迹为一段直线，D错误.故选AC. (2)分别取BC，B1C1的中点F，G，连接EF，FG，EG，则BF＝BC，B1G＝B1C1， 因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以BF∥B1G，BF＝B1G， 所以四边形BFGB1为平行四边形，所以BB1∥FG， 因为E为CD的中点，所以EF∥BD， 因为EF，FG⊄平面BDD1B1，BD，BB1⊂平面BDD1B1， 所以EF∥平面BDD1B1，FG∥平面BDD1B1， 因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面BDD1B1， 因为平面EFG∩平面BCC1B1＝FG，点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，EP∥平面BDD1B1， 所以点P的轨迹是FG， 因为FG＝BB1＝2，所以动点P的轨迹长度为2. 因为AB⊥平面BCC1B1，BP⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥BP， 在Rt△ABP中，AB＝2，∠BAP＝30°， 则tan∠BAP＝， 所以BP＝AB＝， 所以点P的轨迹是以B为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为直角，所以动点P的轨迹长度为×2π×π.] 题型三 典例3　(1)C　(2)C　[(1)如图，以D为坐标原点，DA，DC， DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)， A(1，0，0)， 设P(λ，λ，1)，λ∈[0，1]， ∴＝(1，1，0)，＝(λ－1，λ，1)， ∴·＝2λ－1，||＝， ||＝， 设异面直线AP与BD所成的角为θ， 则cos θ＝ ＝·· ＝·， 当λ＝时，cos θ取得最小值为0， 当λ＝0或1时，cos θ取得最大值为， ∴0≤cos θ≤≤θ≤. (2)因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h， 则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2， 所以6h＝l2，2a2＝l2－h2， 所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝＝，所以V′＝＝l3，当3≤l<2 时，V'>0，当2 <l≤3 时，V'<0， 所以当l＝2 时，正四棱锥的体积V取得最大值，最大值为，又l＝3时，V＝，l＝3 时，V＝，所以正四棱锥的体积V的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选C.] 跟进训练 3．(1)ACD　(2)6　　[(1)由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)， C1(0，1，1)， B1(1，1，1)， 设H(1，0，h)，其中0≤h≤1. ＝(1，－1，h)，＝(1，1，0)，故·＝0，即CH⊥BD，A正确； ＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)， 设平面D1AB1的法向量为m＝(x，y，z)， 则取z＝1，则x＝1，y＝－1， 故m＝(1，－1，1)为平面D1AB1的一个法向量. 设平面AB1C的法向量为n＝(a，b，c)， 则取b＝1，则a＝1，c＝－1， 故n＝(1，1，－1)为平面AB1C的一个法向量. 故cos〈m，n〉＝＝－， 而平面D1AB1与平面AB1C的夹角为锐角，故其余弦值为，所以平面D1AB1与平面AB1C的夹角不是，B错误； ＝(1，1，0)，＝(0，1，－1)， 设平面CB1D1的法向量为k＝(p，q，r)， 则取q＝1，则p＝－1，r＝1，故k＝(－1，1，1)为平面CB1D1的一个法向量. 而＝(0，－1，h－1)， 故点H到平面CB1D1的距离为||×∈，C正确； 设直线CD与平面β所成的角为θ. 因为CH⊥平面β，故＝(1，－1，h)为平面β的法向量，而＝(0，1，0)，故sin θ＝|cos〈〉|＝， 而h∈[0，1]，所以∈，D正确.故选ACD. (2)因为AC∥平面α，平面α∩平面ABC＝EF，AC⊂平面ABC， 故AC∥EF，同理AC∥GH，故EF∥GH， 同理EH∥GF，故四边形EFGH为平行四边形. 由＝λ，可得AE∶AB＝λ，则HE∶DB＝λ，EF∶AC＝1－λ， 又正四面体ABCD的棱长为3，则HE＝GF＝3λ，EF＝GH＝3(1－λ)， 四边形EFGH的周长为HE＋GF＋EF＋GH＝2[3λ＋3(1－λ)]＝6. 取BD的中点为M，AC的中点为Q，连接AM，MC，MQ， 则由正四面体可得AM＝MC＝， 故MQ＝且MQ⊥AC，故MQ⊥EF. 因为AD＝AB，DM＝MB，故AM⊥BD，同理CM⊥BD， 而AM∩MC＝M，AM，MC⊂平面AMC，故BD⊥平面AMC，因为AC，MQ⊂平面AMC，所以BD⊥MQ，BD⊥AC，故HE⊥MQ，且HE⊥EF，故平行四边形EFGH为矩形. 而HE∩EF＝E，HE，EF⊂平面EFGH，故MQ⊥平面EFGH.因为AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH， 故A到平面EFGH的距离即为Q到平面EFGH的距离， B到平面EFGH的距离即为M到平面EFGH的距离， 而＝λ， 故A到平面EFGH的距离与B到平面EFGH的距离的比值为，结合MQ＝可得A到平面EFGH的距离为λ，则四棱锥A⁃EFGH的体积V＝×3λ×3(1－λ)×λ＝λ2(1－λ). 令f (x)＝x2(1－x)(0<x<1)， 则f '(x)＝x(2－3x)， 由f '(x)>0得0<x<，由f '(x)<0，得<x<1， 则f (x)在上单调递减， 则f (x)在x＝处取得最大值，最大值为f ×， 即四棱锥A⁃EFGH的体积的最大值为.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　立体几何中的动态问题 题型一　空间位置关系的判定 [典例1]　(1)(多选)如图，四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折至△PAE的位置(点P∉平面AECD)，设线段PD的中点为F.则在翻折过程中，下列选项正确的是(　　) A．CF∥平面AEP B．CF的长度恒定不变 C．AE⊥DP D．异面直线CF与PE所成角的大小恒定不变 (2)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点．下列叙述正确的是(　　) A．若＝，则异面直线BP与C1D所成角的余弦值为 B．若＝λ(λ∈[0，1])，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C．若＝λ(λ∈[0，1])，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P D．若＝λ(λ∈[0，1])，则异面直线BP和C1D所成角的取值范围是 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　空间位置关系的动点问题的解法 (1)应用线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理进行转化； (2)利用向量法或建立空间直角坐标系进行计算． [跟进训练] 1．(1) (多选)(2024·湖南益阳模拟)如图，矩形ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，且BC＝2AB＝2，BF∩AE＝O，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(　　) A．CF⊥OP B．存在点P，使得PE∥CF C．存在点P，使得PE⊥ED D．三棱锥P-AED的体积的最大值为 (2)(多选)(2024·广东佛山禅城区一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈，μ∈，则(　　) A．当λ＝μ＝1时，BP⊥A1D B．当λ＝μ＝时，点P到平面A1BD的距离为 C．当λ＋μ＝1时，D1P∥平面A1BD D．当λ＋μ＝时，三棱锥A1-PBD的体积恒为 题型二　轨迹问题 [典例2]　(1)(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 (2)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若＝x＋y(x，y∈R)，则点Q的轨迹围成图形的面积是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． [跟进训练] 2．(1)(多选)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，点M是侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．当PM长度最小时，三棱锥M-BDP的体积为 B．当PM长度最大时，三棱锥M-BDP的体积为 C．若保持PM＝，则点M在侧面内运动路径的长度为π D．若M在平面ADD1A1内运动，且∠MD1B＝∠B1D1B，则点M的轨迹为圆弧 (2)(2024·河北邢台模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，若总是保持EP∥平面BDD1B1，则动点P的轨迹长度为________；若总是保持AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为________． 题型三　最值(范围)问题 [典例3]　(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段B1D1上一动点，且AP∥平面DBC1，则异面直线AP与BD所成角的取值范围为(　　) A．　　　　 B． C． 　 D． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，有如下常用的思路． (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在什么位置时，所求的量有相应最大值、最小值，即可求解． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值． [跟进训练] 3．(1)(2024·湖南长沙模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，H为棱AA1(包含端点)上的动点，下列命题正确的是(　　) A．CH⊥BD B．平面D1AB1与平面AB1C的夹角为 C．点H到平面B1CD1距离的取值范围是 D．若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为 (2)(2024·江苏盐城模拟)已知正四面体ABCD的棱长为3，点E满足＝λ(0＜λ＜1)，过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则四边形EFGH的周长为________，四棱锥A-EFGH的体积的最大值为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$