第2章 第11课时 函数模型的应用-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第11课时　函数模型的应用 [考试要求]　1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调____ 单调____ 单调递增 增长速度 越来____ 越来____ 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与____平行 随x的增大逐渐表现为与____平行 随n值变化而各有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相 关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．“对勾”函数f (x)＝x＋在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f (x)取最小值2. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． (　　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度． (　　) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝2x　　　　 B．y＝lg x C．y＝x2 　 D．y＝2x 2．(人教A版必修第一册P148例3改编)根据一组试验数据画出的散点图如图所示． 现有如下4个模拟函数： ①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02； ③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 ________(填序号)． 3．(人教A版必修第一册P86 T4改编)某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日单价x(单位：元)之间的关系式为y＝－＋12x－210，那么，日单价为________元时，该商品的日利润最大，最大日利润为________元． 4．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/千米，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/千米定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________． 考点一　用函数图象刻画实际问题 [典例1]　(1) 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f (h)的大致图象是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D (2)(2024·云南师大附中期末)如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(　　) A．y＝mx＋n(m>0) B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况． [跟进训练] 1．在西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律研究中，统计显示，生长4年的树高为m，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________m. 考点二　已知函数模型的实际问题 [典例2]　(2023·福建漳州三模)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过t min物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90 ℃的物体，若放在10 ℃的空气中冷却，经过10 min物体的温度为50 ℃，则若使物体的温度为20 ℃，需要冷却(　　) A．17.5 min　　　 B．25.5 min C．30 min 　 D．32.5 min [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． [跟进训练] 2．住房的许多建材都会释放甲醛．甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准．若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1，2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f (x)(x∈N*)，其中f (x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f (2)＝2，f (8)＝3，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　) A．17周 　 B．24周 C．28周 　 D．26周 考点三　构建函数模型的实际问题 [典例3]　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝ ＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38．每件商品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤 [跟进训练] 3．(2024·东北师大附中模拟)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过几小时才能驾驶汽车？(参考数据lg 2≈0.301)(　　) A．5　　 B．6 C．7　　 D．8 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十六)　函数模型的应用 1．B　[由题表可知函数单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B.] 2．B　[由表格中的数据可知，函数单调递增，合适的函数模型为y＝5＋lg x， 令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10-0.3＝0.5．] 3．B　[由题意可得f (0)＝＝1.5且f (2)＝＝4.5， 解得b＝1，k＝－1，故f (x)＝， 函数f (x)＝在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝＝5.4， 故该果树的高度不低于5.4 m，至少需要3年．故选B.] 4．A　[由题意可知甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，乙大棚的投入资金为200－x(单位：万元)， 所以f (x)＝80＋4(200－x)＋120＝－x＋4＋250， 由 可得40≤x≤160， 令t＝，则t∈[2，4]， g(t)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282， 所以当t＝8，即x＝128时总收入最大，最大收入为282万元．故选A.] 5．AC　[当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)是关于n的单调递减函数， 即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确； 当k＝时，Pn＝P0≥2P0，所以≥2，所以n≥2(n∈N)， ∈(2，3)，所以n的最小值为3，故C正确； 当k＝－时，Pn＝P0P0，所以，所以， ＝2∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC.] 6．ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p01＝40，所以p3＝p01＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p01＞10p01，所以1＞10，所以＞20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝1≥1，所以p1≤100p2，故D正确.综上，故选ACD.] 7．15　[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，则当x∈[0，12]时，y＝3x≤36元，不符合题意； 当x∈(12，18]时，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意； 当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合题意． 综上所述，此户居民本月用水量为15 m3．] 8．10　[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由＜，得n≥10. 所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．] 9．k＝(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点(160，0)和(190，1)即可，答案不唯一)　[由题意知，函数k(x)在(160，190)上单调递增，设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈(160，190)， 由解得 所以k(x)＝x－＝(x－160)， 所以k＝] 10．解：(1)由表格知当x＝0时，y＝－4， 若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4； 若选②y＝k·ax(a>0且a≠1)，则k＝－4， 此时y＝－4ax(a>0且a≠1)不满足x＝2时，y＝8，故不选； 若选③y＝klogax(a>0且a≠1)，x＝0时无意义，故不选． 所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系， 由题意有当0≤x<7时，由y＝ax2＋bx＋c， 且x＝0，y＝－4时，得c＝－4； 当x＝2，y＝8时，得4a＋2b＝12； 当x＝6，y＝8时，得36a＋6b＝12； 联立解得a＝－1，b＝8， 所以当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4. (2)由(1)知，当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4， 又当x≥7时，y＝， 将x＝10，y＝代入上式，得＝⇔3-2＝3m-10， 解得m＝8，即当x≥7时，y＝. 综上有y＝ 当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12， 所以当x＝4时，取到最大值ymax＝12. 当x≥7时，y＝单调递减， 所以当x＝7时，ymax＝＝3， 故当新材料的含量x＝4克时，产品的性能达到最大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11课时　函数模型的应用 梳理·必备知识 1．递增　递增　越快　越慢　y轴　x轴　 激活·基本技能 一、(1)×　(2)√　(3)× 二、1．D　[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快.] 2．④　[由题图可知，上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律.] 3.150　690　[因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150，即当日售价为150元时，该商品的最大利润为690元.] 4．y＝　[由题意可得y＝] 考点一 典例1　(1)B　(2)B　[(1)由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f (h)是个增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确.故选B. (2)A选项，由散点图知身高y随时间x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义.故选B.] 跟进训练 1．②　　[由散点图的走势，知模型①不合适. 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝，当t＝1时，代入④中，得y＝，与散点图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(m).] 考点二 典例2　C　[由题意得50＝10＋(90－10)·e－10k，即e－10k＝，∴k＝ln 2，∴θ＝θ0＋(θ1－θ0)， 由20＝10＋(90－10)， 即－ln 2＝ln ＝－3ln 2，解得t＝30， ∴若使物体的温度为20 ℃，需要冷却30 min.故选C.] 跟进训练 2．D　[f (x)＝loga＝logak＋2loga(x＋1)，由f (2)＝2，f (8)＝3，得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3，两式相减得loga9＝1，则a＝9，所以logak＋2＝3，k＝9．该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则0.48－0.1f (x)≤0.08，则f (x)≥4，即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26，故至少需要通风26周.故选D.] 考点三 典例3　解：(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0<x<8时，L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9，即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立， 即x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元. 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大，最大年利润为15万元. 跟进训练 3．D　[设该驾驶员x小时后100 mL血液中酒精含量为y mg，则y＝100(1－20%)x＝100×0.8x，当y＝20时，100×0.8x＝20，即0.8x＝0.2， ∴x＝log0.80.2＝≈≈7.206．故选D.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十六)　函数模型的应用 一、单项选择题 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2　　　　 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x 　 D．y＝x 2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如表所示． 小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5-0.22≈0.7，10-0.1≈0.8)(　　) A．0.3　 B．0.5 C．0.7　 D．0.8 3．(2023·河南五市二模)美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f (x)＝(P>0，a>1，k<0)的形式．已知f (x)＝(x∈N)描述的是一种果树的高度f (x)(单位：m)随着栽种时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种(x＝0)时该果树的高为1.5 m，经过2年，该果树的高为4.5 m，则该果树的高度不低于5.4 m，至少需要(　　) A．2年　　 B．3年 C．4年　　 D．5年 4．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a2＋120．设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x)(单位：万元)，则总收入f (x)的最大值为(　　) A．282万元 　 B．228万元 C．283万元 　 D．229万元 二、多项选择题 5．(2024·浙江绍兴模拟)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　) A．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势 B．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化 C．当k＝，Pn≥2P0时，n的最小值为3 D．当k＝－，Pn≤P0时，n的最小值为3 6．(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 　 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 　 D．p1≤100p2 三、填空题 7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表所示． 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为________m3. 8．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”． 9．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________． 四、解答题 10．某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：克)的函数．研究过程中的部分数据如表所示． x(单位：克) 0 2 6 10 … y －4 8 8 … 已知当x≥7时，y＝，其中m为常数．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，c均为常数． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； (2)求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能达到最大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$