第5章 高考研究在线5 平面向量与三角形“四心”的交汇问题-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

高考研究在线5　平面向量与三角形 “四心”的交汇问题 命题点一 典例1　A　[由题意知(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上.同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心.] 跟进训练 1．B　[根据题意，2·＝||2，即2·＝2||||cos〈〉＝||2，所以||·cos〈〉＝||，则向量上的投影向量的长度为||的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为△ABC的外心.故选B.] 命题点二 角度1　典例2　(1)B　(2)　 　[(1)如图，··()＝··. 因为BG⊥AO，即·＝0， 所以··.又因为O是三角形的外心，所以||cos∠BAO＝||，所以··＝||||cos∠BAO＝||2＝×16＝8．故选B. (2) ∵， ∴＝()2， 即－2·， ∴10＝4＋9－2·，∴·. 如图，设AB的中点为D，AC的中点为E， ∵＝p＋q， ∴ ∵·＝||·||·cos∠BAO＝||·||＝2，·＝||·||·cos∠CAO＝||·||＝， ∴解得p＝，q＝.] 角度2　典例3　B　[如图所示，设D为边AC的中点， 则). 根据重心的性质可得 ×) ＝)， 则·)·)·()＝)＝(36－16)＝. 故选B.] 角度3　典例4　B　[由题意可知·＝0，·＝()···)·()＝)＝(62－42)＝10．故选B.] 角度4　典例5　C　[∵O为△ABC的内心， ∴O为△ABC的内角角平分线的交点. 令AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则有a＋b＋c＝0， ∴a＋b()＋c()＝0， ∴(a＋b＋c)＝(b＋c)＋c， ∴， ∴λ＋μ＝. 故选C.] 跟进训练 2．(1)B　(2)D　(3)1　[(1)根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍. 在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7. 设△ABC的内切圆的半径为r，则 bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝， ∴S△BOC＝·a·r＝×7×. 故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝. (2)如图，∵O，G，H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，∴，∴，A错误，B错误； )＝，C错误； )＝，D正确.故选D. (3)如图所示， ∵＝m·()， ∴＝m()， ∴＝(m－1)＋m()， 取BC边的中点D，连接OD，则OD⊥BC， ∴＝2·＝0. 又AH⊥BC，∴·＝0. ∴·＝(m－1)·＋2m·， ∴0＝(m－1)··不恒为0，∴m－1＝0，解得m＝1.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)各自有一些特殊的性质，在高考中常以向量作为载体，对三角形的“四心”进行考查．这就要求我们不仅要熟悉三角形“四心”的概念，还要掌握三角形“四心”的向量形式． 1．三角形“四心”的概念： (1)重心－－三角形的三条中线的交点； (2)垂心－－三角形的三条高线的交点； (3)内心－－三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； (4)外心－－三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 2．三角形的“四心”的向量形式： 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝. (2)O为△ABC的重心⇔＝0. (3)O为△ABC的垂心⇔＝＝. (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 命题点一　“四心”的判断 [典例1]　若三个不共线的向量满足＝＝＝0，则点O为△ABC的(　　) A．内心　 B．外心 C．重心　 D．垂心 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　熟知三角形“四心”各自的特征是求解此类问题的关键．如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边的向量的数量积为0；角平分线上的任意一点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． [跟进训练] 1．已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2＝||2，2＝||2，则点O为△ABC的(　　) A．内心 　 B．外心 C．垂心 　 D．重心 命题点二　与“四心”有关的计算 　外心 [典例2]　(1)在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，AB＝4，则＝(　　) A．4 　 B．8 C．12 　 D．16 (2)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC的外心，且＝p＋q，则p＝________，q＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　重心 [典例3]　已知△ABC的重心为O，且AB＝4，BC＝6，AC＝8，则＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D．16 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　垂心 [典例4]　已知H为△ABC的垂心，AB＝4，AC＝6，M为边BC的中点，则＝(　　) A．20 　 B．10 C．－20 　 D．－10 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　内心 [典例5]　在△ABC中，若||＝2，||＝3，||＝4，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求解此类问题的关键是结合三角形的特点，运用“四心”的向量表达式及其相关性质． [跟进训练] 2．(1)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　) A． 　 B． C．4 　 D．6 (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线．设点O，G，H分别为△ABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是(　　) A．＝ 　 B．＝ C．＝ 　 D．＝ (3)已知相异两点O，H分别为△ABC的外心与垂心，且＝m·()，则实数m＝________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$