第5章 第4课时 复数-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(三十五)　复数 一、单项选择题 1．(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i　　　　　　 B．1－i C．－1＋i 　 D．－1－i 2．(2023·全国乙卷)|2＋i2＋2i3|＝(　　) A．1　　 B．2　 C．　　 D．5 3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，若z－＝2i，则复数z的虚部为(　　) A．　　　 　 B．2　　　 C．i　　　 　 D．2i 4．已知i是虚数单位，则化简的结果为(　　) A．i 　 B．－i C．－1 　 D．1 5．(2023·山东淄博二模)已知i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝|1＋i|，则z＝(　　) A．i 　 B．i C．－i 　 D．－i 6．(2024·江苏南通模拟)已知复数z＝(1＋i)·(m－2i)在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) 　 B．(0，2) C．(－2，2) 　 D．(－∞，－2) 二、多项选择题 7．(2024·河北邯郸模拟)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则(　　) A．p＝2 　 B．x2＝1－i C．x1·＝－2i 　 D．＝i 8．下列结论正确的是(　　) A．若复数z满足z＋＝0，则z为纯虚数 B．若复数z满足∈R，则z∈R C．若复数z满足z2≥0，则z∈R D．若复数z1，z2满足＝0，则z1＝z2＝0 三、填空题 9．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为________． 10．已知复数z＝3－ai(i为虚数单位)满足|－2|＜2，则实数a的取值范围为________． 11．(2024·湖北襄阳模拟)如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3＋5i，则顶点B对应的复数是(　　) A．－2＋8i B．2－8i C．－1＋7i D．－2＋7i 12．棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω＝cos ＋i·sin，则ω4的值是(　　) A．－ω 　 B． C．ω 　 D． 13．(多选)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 14．(多选)(2024年1月九省联考卷)已知复数z，w均不为0，则(　　) A．z2＝|z|2 　 B．＝ C．＝ 　 D．＝ 15．请写出一个同时满足①；②＝2的复数z，即z＝________． 16．(2023·上海春季高考)已知z1，z2∈C且z1＝i·，|z1－1|＝1，则|z1－z2|的取值范围为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　复数 梳理·必备知识 1．(1)a　b　(2)＝　≠　(3)a＝c且b＝d　(4)a＝c且b＝－d　(5)|z|　|a＋bi|　 2．Z(a，b)　 3．(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　i 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．A　[因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.] 2．D　[(1＋i)(1－2i)＝1＋2－2i＋i＝3－i，故选D.] 3．D　[＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.] 4.2＋i　[＝2－i，故其共轭复数是2＋i.] 考点一 典例1　(1)C　(2)1　[(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，|z|＝，所以|z|＋z＝a＋＋bi＝2＋4i，所以解得a＝－3，b＝4，所以z＝－3＋4i.故选C. (2)z是纯虚数，且|z|＝1，则有z＝±i，故＝1±i，实部为1.] 跟进训练 1．A　[设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z2＋z＝(a＋bi)2＋(a＋bi)＝a2＋2abi－b2＋a＋bi＝a2＋a－b2＋(2ab＋b)i.因为z2＋z是实数，所以2ab＋b＝0，b＝0(舍去)，或a＝－.故选A.] 考点二 典例2　(1)A　(2)D　[(1)因为z＝＝－i，所以i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A. (2)由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的另一个根， 则m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2， 即m＝2，n＝2，则m＋n＝4．故选D.] 跟进训练 2．(1)C　(2)1　[(1)因为＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4， 所以＝－i. 故选C. (2)法一：因为z＝1＋＝1＋＝i， 所以1＋z＋z2＋…＋z2 024＝＝1. 法二：因为z＝1＋＝1＋＝i， 所以1＋z＋z2＋…＋z2 024＝1＋i＋i2＋…＋i2 024＝506×(1＋i－1－i)＋1＝1.] 考点三 典例3　(1)A　(2)ACD　[(1)因为(1＋3i)·(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A. (2)复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yix＋(y－1)i|， 即，整理得y＝x， 即点Z在直线y＝x上，C正确； 易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为点P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确.故选ACD.] 跟进训练 3．(1)D　(2)2　[(1)设z＝a＋bi，a，b∈R. 则|z－2i|＝1表示复平面内点Z(a，b)到点(0，2)的距离为1，则|z|的最大值为点(0，2)到点(0，0)的距离加上1，即|z|max＝2＋1＝3．故选D. (2)法一(代数法)：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝＋i， 所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i. 因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4， 所以＝4，① ＝4，② ①2＋②2，得a2＋b2＝12. 所以|z1－z2|＝＝2. 法二(几何法)：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，则z1＋z2对应向量. 由题意知||＝||＝||＝2， 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则z1－z2对应向量为，且||＝||＝||＝2， 可得||＝2||sin 60°＝2. 故|z1－z2|＝||＝2.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十五)　复数 1．D　[∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，), ∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D.] 2．C　[|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝.故选C.] 3．A　[z－＝2bi＝2i，解得b＝.故选A.] 4．D　[因为＝＝＝i， 所以＝i2 024＝1．] 5．B　[因为z(1＋i)＝|1＋i|，所以z＝＝＝(1－i)＝i.故选B.] 6．A　[z＝(1＋i)·(m－2i)＝m＋2＋(m－2)i，对应点(m＋2，m－2)，由于点(m＋2，m－2)在第一象限，所以解得m>2.故选A.] 7．BD　[因为x1＝1＋i且实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，所以x1x2＝2，可得x2＝＝＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由＝1＋i，所以x1·＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C错误；＝＝＝＝i，故D正确．故选BD.] 8．BC　[设复数z＝0，z＋＝0，z不为纯虚数，A错误； 设复数z＝a＋bi，则＝＝∈R，所以b＝0，即z∈R，B正确； 设复数z＝a＋bi，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z∈R，C正确； 设复数z1＝1，z2＝i，满足＝0，但z1＝z2＝0不成立，D错误．故选BC.] 9．－2＋i　[因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量对应的复数为－2＋i.] 10．(－)　[由题知，－2|＜2，所以|1＋ai|＜2，即12＋a2＜22，解得－＜a＜.] 11．A　[由题意得＝(3，5)，不妨设C点对应的复数为a＋bi(a<0，b>0)，则＝(a，b)，由⊥，||＝||，得⇒即C点对应的复数为－5＋3i，由＝，得B点对应的复数为(3＋5i)＋(－5＋3i)＝－2＋8i.故选A.] 12．C　[依题意知，ω＝cos＋i·sin＝－i，由棣莫弗公式，得ω4＝＝cos ＋i·sin ＝cos ＋i·sin ＝－cos ＋i·sin ＝－i，所以ω4＝ω.故选C.] 13．AD　[因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝. 即ω＝1或ω＝. 当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0.故选AD.] 14．BCD　[设z＝a＋bi，w＝c＋di. 对A：因为z＝a＋bi，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi， |z|2＝＝a2＋b2，故A错误； 对B: ＝·z＝，即有＝，故B正确； 对C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则＝a－c－(b－d)i， ＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i， 即有，故C正确； 对D：＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ＝＝ ＝ ＝， 故＝，故D正确． 故选BCD.] 15．1＋i或－1－i(任选一个作答即可)　[设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到＝，两边平方化简可得a＝b，由＝2⇒a2＋b2＝2⇒a＝b＝±1，z＝±(1＋i)．] 16．[0，2＋]　[设z1－1＝cos θ＋isin θ，则z1＝1＋cos θ＋isin θ.因为z1＝i·，所以z2＝sin θ＋i(cos θ＋1)，所以|z1－z2|＝＝＝，显然当sin ＝时，原式取最小值0，当sin ＝－1时，原式取最大值2＋，故|z1－z2|的取值范围为[0，2＋].] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　复数 [考试要求]　1．通过方程的解，认识复数.2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i是虚数单位，实部是__，虚部是__． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi (a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔______________(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔________________(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作______或____________，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点____________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________________； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________________； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________________________； ④除法：＝＝＝__________(c＋di≠0)． (2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＝. [常用结论] 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． 2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)． 3．z·|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n． 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 5．若ω＝－±i，则 (1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0. 6．z＝⇔z∈R. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∈C，则a2≥0． (　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　) (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi． (　　) (4)方程x2＋2x＋4＝0没有解． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 　 B．0 C．1 　 D．－1或1 2．(人教A版必修第二册P80练习T2改编)(1＋i)(1－2i)＝(　　) A．－1＋2i 　 B．－1－2i C．3＋i 　 D．3－i 3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i 　 B．－1＋2i C．3＋4i 　 D．－3－4i 4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数的共轭复数是________． 考点一　复数的有关概念 [典例1]　(1)(2023·广东广州三模)已知复数z满足|z|＋z＝2＋4i，则z＝(　　) A．3＋4i　　　　 B．3－4i C．－3＋4i 　 D．－3－4i (2)(2023·辽宁沈阳一模)若z是纯虚数，|z|＝1，则的实部为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． [跟进训练] 1．(2023·湖北武汉二调)若虚数z使得z2＋z是实数，则z满足(　　) A．实部是－ 　 B．实部是 C．虚部是0 　 D．虚部是 考点二　复数的四则运算 [典例2]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i　　 B．i C．0　　 D．1 (2)(2024·河南郑州模拟)已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n＝(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．4 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数． [跟进训练] 2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i 　 B．－1－i C．－i 　 D．－i (2)已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 024＝________． 考点三　复数的几何意义 [典例3]　 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　 　 B．第二象限 C．第三象限 　 D．第四象限 (2)(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，则下列结论正确的是(　　) A．点P0的坐标为(1，2) B．复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于虚轴对称 C．复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上 D．点P0与z复平面内对应的点Z间的距离的最小值为 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． [跟进训练] 3．(1)(2023·江西五市九校联考)若复数z满足|z－2i|＝1，则|z|的最大值为(　　) A．1　　 B． C．2　　 D．3 (2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$