第5章 第3课时 平面向量的数量积及其应用-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第3课时　平面向量的数量积及其应用 [考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是__________． 当____时，a与b垂直，记作a⊥b； 当______时，a与b共线且同向； 当______时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：0·a＝__． 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b____，叫做向量a在向量b上的________，记为____________________． 提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__________________． (2)模：|a|＝＝． (3)夹角：cos θ＝＝． (4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔______________________． (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立). 6．平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的取值范围是． (　　) (2)两个向量的数量积是一个实数． (　　) (3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A．　　B．　　C．　　D． 2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________. 3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________． 考点一　平面向量数量积的运算 [典例1]　(1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，则(a＋b)·(2a－b)＝(　　) A．6　　　B．8　　　C．10　　　D．14 (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________． [四字解题] 读 想 算 思 正方形ABCD且E是AB边上的动点； 求的最大值 数量积的求解方法 投影法 数量积的几何意义 数形结合 基向量法 数量积的运算 三角形法则 坐标法 建系，求相关点的坐标，建立函数 几何问题代数化，函数思想 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义． [跟进训练] 1．(1)已知△ABC是边长为1的正三角形，＝2＝2，则＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．1 (2)(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是________． 考点二　平面向量数量积的应用 　求向量的模 [典例2]　(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　向量的夹角问题 [典例3]　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　向量的垂直问题 [典例4]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 　 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 　 D．λμ＝－1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．求平面向量模的方法 (1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝. (2)利用|a|＝. 2．求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]. (2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. (3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中． [跟进训练] 2．(多选)(2024·烟台模拟)已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．||＝ B．若⊥，则m＝－2 C．若∥，则m＝－ D．若的夹角为锐角，则m<2且m≠－ 考点三　平面向量的应用 [典例5]　(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|＝与的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是(　　) A．θ越大越费力，θ越小越省力 B．θ的取值范围为[0，π] C．当θ＝时，|＝|G| D．当θ＝时|＝|G| [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 [跟进训练] 3．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A．－ 　 B．－ C．－ 　 D．－ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　平面向量的数量积及其应用 梳理·必备知识 1．[0，π]　θ＝　θ＝0　θ＝π 2．|a||b|cos θ　0 3．投影　投影向量　|a|cos θ e 5．(1)x1x2＋y1y2　(2) (3)　(4)x1x2＋y1y2＝0 激活·基本技能 一、(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、1．A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13， a·b＝3×5＋4×12＝63. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝.] 2．－e　[向量b在向量a上的投影向量为e＝－e.] 3.2　[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝2.] 4.8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，·＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8.] 考点一 典例1　(1)B　(2)1　1　[(1)由|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，所以(a＋b)·(2a－b)＝2a2＋a·b－b2＝2|a|2＋|a|·|b|cos－|b|2＝2×22＋2××＝8．故选B. (2)法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则··＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于||2＝1．要使·上的投影向量的长度最大为||＝1，所以(·)max＝||2＝1. 法二(基向量法)：因为⊥·＝()·＝||2＝1，·＝()··＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，显然随着E点在AB边上移动，||max＝1，故(·)max＝1. 法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得·＝1．因为＝(1，0)，所以·＝x，因为0≤x≤1，所以(·)max＝1.] 跟进训练 1．(1)A　(2)－2　　[(1)由＝2，可知E为BC中点， 所以AE⊥BC，AE＝. ， 所以·＝||2＝. (2)∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)， ∴a·b＝1×2＋2×(－2)＝－2， ∵|a|＝，|b|＝＝2，设向量a，b的夹角为θ，∴cos θ＝＝－，则a在b上的投影向量是|a|·cos θ·××(2，－2)＝.] 考点二 考向1　典例2　　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝.] 考向2　典例3　(1)C　(2)∪　[(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cos ， 故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6＋e1·e2＋2＝－6＋＋2＝－，|a|＝，|b|＝， 故cos〈a，b〉＝＝－， 由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝. (2)因为2a－3b与c的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0， 所以4k－6－6<0，所以k<3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是－∞，－∪－，3.] 考向3　典例4　D　[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D.] 跟进训练 2．AC　[因为A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)， 所以＝(2，－1)，＝(1，m)(m∈R)， 选项A：||＝，故A正确； 选项B：因为⊥·＝0，所以2－m＝0，即m＝2，所以B错误； 选项C：因为∥，所以2×m＝(－1)×1，所以m＝－，所以C正确； 选项D：因为＝(－2，1)， 所以解得m>2，所以D错误.故选AC.] 考点三 典例5　AD　[对于A，由G＝－(F1＋F2)，所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2(1＋cos θ)，解得|F1|2＝.由题意知θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以|F1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故C错误；对于D，当θ＝时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确.故选AD.] 跟进训练 3． B　[由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|·cos θ＋＝0，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十四)　平面向量的数量积及其应用 一、单项选择题 1．(2024·河北邯郸模拟)已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝(　　) A．－4　　　　　　 B．3－4 C．－2 　 D．1 2．(2023·北京高考)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．0　　 D．1 3．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 4．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a－b在b上的投影向量为(　　) A．－a　　 B．－b C．a　　 D．b 5．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则＝(　　) A．8　　 B．－8 C．4　　 D．－4 6．(2024·苏锡常镇模拟)两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA＝(4，3)，sB＝(－2，6)，则sB在sA上的投影向量的长度为(　　) A．10　　 B． C．　　 D．2 7．(2024·重庆模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(2，1)，则|3a＋b|＝(　　) A．2　　 B． C．3　　 D．5 8．已知向量a＝(2，m)，b＝(3，1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是(　　) A．(－6，＋∞) B． C． D． 二、多项选择题 9．(2024·江苏连云港模拟)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是(　　) A．若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b B．若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b) C．若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直 D．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直 10．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C．＝ D．＝ 三、填空题 11．(2023·山东青岛一模)已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥，且m与的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标：________． 12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________． 13．已知非零向量满足＝，且＝，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 　 D．等边三角形 14．(2023·湖南永州三模)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示的是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则的最小值为________． 15．已知△ABC的面积S满足≤2S≤3，且＝3，与的夹角为θ，则与夹角的取值范围为________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十四)　平面向量的数量积及其应用 1．A　[a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×cos －22＝－4，故选A.] 2．B　[向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B.] 3．A　[根据题意，设a与a＋b夹角为θ， 因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，则cos θ＝＝＝.故选A.] 4．B　[∵|a＋b|＝|a－b|， ∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，可得a·b＝0， ∴a－b在b上的投影向量为＝·b＝－b.故选B.] 5．B　[法一：＝－＝－cos ∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以cos ∠CAB＝AO＝2，所以＝(－4)×2＝－8.故选B. 法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则＝(－4，0)，＝(2，－b)，∴＝－8.故选B. ] 6．D　[设sB与sA的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以sB在sA上的投影向量的长度为||sB|cos θ|＝2＝2.故选D．] 7．D　[因为|a＋b|＝＝3，即|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同向，所以|3a＋b|＝3|a|＋|b|＝5.故选D.] 8．C　[因为a＝(2，m)，b＝(3，1)， 所以a·b＝6＋m. 因为向量a，b的夹角是锐角，所以 解得m>－6，且m≠， 所以实数m的取值范围是.故选C.] 9．AB　[∵|a＋b|＝|a－b|， ∴(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，解得a·b＝0，故a⊥b，故A正确； ∵|a|＝|b|, ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0， 故由向量垂直的性质可知，(a＋b)⊥(a－b)，故B正确； ∵a·c＝b·c，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝0， ∴a－b与c垂直，故C错误； ∵[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0， ∴根据向量垂直的性质可知，(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误．故选AB.] 10．AC　[由题可知，||＝＝1，||＝所以||＝||，故A正确； 取α＝，则P1，取β＝， 则P2，则||≠||，故B错误； 因为＝cos (α＋β)，＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，所以＝，故C正确； 因为＝cos α，＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (α＋2β)，取α＝，β＝， 则＝＝cos ＝－，所以≠，故D错误．故选AC.] 11．(－1，－2)(答案不唯一)　[根据题意可得：＝(1，2)，＝(3，－1)，设m＝(x，y)，因为向量m∥，且m与的夹角为钝角，所以所以x<0，不妨令x＝－1，所以y＝－2，m＝(－1，－2)．] 12．－　[法一：由a＋b＋c＝0⇒(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0， ∴a·b＋b·c＋a·c＝－. 法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－， 由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－， 由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－.] 13．D　[∵＝，∴＝，∴cos 〈〉＝cos 〈〉， ∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，又∵＝，∴cos 〈〉＝，∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．故选D.] 14．2　[如图，以O为坐标原点，BE所在直线为x轴，BE的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)， 由题意知，E(2，0)，O(0，0)，则＝(2－cos θ，－sin θ)，＝(2，0)，所以＝4－2cos θ，当cos θ＝1，即θ＝0时，取最小值2．] 15．　[∵＝3， ∴的夹角θ为锐角， 则||||cos θ＝3，∴||||＝， 又S∈，∴||||sin (π－θ)≤， ∴||||sin θ≤， ∴tan θ≤，∴≤tan θ≤1， ∴≤θ≤， ∴与夹角的取值范围为.] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$