第6章 第1课时 数列的概念与简单表示法-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(三十六)　数列的概念与简单表示法 一、单项选择题 1．已知数列，2，…，则2是该数列的(　　) A．第5项　　　　　 B．第6项 C．第7项 　 D．第8项 2．(2023·北京丰台二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3＝(　　) A．－5　　 B．5　 C．7　　 D．8 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝若bn＝a2n－1，则b4＝(　　) A．18 　 B．16 C．11 　 D．6 4．(2024·广西防城港模拟)已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 024＝(　　) A．－2 　 B．－1 C． 　 D．2 5．(2024·江西吉安模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．2n 　 B． C．n2＋1 　 D．n＋1 6．已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝－n2＋2n＋m，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) 　 B．(－∞，－2) C．(2，＋∞) 　 D．(－∞，2) 7．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，则an的最小值是(　　) A．－15 　 B．－14 C．－11 　 D．－6 8．已知数列{an}的各项均为正数，数列是常数列，则数列{an}(　　) A．是递增数列 　 B．是递减数列 C．先递增后递减 　 D．先递减后递增 二、多项选择题 9．(2024·广东惠州模拟)数列{an}的首项为1，且an＋1＝2an＋1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a3＝7 B．数列{an＋1}是等比数列 C．an＝2n－1 D．Sn＝2n+1－n－1 10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的最小项是a1 B．数列{an}的最大项是a4 C．数列{an}的最大项是a5 D．当n≥5时，数列{an}递减 三、填空题 11．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________． 12．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________． 四、解答题 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝－1中选择两个作为条件，证明另外一个成立． 14．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章　数列 第1课时　数列的概念与简单表示法 梳理·必备知识 1．确定的顺序　 2．有限　无限　>　<　 3．列表法　图象法　函数解析式法　 4．an　5．一个式子 6．(1)a1＋a2＋…＋an　(2)S1　Sn－Sn-1 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、1．B　[由a1＝－1，代入检验可知选B.] 2．D　[由题意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2； 令n＝2，可得a3＝1＋＝1＋； 令n＝3，可得a4＝1＋＝1＋； 令n＝4，可得a5＝1＋＝1＋. 故选D.] 3．　[当n＝1时，a1＝S1＝2. 当n≥2时， an＝Sn－Sn-1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1. 显然当n＝1时，不满足上式， 故an＝] 4．n2　[由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形数量减少1个，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1， 所以an＝n＋2·＝n2.] 考点一 典例1　(1)C　(2)　[(1)当n＝1时，S1＝4a1－3，S1＝4S1－3，得S1＝1， 当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn-1)－3，3Sn＝4Sn-1＋3，Sn＝Sn-1＋1， Sn＋3＝(Sn-1＋3)，又S1＋3＝4， 所以｛Sn＋3｝是首项为4，公比为的等比数列， 所以Sn＋3＝4×，Sn＝4×－3＝3. 故选C. (2)当n＝1时， a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an-1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，② 由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝(n≥2，n∈N*). 显然当n＝1时不满足上式， ∴an＝] 跟进训练 1．(1)BCD　(2)2n2＋2n　[(1)∵an+1＝Sn·Sn+1＝Sn+1－Sn，两边同除以Sn+1·Sn，得＝－1. ∴是以－1为首项，－1为公差的等差数列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝－， 又a1＝－1不适合上式，∴an＝故选BCD. (2)由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；当n＝1时，＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，＝4n， ∴a1＋＋…＋n(4＋4n)＝2n＋2n2 .] 考点二 典例2　(1)　(2)　(3)2·3n-1－1　(4)　[(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…， ∴an－an-1＝n(n≥2). 以上各式相加，得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝. ∵a1＝1，∴an＝(n≥2). ∵当n＝1时也满足此式，∴an＝. (2)∵an＝an-1(n≥2)， ∴an-1＝an-2，an-2＝an-3，…，a2＝a1. 以上(n－1)个式子相乘得， an＝a1···…·. 当n＝1时，a1＝1，符合上式， ∴an＝. (3)∵an+1＝3an＋2， ∴an+1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3， ∴数列｛an＋1｝为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1， ∴an＝2·3n-1－1. (4)∵an+1＝，a1＝2，∴an≠0， ∴， 又a1＝2，则， ∴为公差的等差数列. ∴＋(n－1)×，∴an＝.] 跟进训练 2．(1)4－　(2) (3)·2n　[(1)∵an+1－an＝， ∴当n≥2时，an－an-1＝， an-1－an-2＝， …， a2－a1＝1－， ∴以上各式相加得an－a1＝1－，又a1＝3，∴an＝4－(n≥2)，a1＝3适合上式， ∴an＝4－. (2)∵＝2n， ∴当n≥2时，＝2n-1，＝2n-2， …， ＝22，＝2， ∴an＝··…···a1 ＝2n-1·2n-2·…·22·2·2 ＝21+2+3+…+(n-1)·2 ＝， 又a1＝2满足上式，∴an＝. (3)∵an+1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1， 得＋1. 又a1＝1， ∴，公差为1的等差数列，∴＋(n－1)×1＝n－， 即an＝·2n.] 考点三 考向1　典例3　　[因为a1＝0，an+1＝，所以a2＝， a3＝＝－＝－， a4＝＝0， 所以数列｛an｝的取值具有周期性，且周期为3，又a1＋a2＋a3＝0， 所以S2 024＝S3×674+2＝a1＋a2＝.] 考向2　典例4　D　[因为an+1－an＝ ＝，由数列｛an｝为递减数列知， 对任意n∈N*，an+1－an＝<0， 所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).] 点拨：｛an｝是递增数列⇔an+1>an，｛an｝是递减数列⇔an+1<an. 考向3　典例5　B　[结合f (x)＝(x＋1)·的单调性， 设数列｛an｝的最大项为an，则 所以 解不等式组可得9≤n≤10. 所以数列｛an｝的最大项为a9或a10.] 跟进训练 3．(1)D　(2)16　[(1)因为a1＝2，an+1＝，所以a2＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3，a7＝－，a8＝，…，可得an+4＝an，则a2 024＝a506×4＝a4＝. (2)由an＝得an＝×，当n≤16时，<0，当n＝1时，a1<0，故当n≤16时，an<0，当n≥17时，>0，且an>0，所以当n＝16时，Sn最小.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　数列的概念与简单表示法 [考试要求]　1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法). 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 1．数列的定义 一般地，把按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数____ 无穷数列 项数____ 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1__an 递减数列 an＋1__an 其中n∈N* 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是______、______和____________． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项____与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 5．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 6．数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝____________________叫做数列{an}的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． [常用结论] 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，2，3与数列3，2，1是相同数列． (　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列． (　　) (3)任何一个数列都有唯一的通项公式． (　　) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，，－，－，…的一个通项公式为(　　) A．an＝± 　 B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n+1· 　 D．an＝ 2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝(　　) A．2　　　 　 B．　　　 C．　　　 　 D． 3．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________． 考点一　由an与Sn的关系求通项公式 [典例1]　(1)(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝(　　) A．4　　　 B．4 C．3 　 D．4(3n－1) (2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．已知Sn求an的三个步骤 (1)利用a1＝S1求出a1. (2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝ 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差或等比数列或用累加、累乘等方法求解． [跟进训练] 1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　) A．an＝ 　 B．an＝ C．Sn＝－ 　 D．数列是等差数列 (2)若数列{an}是正项数列，且＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________． 考点二　由数列的递推关系求通项公式 [典例2]　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． (2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． (3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． (4)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　由递推关系求数列的通项公式的常用方法 [跟进训练] 2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝________． (2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式为an＝________． (3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________． 考点三　数列的函数特性 　数列的周期性 [典例3]　在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，Sn是数列{an}的前n项和，则S2 024＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　数列的单调性 [典例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) 　 B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) 　 D．(0，＋∞) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　数列的最值 [典例5]　已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·，则数列{an}的最大项为(　　) A．a8或a9 　 B．a9或a10 C．a10或a11 　 D．a11或a12 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解． 2．判断数列单调性的两种方法 (1)作差(商)法． (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 3．求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性求解． (2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． [跟进训练] 3．(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 024的值为(　　) A．2　　 　B．－3　　 　C．－　　 　D． (2)(2024·湖北武汉模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则使得Sn取得最小值的n的值为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十六)　数列的概念与简单表示法 1．C　[由数列，2，…的前三项可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，解得n＝7.故选C.] 2．B　[因为Sn＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝(32－1)－(22－1)＝5.故选B.] 3．B　[b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5 ＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7 ＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12 ＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16.故选B.] 4．D　[a1＝，则a2＝＝＝2，a3＝＝＝－1，a4＝＝＝，…， 故{an}为周期为3的数列，因为2 024＝674×3＋2，所以a2 024＝a2＝2.故选D.] 5．A　[由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，则＝＝＝，…，＝，n≥2，由累乘法可得＝n，所以an＝2n(n≥2)， 又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.故选A.] 6．A　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3， 故可知当n≥2时，{an}单调递减， 故{an}为递减数列，只需满足a2<a1， 即－1<1＋m⇒m>－2.故选A.] 7．A　[∵an＋1－an＝2n－11，∴当n≤5时，an＋1－an<0，当n>5时，an＋1－an>0， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，显然an的最小值是a6. 又an＋1－an＝2n－11， ∴a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5) ＝10＋(－9)＋(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＝－15，即an的最小值是－15. 故选A.] 8．A　[设＝k(k为常数)，∴an＝k·2n－n， ∵an>0，∴k>，易得k>， an－an－1＝k·2n－n－k·2n-1＋n－1＝k·2n-1－1>×21－1＝0(n≥2)， ∴an－an－1>0，数列{an}为递增数列． 故选A.] 9．AB　[∵an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，B正确； an＋1＝2n，∴an＝2n－1，C错误； a3＝7，A正确； Sn＝－n＝2n+1－n－2，D错误． 故选AB.] 10．BCD　[假设第n项为{an}的最大项，则 即 所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．] 11．　[当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式． 故数列{an}的通项公式为an＝] 12．(答案不唯一)　[符合条件的数列有，…. ] 13．证明：选①②作为条件证明③. 因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝； 当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1， 两式相减得an－an－1＝1－an， 所以2an＝an－1＋1， 所以2(an－1)＝an－1－1. 因为bn＝an－1，所以2bn＝bn－1，即＝， 所以数列{bn}是首项为－，公比为的等比数列， 所以Tn＝＝－1. 选①③作为条件证明②. 因为an＝n－Sn，所以当n＝1时，a1＝； 当n≥2时，an－1＝n－1－Sn－1， 两式相减得an－an－1＝1－an， 所以2an＝an－1＋1， 所以2(an－1)＝an－1－1，所以＝， 所以数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列， 所以an－1＝－，所以an＝1－. 因为Tn＝－1，所以当n＝1时，b1＝T1＝－； 当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－. 因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－， 故bn＝an－1. 选②③作为条件证明①， 因为Tn＝－1， 所以当n＝1时，b1＝T1＝－； 当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＝－. 因为当n＝1时也满足上式，所以bn＝－. 因为bn＝an－1，所以an＝1－， 所以Sn＝n－＝n－＝n－. 故an＝n－Sn. 14．解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an， ∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， ∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝， ∴＝＝…＝＝1， ∴an＝n(n∈N*)． (2)由(1)知bn＝3n－λn2. bn＋1－bn＝3n+1－λ(n＋1)2－(3n－λn2) ＝2×3n－λ(2n＋1)． ∵数列{bn}为递增数列， ∴2×3n－λ(2n＋1)>0， 即λ<.令cn＝， 即＝＝>1. ∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$