第3章 第1课时 导数的概念及运算-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第三章　一元函数的导数及其应用 第1课时　导数的概念及运算 梳理·必备知识 1．(1)f '(x0) 2．斜率　y－f (x0)＝f '(x0)(x－x0)　 3.0　αxα-1　cos x　－sin x　axln a　ex　　 4．(1)f '(x)±g'(x)　(2)f '(x)g(x)＋f (x)·g'(x)　(3) (4)cf '(x) 5．y'u·u'x 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．C　[∵h'(t)＝－9.8t＋8，∴h'(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1．故选C.] 2．ABD 3．A　[由题图知：f '(3)<<f '(5)，即2f '(3)<f (5)－f (3)<2f '(5).故选A.] 4．y＝(e－1)x＋2　[∵f '(x)＝ex－， ∴f '(1)＝e－1， 又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f '(1)＝e－1，切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.] 考点一 典例1　ABC　[－表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强. 对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确； 对于D，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误.故选ABC.] 跟进训练 1．BD　[对于A，设tan α＝，tan θ＝， 由图得α>θ，所以tan α>tan θ， 所以>，所以该选项错误； 对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小， 根据导数的几何意义，得r'>r'，所以该选项正确； 对于C，设V1＝0，V2＝3，所以r＝r，因为r－r(0)>r(3)－r， 所以r>，所以该选项错误； 对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r'表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈，所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C，所以该选项正确.故选BD.] 考点二 典例2　(1)A　(2)ABD　[(1)∵f '(x)＝3xln 3－， ∴f '(1)＝3ln 3－2f '(1)，∴f '(1)＝ln 3．故选A. (2)对于A，[(3x＋5)3]'＝3(3x＋5)2(3x＋5)'＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)'＝(x3)'ln x＋x3(ln x)'＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于C，'＝ ＝，故C错误； 对于D，(2x＋cos x)'＝(2x)'＋(cos x)'＝2xln 2－sin x，故D正确.故选ABD.] 跟进训练 2．(1)C　(2)e2　[(1)∵f (1)＝1， ∴f (1)＋g(1)＝0，∴g(1)＝－1， ∵f (x)＋xg(x)＝x2－1， ∴f '(x)＋g(x)＋xg'(x)＝2x， ∴f '(1)＋g(1)＋g'(1)＝2， ∴f '(1)＋g'(1)＝2－(－1)＝3. (2)因为f (x)＝ln(2x－3)＋axe-x， 所以f '(x)＝＋ae-x－axe-x， 所以f '(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-2＝1，则a＝e2.] 考点三 考向1　典例3　C　[因为y＝， 所以y'＝， 故曲线在点处的切线斜率k＝， 所以切线方程为y－(x－1)， 即y＝x＋.故选C.] 考向2　典例4　(1)A　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　[(1)设切点为(x0，y0)，易知y'＝ex+a，则 解得故选A. (2)∵y＝(x＋a)ex，∴y'＝(x＋1＋a)ex， 设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)，切线斜率k＝(x0＋1＋a)， ∴切线方程为y－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)(x－x0)， ∵切线过原点， ∴－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)(－x0)， 整理得＋ax0－a＝0， ∵切线有两条， ∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0， ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).] 跟进训练 3．(1)D　(2)2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)　[(1)设切点坐标为(x0，ln x0)， 由于y'＝，因此切线方程为y－ln x0＝(x－x0). 又切线过点(a，b)，则b－ln x0＝， 即b＋1＝ln x0＋， 则b＋1＝ln x0＋有两个不等实根， 设f (x)＝ln x＋，定义域是(0，＋∞)， 即直线y＝b＋1与曲线f (x)＝ln x＋有两个不同的交点. f '(x)＝， 当a≤0时，f '(x)>0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意； 当a>0时，若0<x<a，则f '(x)<0，f (x)单调递减， 若x>a，则f '(x)>0，f (x)单调递增. 所以f (x)min＝f (a)＝ln a＋1， 由题意知b＋1>ln a＋1，即b>ln a.故选D. (2)因为y＝x3－x，所以y'＝3x2－1， 设切点坐标为(x0，－x0)，则切线斜率为3－1，得切线方程为y－(－x0)＝(3－1)(x－x0)， 代入点(－1，0)，得2＋3－1＝0，即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝. 当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0.] 考点四 典例5　(1)B　(2)－　[(1)设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，a)，其中x1>0， 对于y＝ln x－1有y'＝，则y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)，即y＝＋ln x1－2， 对于y＝ax2有y'＝2ax，则y＝ax2的切线方程为y－a＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－a， 所以则－＝ln x1－2， 即＝2ln x1(x1>0)， 令g(x)＝2x2－x2ln x， 则g'(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)， 令g'(x)＝0，得x＝， 当x∈(0，)时，g'(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(，＋∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)max＝g()＝e3，故0<≤e3，即a≥e-3．故选B. (2)令f (x)＝kx-1(k<0)，g(x)＝ex， 则f '(x)＝－，g'(x)＝ex， 设A(x1，f (x1))，则曲线y＝f (x)在A处切线为y－f (x1)＝f '(x1)(x－x1)，即y＝－x＋， 设B(x2，g(x2))，则曲线y＝g(x)在B处切线为 y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，即y＝x＋(1－x2)， 由题意消去x1，得－4k＝(1－x2)2. 由题意，方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根， 令φ(x)＝(1－x)2ex，则φ'(x)＝(x2－1)ex＝(x－1)(x＋1)ex， 当x<－1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增； 当－1<x<1时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减； 当x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增， 故当x＝－1时，φ(x)取极大值，为φ(－1)＝； 当x＝1时，φ(x)取极小值，为φ(1)＝0， 又当x≠1时，φ(x)>0，根据以上信息作出φ(x)的大致图象， 由图可知当－4k＝，即k＝－时，直线y＝－4k与φ(x)的图象有两个交点，从而方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根， 所以曲线y＝kx-1(k<0)与曲线y＝ex有两条公切线时，k的值为－.] 跟进训练 4．(1)1－ln 2　(2)y＝ex或y＝x＋1 [(1)设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))，则切线方程分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意， 解得x1＝，x2＝－， 从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2. (2)设直线l与曲线f (x)＝ex的切点为(x1，)，与曲线g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，ln x2＋2). 因为f '(x)＝ex，g'(x)＝， 所以l：y＝·x－x1·， y＝·x＋ln x2＋1. 所以 解得 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝ex.] 微点突破2 跟进训练 C　[对于选项A，f (2x)＋f (2－2x)＝3， 令x＝2x，得f (x)＋f (2－x)＝3，则函数f (x)的图象关于点对称. 若f (1－x)＋f (1＋x)＝3，则函数f (x)的图象关于点对称，符合题意，故A正确； 对于选项B，由选项A的分析知f (x)＋f (2－x)＝3，等式两边同时求导， 得f '(x)－f '(2－x)＝0，即f '(x)＝f '(2－x)①， 又f '(x)＝f '(－x)，f '(x)为偶函数， 所以f '(2－x)＝f '(x－2)②， 由①②得f '(x)＝f '(x－2)， 所以函数f '(x)的周期为2. 所以f '(2－x)＝f '(x)＝f '(2＋x)， 即f '(2－x)＝f '(2＋x)，故B正确； 对于选项C，由选项B的分析知f '(2－x)＝f '(2＋x)， 则函数f '(x)的图象关于直线x＝2对称. 令f (1－x)＝－Δ(x)，f (1＋x)＝＋Δ(x)，若f '＝f '， 则函数f '(x)的图象关于直线x＝对称，不符合题意，故C错误； 对于选项D，由选项B的分析可知函数f '(x)的周期为2，则f '(x)＝f '(x＋2)， 所以f ( f '(x))＝f ( f '(x＋2))，故D正确.故选C.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十七)　导数的概念及运算 1．C　[由h＝t3＋t2，得h′＝t2＋2t. 当t＝t0时，h′＝＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)． 故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8 cm/s.故选C.] 2．A　[由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2， 设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)， 把原点(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1， 解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A.] 3．B　[因为f (x)＝2cos x－f ′sin x， 所以f ′(x)＝－2sin x－f ′cos x， 故f ′＝－2sin －f ′cos ， 即f ′＝－f ′， 所以f ′＝－.故选B.] 4．B　[由f (x)＝ln x＋a，得f ′(x)＝，令直线y＝x与曲线f (x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，于是＝1且ln x0＋a＝x0，所以a＝x0＝1.故选B.] 5．D　[设P点坐标为(x0，y0)， 由f (x)＝ex－x，x∈R，得f ′(x)＝ex－， 则以P为切点的切线斜率为－>－， 令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－， 则θ∈.故选D.] 6．B　[f ′(x)＝2x，而x0＝2，则f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，于是函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)， 令y＝0，得x1＝，则f ′(x1)＝3，f (x1)＝－2＝， 因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417.故选B.] 7．AC　[若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)存在实数解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.] 8．BCD　[因为f (x)＝ex＋2，所以f ′(x)＝ex， 对于A，令f ′(x)＝ex＝－2，方程无解，所以曲线y＝f (x)的切线斜率不可以是－2，故A错误； 对于B，令f ′(x)＝ex＝3，解得x＝ln 3，所以曲线y＝f (x)的切线斜率可以是3，故B正确； 对于C，设切点＋2)，则切线方程为－2＝(x－x0)，因为点(0，2)在切线上， 所以－2＝(0－x0)，即＝，显然≠0，所以x0＝1， 故过点(0，2)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故C正确； 对于D，设切点＋2)，则切线方程为－2＝(x－x1)， 因为点(1，4)在切线上，所以－2＝(1－x1)，即＋2＝0， 令g(x)＝xex－2ex＋2，则g′(x)＝(x－1)ex，所以当x<1时g′(x)<0，当x>1时g′(x)＞0， 所以g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝0，g(1)＝2－e<0，g(2)＝2，所以存在x2∈(1，2)使得g(x2)＝0， 所以方程＋2＝0有且仅有两个实数根， 所以过点(1，4)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条，故D正确．故选BCD.] 9．5x－y＋2＝0　[因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．] 10．0　[因为f (x)＝ln x－cos (x－1)， 所以f ′(x)＝＋sin (x－1)，f ′′(x)＝－＋cos (x－1)， 则f ′(1)＝＋sin 0＝1，f ′′(1)＝－＋cos 0＝0， 所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝＝0．] 11．解：(1)由y＝x3＋ax，得y′＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y′＝2x＋b， 又两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线， ∴解得a＝1，b＝2，c＝－1. (2)由y＝x2＋2x－1，得y′＝2x＋2，则y′|x＝1＝4， ∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. 则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2. ∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2＝. (3)由y＝ln (bx－1)＝ln (2x－1)，得y′＝，由＝2，得x＝1. ∴y＝ln (2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为＝. 12．解：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或1. (2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－. 所以a的取值范围为. 13．C　[设切点坐标为(t，t2－2t), y′＝2x－2， 所以曲线y＝x2－2x在点(t，t2－2t)处的切线方程为y－(t2－2t)＝(2t－2)(x－t)，即y＝(2t－2)x－t2， 将点(a，b)的坐标代入切线方程可得 b＝(2t－2)a－t2，即t2－2at＋2a＋b＝0， 因为过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则关于t的方程t2－2at＋2a＋b＝0有两个不等的实数解，所以Δ＝4a2－4(2a＋b)>0， 即a2－2a－b>0，即b<a2－2a. 对于点(0，0)，0＝02－2×0，A不满足； 对于点(1，1)，1>12－2×1，B不满足； 对于点(3，0)，0<32－2×3，C满足； 对于点(3，4)，4>32－2×3，D不满足． 故选C.] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十七)　导数的概念及运算 一、单项选择题 1．(2024·云南楚雄期末)已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　) A．5 cm/s　　　　　 B．6 cm/s C．8 cm/s 　 D．10 cm/s 2．(2023·北京东城区一模)过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(　　) A．y＝x 　 B．y＝2x C．y＝x 　 D．y＝ex 3．(2024·山东潍坊安丘模拟)已知函数f (x)＝2cos x－f ′sin x，则f ′＝(　　) A． 　 B．－ C．2 　 D．－2 4．(2023·河北邯郸二模)已知直线y＝x是曲线f (x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　) A．－1　　 B．1 C．－2　　 D．2 5．(2023·山东潍坊三模)若P为函数f (x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f (x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 6．牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿迭代法得到的r的近似值x2约为(　　) A．1.438 　 B．1.417 C．1.416 　 D．1.375 二、多项选择题 7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A．f (x)＝x2 　 B．f (x)＝e－x C．f (x)＝ln x 　 D．f (x)＝tan x 8．(2024·安徽合肥模拟)已知函数f (x)＝ex＋2(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是－2 B．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是3 C．过点(0，2)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条 D．过点(1，4)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条 三、填空题 9．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f ′(x)为y＝f (x)的导函数，y＝f ′′(x)为y＝f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝.曲线f (x)＝ln x－cos (x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________． 四、解答题 11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线y＝ln (bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 13．(2024·吉林通化模拟)若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是(　　) A．(0，0)　　　 B．(1，1) C．(3，0) 　 D．(3，4) 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　导数的概念及运算 [考试要求]　1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2．通过函数图象，理解导数的几何意义.3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作____________或y′|x＝，即 f ′(x0)＝＝. (2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数) f ′(x)＝y′＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为__________________________________________． 提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝__ f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝__________ f (x)＝sin x f ′(x)＝_________ f (x)＝cos x f ′(x)＝___________ f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝___________ f (x)＝ex f ′(x)＝____ f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f ′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝___________________； (2)[f (x)g(x)]′＝_______________________________； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf (x)]′＝______________． 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数． 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______·______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 几类重要的切线方程 (1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln (x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝x ln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． (　　) (2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)． (　　) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (　　) (4)函数f (x)＝sin (－x)的导数是f ′(x)＝cos x． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后， 他的重心相对于水面的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(高度单位：m，时间单位：s)，则他在0.5 s时的瞬时速度为(　　) A．9.1 m/s　　　　 B．6.75 m/s C．3.1 m/s 　 D．2.75 m/s 2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是(　　) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x 3．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，f ′(x)是函数f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5) B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3) C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5) D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3) 4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f (x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为________． 考点一　变化率问题 [典例1]　(多选)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 则下列结论正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解. [跟进训练] 1．(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1<V2≤3，则下列结论正确的是(　　) A．< B．r′(1)>r′(2) C．r< D．存在V0∈(V1，V2)，使得r′(V0)＝ 考点二　导数的运算 [典例2]　(1)(2023·重庆巴蜀中学一模)已知函数f (x)＝3x－2f ′(1)ln x，则f ′(1)＝(　　) A．ln 3　　　　　 B．2 C．3 　 D．3ln 3 (2)(多选)下列求导正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．′＝ D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　导数的运算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． [跟进训练] 2．(1)若函数f (x)，g(x)满足f (x)＋xg(x)＝x2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g′(1)＝(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 (2)(2024·广东广州模拟)已知函数f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x，若f ′(2)＝1，则a＝________． 考点三　导数的几何意义 　求切线方程 [典例3]　(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x 　 B．y＝x C．y＝x＋ 　 D．y＝x＋ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求参数的值(范围) [典例4]　(1)(2023·山东济南二模)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为(　　) A．－2　　 B．－1 C．0　　 D．2 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　导数几何意义的应用要点 (1)已知切点A(x0，f (x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f ′(x0)． (2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．. 提醒：“在点P处的切线”与“过点P的切线”不同． [跟进训练] 3．(1)若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则(　　) A．a＜ln b　　　 B．b＜ln a C．ln b＜a 　 D．ln a＜b (2)(2023·江苏南通八市联考)过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程_______． 考点四　两曲线的公切线问题 [典例5]　(1)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　) A．(0，2e]　　　 B． C． 　 D．[2e，＋∞) (2)(2024·四川泸州开学考试)若曲线y＝kx-1(k＜0)与曲线y＝ex有两条公切线，则k的值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　曲线公切线的求解策略 设直线与曲线y＝f (x)切于(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2. 所以解出x1，x2，从而可得切线方程． [跟进训练] 4．(1)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________． (2)已知f (x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)的公切线，则直线l的方程为________． 1．导函数与原函数对称性的关系 性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称． 性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称⇔导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．(证明略) 2．导函数与原函数奇偶性的关系 性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数． 性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数． [典例1]　已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则(　　) A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数 B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数 C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数 D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数 [赏析]　突破点1：熟知函数的性质 根据题意，定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (－x)＝f (2＋x)， 又f (2＋x)＝－f (2－x)，所以f (－x)＝－f (4＋x)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数， 所以f ′(x＋4)＝[f (x＋4)]′＝f ′(x)，所以f ′(x)是周期函数． 突破点2：导函数与原函数的奇偶性关系 因为f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)， 即f (x)＝－f (－x)， 所以f ′(－x)＝－[f (－x)]′＝f ′(x)， 所以f ′(x)是偶函数． 故选B. [答案]　B [典例2]　(多选)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f 为偶函数，g为奇函数，则(　　) A．f ＝0　　　　 B．g＝0 C．g(1)＋g(2)＝0 　 D．g＋g＝0 [赏析]　突破点：原函数与导函数间的性质关系 因为f 为偶函数，所以f ＝f ，所以f ＝f ， 所以f (x)的图象关于直线x＝对称， 例如f (x)＝1，则函数f (x)满足条件，但f ＝1≠0，所以选项A错误； 因为g为奇函数，所以g＝－g，所以函数g(x)的图象关于点对称． 令x＝0，得g＝0，故选项B正确； 因为f (x)的图象关于直线x＝对称， 所以f ＝f ， 所以′＝′， 即－f ′＝f ′， 所以f ′(1)＋f ′(2)＝0，所以g(1)＋g(2)＝0，故选项C正确； 所以f ′＋f ′＝0，所以g＋g＝0，故选项D正确． 故选BCD. [答案]　BCD 　求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的应用． [跟进训练] (2023·江苏盐城中学三模)设函数f (x)的定义域为R，其导函数为f ′(x)，若f ′(－x)＝f ′(x)，f (2x)＋f (2－2x)＝3，则下列结论不一定正确的是(　　) A．f (1－x)＋f (1＋x)＝3 B．f ′(2－x)＝f ′(2＋x) C．f ′ ( f (1－x))＝f ′( f (1＋x)) D．f ( f ′(x＋2))＝f ( f ′(x)) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$