第6章 第5课时 数列的综合应用-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第5课时　数列的综合应用 考点一　数列模型的应用 [典例1]　容器A内装有6 L质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4 L质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1 L进入B内，再将B内的盐水倒1 L进入A内，称为一次操作．这样反复操作n次，A，B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn. (1)求a1，b1，并证明{an－bn}是等比数列； (2)至少操作多少次，A，B两容器内的盐水浓度之差小于1%(取lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)； (3)求an，bn的表达式． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差； (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定且不为零的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比； (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系． 一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或依次减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列． [跟进训练] 1．(1)(2024·广东佛山模拟)某牧场今年年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1 200，则c10大约为(　　) (参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853) A．1 429　　　　 B．1 472 C．1 519 　 D．1 571 (2)(多选)(2024· 黑龙江哈尔滨模拟)刚考入大学的小明准备向银行贷款A0元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为r.设小明每个月所要还款的钱数为x元，则下列说法正确的是(　　) A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法” C．小明第一个月还款的现值为元 D．x＝ 考点二　数列中的不等式证明 [典例2]　已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证：＜Tn＜. [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　与数列有关的不等式证明问题的求解常有两种方法：一是放缩法；二是借助函数的单调性证明． (1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式．放缩时要研究通项，放缩是为了能化简． (2)常见的放缩技巧： ①＜＝； ②＜＜； ③2()＜＜2()； ④＜＜＜. [跟进训练] 2．(2024·山西大同模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋2＝2an(n∈N*)． (1)证明：数列{Sn＋2}是等比数列； (2)设数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　数列中的不等式恒成立 [典例3]　(2021·浙江高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　数列与不等式的恒成立的问题可借助数列的单调性或转化为函数的最值问题解答． [跟进训练] 3．(2024·湖南长沙雅礼中学模拟)各项不为零的数列{an}满足an＝(n≥2，n∈N*)，且a2＝－1. (1)求证：数列为等差数列； (2)若≥λ对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　数列的综合应用 考点一 典例1　解：(1)由题意，b1＝＝，a1＝. ∵bn+1＝，an+1＝(5an＋bn+1)＝， ∴an+1－bn+1＝(an－bn)，又a1－b1＝，∴｛an－bn｝是以为公比的等比数列. (2)由(1)知an－bn＝×， ∴×<1%， ∴n－1>≈5.7， ∴n≥7，故至少操作7次. (3)∵bn＋1＝， ∴bn＋1－bn＝， ∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn-1) ＝× ＝－×. ∴an＝bn＋××. 跟进训练 1．(1)B　(2)BCD　[(1)由题可知cn＝(1＋10%)cn-1－100＝1.1cn-1－100， 设cn＋k＝1.1(cn-1＋k)，解得k＝－1 000. 即cn－1 000＝1.1(cn-1－1 000)， 故数列｛cn－1 000｝是首项为c1－1 000＝200，公比为1.1的等比数列. 所以cn－1 000＝200×1.1n-1，则cn＝200×1.1n-1＋1 000，所以c10＝200×1.19＋1 000≈200×2.358＋1 000≈1 472. 故选B. (2)A，B选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法”，A错误，B正确； C选项，设小明第一个月还款的现值为M，则M(1＋r)＝x，解得M＝，故C正确； D选项，根据“等额本息还款法”可得，第一个月月末所欠银行贷款为A1＝A0(1＋r)－x， 第二个月月末所欠银行贷款为A2＝A1(1＋r)－x＝A0(1＋r)2－x(1＋r)－x， 第三个月月末所欠银行贷款为A3＝A2(1＋r)－x＝A0(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x， …… 第12个月月末所欠银行贷款为A12＝A0(1＋r)12－x(1＋r)11－x(1＋r)10－…－x(1＋r)－x ＝A0(1＋r)12－x[(1＋r)11＋(1＋r)10＋…＋(1＋r)＋1] ＝A0(1＋r)12－＝A0(1＋r)12＋， 由于分12次还清所有的欠款， 故A0(1＋r)12＋＝0， 解得x＝，D正确.故选BCD.] 考点二 典例2　解：(1)∵4Sn＝anan+1，n∈N*，① ∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4. 当n≥2时，4Sn-1＝an-1an，② ①－②得4an＝anan+1－an-1an. 由题意知an≠0，∴an+1－an-1＝4. 当n＝2k＋1，k∈N*时，a2k+2－a2k＝4，即a2，a4，…，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2k＝4＋(k－1)×4＝4k＝2×2k； 当n＝2k，k∈N*时，a2k+1－a2k-1＝4， 即a1，a3，…，a2k-1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a2k-1＝2＋(k－1)×4＝4k－2＝2(2k－1). 综上可知，an＝2n，n∈N*. (2)证明：＝＞＝， ∴Tn＝＞＝＝. 又＝＜＝＝， ∴Tn＝＜＝＜. 综上所述，＜Tn＜. 跟进训练 2．证明：(1)当n＝1时，S1＋2＝2a1， ∴S1＝a1＝2， 当n≥2时，Sn＋2＝2(Sn－Sn-1)， Sn＝2Sn-1＋2，Sn＋2＝2(Sn-1＋2)， ∴＝2，又S1＋2＝4， ∴数列｛Sn＋2｝是以2为公比，4为首项的等比数列. (2)由(1)知Sn＋2＝4×2n-1，Sn＝2n+1－2，代入Sn＋2＝2an，得an＝2n， ∴＝＝， ∴Tn＝＋…＋ ＝1－<1， 由n≥1，2n+1≥4，2n+1－1≥3， 得，所以－≥－， ∴1－. 综上所述，≤Tn<1. 考点三 典例3　(1)因为4Sn＋1＝3Sn－9， 所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9， 两式相减可得4an＋1＝3an，即＝. 当n＝1时，4S2＝4＝－－9， 解得a2＝－，所以＝. 所以数列{an}是首项为－，公比为的等比数列， 所以an＝－＝－. (2)因为3bn＋(n－4)an＝0， 所以bn＝(n－4)×. 所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－4)×，① Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)×＋(n－4)×，② ①－②得Tn＝－3×＋＋…＋－(n－4)×＝－－(n－4)×＝－n×，所以Tn＝－4n×. 因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立， 所以－4n×≤λ(n－4)×恒成立， 即－3n≤λ(n－4)恒成立， 当n<4时，λ≤＝－3－，此时λ≤1； 当n＝4时，－12≤0恒成立； 当n>4时，λ≥＝－3－，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1. 跟进训练 3．解：(1)证明：∵各项不为零的数列｛an｝满足an＝(n≥2，n∈N*)， 两边同时取倒数，可得＋3， ∴＝3， ∵a2＝－1，∴＝3，解得＝－4. ∴数列为等差数列，且公差为3，首项为－4. (2)由(1)可得＝－4＋3(n－1)＝3n－7，∴an＝， ∵≥λ对任意n∈N*恒成立，∴λ≤对任意n∈N*恒成立， 令f (n)＝＝1－， 当n＝1时，f (1)＝4； 当n＝2时，f (2)＝－； 当n≥3时，f (n)单调递增，＝f (3)≤f (n)<1， ∴f (n)min＝f (2)＝－，∴λ≤－. ∴实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四十)　数列的综合应用 1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， ∴ 由①得a1＋2d＝0⇒a1＝－2d，代入②得(－d)·d＝－8d＋6d⇒d2－2d＝0， ∵d≠0，∴d＝2，∴a1＝－4，∴an＝－4＋2(n－1)＝2n－6. (2)Sn＝－4n＋·2＝n2－5n， 由Sn＞an⇒n2－5n＞2n－6，∴n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0， ∴n＞6，∵n∈N*，故n的最小值为7. 2．证明：(1)由an＋1＝an＋，得an＋1－1＝(an－1)，由a2＝，得a1＝， 则a1－1＝≠0，所以an－1≠0，得＝， 所以数列{an－1}是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)得an－1＝，则an＝＋1，所以bn＝2n+1·an＋3＝2n+1＋＋3， 所以＝ ＝ ＝< ＝. 所以Sn≤＋…＋ ＝<. 3．解：(1)由题意，得a1＝120×(1＋25%)－t＝150－t， an＋1＝an(1＋25%)－t＝an－t. (2)证明：因为an＋1＝an－t，故an＋1－4t＝(an－4t)， 当n＝1时，b1＝a1－4t＝150－t－4t＝150－5t， 即＝，故{bn}是以150－5t为首项，为公比的等比数列． (3)由(2)得，an－4t＝(150－5t)·， 所以an＝4t＋(150－5t)·. 2030年年底的森林蓄积量为数列{an}的第10项， a10＝4t＋(150－5t)·. 由题意，森林蓄积量到2030年年底要实现不少于640万立方米的目标， 所以a10≥640，即4t＋(150－5t)·≥640， 即4t＋(150－5t)×7.45＝4t＋1 117.5－37.25t≥640，解得t≤14.36. 所以每年的砍伐量最多为14万立方米． 4．解：(1)由题意，得＝n＋4，即Sn＝n2＋4n， 故当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3，∵n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式， ∴an＝2n＋3，n∈N*. 又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0， ∴为等差数列，∴＝154， ∵b4＝8，∴b8＝20，∴d＝＝3， ∴bn＝b4＋3(n－4)＝3n－4， 即bn＝3n－4，n∈N*. (2)cn＝ ＝ ＝ ＝ ＝. ∴Tn＝ ＝＝. ∵Tn＋1－Tn＝ ＝>0， ∴Tn单调递增，T1＝， 令>，得k<12，∴kmax＝12. ∴使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值为12. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四十)　数列的综合应用 1．(2021·新高考Ⅱ卷)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．求： (1){an}的通项公式； (2)使得Sn>an成立的n的最小值． 2．(2024·辽宁铁岭模拟)在数列{an}中，a2＝，an＋1＝an＋，n∈N*. (1)证明：数列{an－1}是等比数列； (2)令bn＝2n+1·an＋3，数列的前n项和为Sn，求证：Sn<. 3．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标， A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计， A地2020年年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉t(10<t<30)万立方米的森林．设an为自2021年开始，第n年年底的森林蓄积量(例如a1＝150－t)． (1)试写出数列{an}的一个递推公式； (2)设bn＝an－4t(n∈N，n≥1)，证明：数列{bn}是等比数列； (3)若到2030年年底，A地要实现“森林蓄积量要不少于640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最多是多少万立方米？(精确到1万立方米) 参考数据：≈5.96，≈7.45，≈9.31. 4．已知数列的前n项和为Sn，点在直线y＝x＋4上，数列满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0且b4＝8，前11项和为154. (1)求数列的通项公式； (2)令cn＝，数列的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$