第2章 高考研究在线2 高考试题中的抽象函数-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

高考研究在线2 高考试题中的抽象函数 命题点 典例11)ABC(2)BC[1)取x=y=0,则f(O)=0,故A正确：取x=y=1, 则f1)=f(1)十f(1),所以f(1)=0,故B正确：取x=y=-1,则f(1)=f(-1) +f(一1)，所以f(一1)=0，取y=一1，则f(一x)=f(x)十xf(一1)，所以f(一x) =f(x),所以函数fx)为偶函数，故C正确：由于f(0)=0,且函数f)为偶函数， 所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x=0可能为函数f(x)的极小值点，也 可能为函数fx)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值，点，故D不正确故选 ABC. (2)国为∫（号-2x),g2+x)均为偶函数，所以f(号-2x)=f(号+2x), 即f(号-x)=f(号+x),g2+x)=g(2-), 所以f(3一x)=f(x),g(4一x)=g(x),则f(一1)=f(4),故C正确： 函数f,g)的图象分别关于直线x=，x=2对称， 又g)=f(x)，且函数fw)可导， 所以g(号)=0，g3-)=-8), 所以g(4一x)=g(x)=一g(3一x) 所以g(x+2)=一g(x+1)=g(), 所以g(-)=g(是)=0， g(-1)=g(1)=一g(2),故B正确，D错误： 若函数f(x)满足题设条件，则通数f(x)十C(C为常数)也满足题设条件，所以无 法确定f(x)的函数值，故A错误故选BC.] 跟进训练 1.ADf6-9,g(号-2x)均为奇函数， f6+)=-f6-,g(号+2x)=一g(3-2x),∴)的图象关于点6,0) 对称，g的图象关于点（号，0）对称， ∴.A正确：gx)=fx), “g)的图象关于直线x=3对称，B错误：g)图象关于点（号，0）对称，又关 于直线x=3对称，∴g)的周期为2， ∴g(5)=一g(0),g(8)=g0),∴·g(5)=一g(8),D正确；f(3+x)=一f(3一x), ∴f()=-f(3),C错误故选AD1 命题点二 典例2A法一（赋值法）：令y=1得f(x+I)十f(x-1)=f(x)·f(I)=f(x)户f(x +1)=f(x)一f(x-1), 故fx+2)=fx+1)-fx),fx+3)=fx+2)-fx+1), 消去f(x十2)和f(x十1)得到f(x+3)=一f(x),故f(x)的周期为6： 令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(I)·f0)→f(0)=2, .f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f3)=f2)-f(1)=-1-1=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, 故f()=3[f(1)+f(2)+…+f(6]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f1)+f(2)+f (3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3,即f()=-3.故选A 法二（特殊函数法）：取fw)=2cosx符合条件，则T=6,计算可得f(2)=f1) -f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-2, f(4)=f3)-f(2)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=1, f(6)=f(5)-f(4)=2, ∴.f()=1-1-2-1+1+2=0, 一个周期内的f(1)+f(2)+…+f(6)=0.由于22除以6余4， 所以f)=f(1)+f(2)+f3)+f(4)=1-1-2-1=-3. 故选A] 跟进训练 2.ACD[对于A,令x=y=0,得f(0)=0,故A正确： f(x)f(-x) 对于B,令y=-x,则f0)=司=0，国光一9=一， 又f(x)的定义域为{xx≠4k+2,k∈Z;,关于原点对称，所以f()为奇函数，故B 错误： f(x)f(1)f(x)+1 对于C,令y=1,则f+1)=0=-=-1+-, 所以fx+2)=-1+=一，因此fx+4)=-x2=f), 所以f(x)为周期函数，且周期为4，故C正确： 对于D,f(2023)=f3)=f(-1)=-f1)=-1,故D正确.故选ACD.] 点拨：(1)挖掘背景函数：(2)抽象恒等式.如f(x+y)=f(x)十fy).①恰当赋值：② 正逆应 抽象函数可以全面考查函数的概念和性质，新高考连续三年在此点命题，破解此类问题的一般方法为赋值法、函数性质法和构造函数法． 命题点一　与奇偶性、对称性相关的求值问题 [典例1]　(1)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，则(　　) A．f (0)＝0 B．f (1)＝0 C．f (x)是偶函数 D．x＝0为f (x)的极小值点 (2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f (0)＝0　　　　　 B．g＝0 C．f (－1)＝f (4) 　 D．g(－1)＝g(2) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　本例(2)改编于2021年新高考Ⅱ卷T8，主要考查原函数与导函数之间的性质关联问题． 设函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，则f (x)与f ′(x)有如下关系： (1)f (x)的图象关于直线x＝a对称⇒f ′(x)的图象关于点A(a，0)中心对称； (2)f ′(x)关于直线x＝b对称⇒f (x)关于点B(b，f (b))中心对称； (3)f (x)的图象是周期为T的周期函数⇒f ′(x)图象是周期为T的周期函数． [跟进训练] 1．(多选)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)，若f (3－x)，g均为奇函数，则(　　) A．f (3)＝0　　　　　　 　 B．g(3)＝0 C．f ＝f 　 D．g(5)＝－g(8) 命题点二　与周期性相关的求值问题 [典例2]　(2022·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则＝(　　) A．－3　　 B．－2 C．0　　 D．1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　常见的抽象函数7大模型： (1)一次函数：f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－b. (2)二次函数：f (a－x)＝f (a＋x)． (3)幂函数：f (xy)＝f (x)f (y)． (4)指数函数：f (x＋y)＝f (x)f (y)，f (x－y)＝. (5)对数函数：f (xy)＝f (x)＋f (y)，f ＝f (x)－f (y)． (6)正切函数：f (x±y)＝. (7)余弦函数：f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，f (x)＋f (y)＝2f . [跟进训练] 2．(多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　) A．f (0)＝0 B．f (x)为偶函数 C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期 D．f (2 023)＝－1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$