第2章 第10课时 函数的零点与方程的解-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(十五)　函数的零点与方程的解 1．B　[令f (x)＝log4x－， 因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是单调递增的， 所以函数f (x)＝log4x－在(0，＋∞)上是单调递增的， f (1)＝－<0，f (2)＝log42－＝＝>0， 所以函数f (x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点， 所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B.] 2．C　[由题意知，函数f (x)在(1，2)上单调递增，又函数f (x)的一个零点在区间(1，2)内， 所以即解得0<a<3.故选C.] 3．D　[因为x＝2是函数y＝f (x)的一个零点，则f (2)＝0，于是f (2)＝h(2)＋2＝0，即h(2)＝－2， 而函数h(x)是奇函数，则有h(－2)＝－h(2)＝2， 所以f (－2)＝h(－2)＋2＝4.故选D.] 4．C　[由题意可得解得x>0，故f (x)的定义域为(0，＋∞)，令f (x)＝log2x－log4(x＋20)＝0，得log4x2＝log4(x＋20)(x>0)，则x2＝x＋20，解得x＝5或x＝－4，又∵x>0, ∴x＝5.故选C.] 5．A　[因为函数g(x)＝f (x)－m有三个零点， 所以函数f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f (x)的图象，如图所示， 由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1，2].] 6．B　[令f (x)＝x2－x＝0， x＝0或x＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0， f (－1)＝0，f (－3)＝0. 所以函数y＝f (x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7．] 7．A　[设函数f (x)＝x＋2x，易知f (x)在R上单调递增， f (－1)＝－，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x1<0； 设函数g(x)＝x＋log2x， 易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1， 即gg(1)<0， 由函数零点存在定理可知，<x2<1； 设函数h(x)＝－log2x， 易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0， 因为h(1)>h(x3)， 由函数单调性可知，x3>1， 即－1<x1<0<x2<1<x3．] 8．B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点． 即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确． 由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0， 则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1. ①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5， 可得 f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误； ②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4， 可得f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5， 解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意． 综上，甲正确，乙错误．故选B.] 9．BC　[对于A，f (x)定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误； 对于B，f (x)定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据零点存在定理可知，g(x)在(0，1)上存在零点，故B正确； 对于C，f (x)定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确； 对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x，令F(x)＝ln x－－x， 则F′(x)＝－1＝＝， 故当x>2时，f ′(x)<0，F(x)单调递减， 当0＜x＜2时，f ′(x)>0，F(x)单调递增， 故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值， 故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC.] 10．ACD　[令g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a＝0， 则[f (x)－a][f (x)＋1]＝0，解得f (x)＝－1或f (x)＝a. 当x>0时，f ′(x)＝ln x＋1．由f ′(x)>0，得x>；由f ′(x)<0，得0<x<， 则f (x)在上单调递减，在上单调递增，f ＝－. f (x)＝－x2－2x＋1，x≤0，当x＝－1时，f (－1)＝2， 故f (x)的大致图象如图所示．由图可知，f (x)＝－1有且仅有1个实根． 当a＝－1时，g(x)恰有1个零点，故A错误； 当1≤a<2时，f (x)＝a有3个实根，则g(x)恰有4个零点，故B正确； 由g(x)恰有3个零点，得f (x)＝a恰有2个实根，则a＝2或0≤a<1或a＝－，则C错误； 由g(x)恰有2个零点，得f (x)＝a恰有1个实根，且a≠－1，则a<－1或－1<a<－或a>2，则D错误． 故选ACD.] 11．(x－1)2(答案不唯一)　[函数f (x)的图象在区间(0，2)上连续不断，且“若f (x)在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f (x)满足在(0，2)上存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f (x)＝(x－1)2．] 12．6　[因为函数f (x)满足f (x＋1)＝f (－x)，所以函数f (x)的图象的对称轴为直线x＝，又因为函数f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)，又f (x＋1)＝f (－x)，所以f (x＋1)＝－f (x)，所以函数f (x)的周期为2， 又因为当x∈时，f (x)＝4x，作出函数f (x)和y＝－的简图如图所示， 由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点(1，0)对称的，且关于点(1，0)对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为3×2＝6．] 13．B　[作出函数f (x)的图象如图． 依题意方程f (x)＝ax－1有且仅有三个实数解， 即y＝f (x)与y＝ax－1有且仅有三个交点， 因为y＝ax－1必过点(0，－1)，且f (0)＝－1， 若a≤0，方程f (x)＝ax－1不可能有三个实数解， 则必有a>0， 当直线y＝ax－1与y＝ln x在x>0时相切时， 设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x)＝，即f ′(x0)＝， 则切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y＝·x＋y0－1＝·x＋ln x0－1， 因为切线方程为y＝ax－1， 所以a＝且ln x0－1＝－1，则x0＝1，所以a＝1， 即当a>0时y＝ax－1与y＝f (x)在(0，＋∞)上有且仅有一个交点， 要使方程f (x)＝ax－1有且仅有三个实数解， 则当x≤0时f (x)＝x2＋2x－1与y＝ax－1有两个交点，设直线y＝ax－1与f (x)＝x2＋2x－1切于点(0，－1)，此时f ′(x)＝2x＋2，则f ′(0)＝2，即a＝2， 所以0<a<2.故选B.] 14．ABD　[令y＝0，得f ＝－1，设f (x)＝t，则方程f ＝－1等价为f ＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点(0，1)，对称轴为x＝. 对于A，当k>1时，作出函数f (x)的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有一个根t＝，由f (x)＝可知，此时x只有一解，即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确； 对于B，当k＝－2时，作出函数f (x)的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有一个根t＝，由f (x)＝可知，此时x有3个解，即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确； 对于C，当0＜k＜1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误； 对于D，当k＝－4时，作出函数f (x)的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f (x)＝可知，此时x有3个解，由f (x)＝t2∈(－1，0)可知，此时x有3个解，由f (x)＝t3∈(－4，－3)可知，此时x有1个解，即函数y＝f ＋1有7个零点，故D正确．故选ABD.] 15．2　[由f (x)＝0，g(x)＝0得ex＝2－x，ln x＝2－x，函数y＝ex与y＝ln x互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y＝ex，y＝ln x，y＝2－x的图象， 如图所示，则A(a，ea)，B(b，ln b)，由反函数性质知A，B关于点(1，1)对称，则a＋b＝2，ea＋ln b＝2．] 16．1　(0，27)　[作出函数f (x)＝ 的图象，如图所示， 因为f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，x1＜x2＜x3＜x4. 所以由图可知，－log3x1＝log3x2，＝9， 且3＜x3＜6，即x1x2＝1， 所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝＋18x3－45， 因为y＝＋18x3－45在(3，6)上单调递增， 所以0＜y＜27， 即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27)．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十五)　函数的零点与方程的解 一、单项选择题 1．(2023·广东梅州二模)用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) 　 D．(3，4) 2．函数f (x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) 　 B．(1，2) C．(0，3) 　 D．(0，2) 3．(2024·广西玉林模拟)已知函数h(x)是奇函数，且f (x)＝h(x)＋2，若x＝2是函数y＝f (x)的一个零点，则f (－2)＝(　　) A．－4　　 B．0 C．2　　 D．4 4．(2024·西宁模拟)函数f (x)＝log2x－log4(x＋20)的零点为(　　) A．4 　 B．4或5 C．5 　 D．－4或5 5．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，2] 　 B．(1，2) C．(0，1) 　 D．[1，＋∞) 6．函数f (x)是定义在R上最小正周期为2的周期函数，当0x<2时，f (x)＝x2－x，则函数y＝f (x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为(　　) A．6　　 B．7 C．8　　 D．9 7．已知＝0，x2＋log2x2＝－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 　 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 　 D．x2<x3<x1 8．(2023·海南海口一模)关于函数f (x)＝ 其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点． 乙：4是该函数的零点． 丙：该函数的所有零点之积为0. 丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　) A．甲　　 B．乙 C．丙　　 D．丁 二、多项选择题 9．(2024·山东烟台期末)对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有(　　) A．f (x)＝2x2＋ 　 B．f (x)＝ex－3x C．f (x)＝ex-1－2ln x 　 D．f (x)＝ln x－ 10．(2023·辽宁辽阳二模)已知函数f (x)＝ 函数g(x)＝[f (x)]2－(a－1)f (x)－a，则下列说法错误的是(　　) A．若a<－，则g(x)恰有2个零点 B．若1a<2，则g(x)恰有4个零点 C．若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1) D．若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是∪(2，＋∞) 三、填空题 11．函数f (x)的图象在区间(0，2)上连续不断，能说明“若f (x)在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题的一个函数f (x)的解析式可以为f (x)＝________． 12．定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (－x)，且当x∈时，f (x)＝4x，则函数g(x)＝f (x)＋在上的零点之和为________． 13．已知函数f (x)＝若方程f (x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为(　　) A．0<a<1 　 B．0<a<2 C．a>1 　 D．a>2 14．(多选)已知函数f (x)＝下列关于函数y＝f ＋1的零点个数的说法中正确的是(　　) A．当k>1时，有1个零点 B．当k＝－2时，有3个零点 C．当0＜k＜1时，有4个零点 D．当k＝－4时，有7个零点 15．(2024·江苏镇江模拟)已知函数f (x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则ea＋ln b＝________． 16．已知函数f (x)＝ 若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，则x1x2＝________，(x3－3)(x4－3)的取值范围是________． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课时　函数的零点与方程的解 梳理·必备知识 1．(1)f (x)＝0　(2)零点　x轴　(3)连续不断　f (a)f (b)<0　(a，b)　f (c)＝0　 2．连续不断　f (a)f (b)<0　零点 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点.] 2．BCD　[由所给的函数值表知，f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0，f (5)f (7)<0，∴函数f (x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)，(5，7).故选BCD.] 3．C　[函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1与函数y＝－x的交点的横坐标分别为a，b，c，作出图象，结合图象可得c>b>a.故选C. ] 4．－2，e　[由题意得， 解得x＝－2或x＝e.] 考点一 典例1　A　[法一(定理法)：因为y＝2x，y＝log2x在上单调递增，所以f ＝2x＋log2x在上单调递增，所以f (x)至多有一个零点， 因为f －2<0，f －1>0， 由零点存在定理知，f (x)在上存在零点， 结合选项，因为⊆， 所以f (x)的零点所在区间是，故选A. 法二(图象法)：令f (x)＝0，得2x＝－log2x，作出函数y＝2x和y＝－log2x的图象，如图，显然y＝f (x)在区间内有零点.] 跟进训练 1．(1)A　(2)2　[(1)函数y＝f (x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f (a)＝(a－b)(a－c)>0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点. (2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝loga x，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.] 考点二 典例2　(1)C　(2)B　[(1)令g(x)＝0得f (x)＝， 在同一直角坐标系中作出f (x)及y＝的大致图象如图所示. 由图象可知，函数y＝f (x)与y＝的图象有3个交点，即函数g(x)有3个零点.故选C. (2)根据题意，令4f 2(x)－13f (x)＋9＝0，得f (x)＝1或f (x)＝.作出f (x)的简图. 由图象可得当f (x)＝1或f (x)＝时，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f 2－13f ＋9的零点的个数为7．故选B.] 跟进训练 2．(1)6　(2)①②④　[(1)∵f (x)＝f (x＋4)，∴y＝f (x)的周期T＝4， 如图所示即为函数y＝f (x)的图象，4f (x)＝|x|⇒f (x)＝的图象，观察f (x)与图象有6个交点，则方程4f (x)＝|x|的实根个数是6. (2)将f (x)＝|lg x|－kx－2转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题. 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确； 对于②，存在k<0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误； 对于④，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确.] 考点三 考向1　典例3　(－∞，－)∪　[，＋∞)　[y＝ ⇒当x≤a时，y'＝3－3x2≥0⇒x∈[－1，1]，可得y＝3x－x3在[－1，1]上单调递增，在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减， 解方程3x－x3＝0可得，其根依次记为x1＝－，x3＝0，x4＝，而2x＋1＝0的根记为x2＝－，可得其草图如图所示. 若函数f (x)有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为x1＝－，或x2＝－. (i)若零点为x2＝－，只需a<－，即函数左半段无零点，零点在右半段，即直线段部分上，如图所示； (ii)若函数零点为x1＝－，由函数解析式及图象可知，只需a∈，如图所示. 若函数f (x)存在三个零点，则零点为x1＝－，x3＝0，x4＝，只需a≥，如图所示. ] 考向2　典例4　(1)B　(2)D　[(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增， 因为函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点， 所以解得－5<m<－1， 所以实数m的取值范围是(－5，－1).故选B. (2)由题意可得，2x2－mx＋1＝0即m＝2x＋在x∈时有2个不同的解， 设f (x)＝2x＋，根据双勾函数的性质可知， f (x)在上单调递增， 且f ＝3，f ＝2，f (4)＝， 要使m＝2x＋在x∈时有2个不同的解， 则2<m≤3．故选D.] 跟进训练 3．(1)D　(2)　[(1)由题知函数的周期为4．画出f (x)在区间(0，10)上的图象，如图①所示： 因为f (x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间(0，10)上有5个不同的实数根，所以函数f (x)与y＝logax的图象在(0，10)上有5个交点. 当a>1时，如图②所示： 由图象知解得6<a≤10； 当0<a<1时，如图③所示： 由图象知loga8>－3，解得0<a<， 综上，实数a的取值范围为∪(6，10]. (2)依题意，结合函数f (x)的图象分析可知，m需满足 即 解得<m<.] 微点突破1 跟进训练 1．C　[设f (x)＝t，令F(x)＝0可得f (t)＝t＋1， 对于y＝，y'＝，故y＝在x＝0处切线的斜率值为k1＝1. 设y＝k2x＋1与y＝ln x相切于点(x2，ln x2)， ∵(ln x)'＝，∴切线斜率k2＝，则切线方程为y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2－1， ∴ 由于<<1，故作出f (x)与y＝x＋1的图象如图所示， ∴y＝x＋1与f (x)有四个不同交点， 即y＝t＋1与f (t)有四个不同交点. 设四个交点为t1，t2，t3，t4(t1<t2<t3<t4)，由图象可知t1<0<t2<1<t3<t4， 作出函数y＝t，y＝f (x)的图象如图， 由此可知f (x)与y＝t1无交点，与y＝t2有三个不同交点，与y＝t3，y＝t4各有两个不同交点， ∴F(x)＝f [f (x)]－f (x)－1的零点个数为7．故选C.] 2．D　[令t＝f ＋1＝ ①当t>0时，f (t)＝ln t－，则函数f (t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2－>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f ＝0； ②当t≤0时，f (t)＝t2＋2t，由f (t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0．作出函数t＝f (x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示： 由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f (x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f (x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f (x)＋1的图象有且只有一个交点.综上所述，函数y＝f 的零点个数为5．故选D.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课时　函数的零点与方程的解 [考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系.2．理解函数零点存在定理，并能简单应用.3．了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使____________的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有____⇔函数y＝f (x)的图象与____有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有____________________，那么，函数y＝f (x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____________，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象________且____________________的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点． [常用结论] 1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，而且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (　　) (2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)＜0． (　　) (3)函数y＝f (x)为R上的单调函数，则f (x)有且仅有一个零点． (　　) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　D 2．(多选) (人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2)　　　　 B．(2，3) C．(5，6) 　 D．(5，7) 3．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>c>a 　 B．a>b>c C．c>b>a 　 D．c>a>b 4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f (x)＝则f (x)的零点为________． 考点一　判定函数零点所在的区间 [典例1]　(2024·广东东莞期中)函数f (x)＝2x＋log2x的零点所在区间是(　　) A．　　　　　 B． C．(1，2) 　 D．(2，3) [四字解题] 读 想 算 思 函数零点所在区间的判断问题 定理法 f ，f 的正负 等价转化、数形结合 图象法 画y＝2x和y＝－log2x的图象 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点． [跟进训练] 1．(1)若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 　 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 考点二　确定函数零点的个数 [典例2]　(1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 (2)已知函数f (x)＝则关于x的函数y＝4f 2(x)－13f (x)＋9的零点的个数为(　　) A．8　　 B．7 C．5　　 D．2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f (x)＝0，方程有多少个解，则f (x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． [跟进训练] 2．(1)(2023·甘肃武威三模)已知函数y＝f (x)满足：当－2≤x≤2时，f (x)＝－x2＋1，且f (x)＝f (x＋4)对任意x∈R都成立，则方程4f (x)＝|x|的实根个数是________． (2)(2021·北京高考)已知f (x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f (x)有两个零点； ②∃k＜0，使得f (x)有一个零点； ③∃k＜0，使得f (x)有三个零点； ④∃k＞0，使得f (x)有三个零点． 以上正确结论的序号是________． 考点三　函数零点的应用 　根据函数零点个数求参数 [典例3]　(2023·通州区一模)设函数f (x)＝若函数f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 ________；若函数f (x)存在三个零点，则实数a的取值范围是 ________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　根据函数零点范围求参数 [典例4]　(1)(2023·山西阳泉三模)函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－5) 　 B．(－5，－1) C．(1，5) 　 D．(5，＋∞) (2)(2024·云南红河模拟)已知关于x的方程2x2－mx＋1＝0在上存在两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，3] 　 B． C． 　 D．(2，3] [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，且当x∈[0，2]时，f (x)＝x2－3，若方程f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0，10)上有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．∪[8，10)　　 B．∪[6，10) C．∪(6，10] 　 D．∪(6，10] (2)若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________． 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． [典例]　函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． [赏析]　第一步：换元解套 设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)． 第二步：辅助图形 在同一坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)． 第三步：数形结合 当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1. 当t1＜－1时，t1＝f (x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解． 第四步：归纳总结 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点． [答案]　[－1，＋∞) 　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数． [跟进训练] 1．(2024·湖南长沙模拟)已知函数f (x)＝则函数F(x)＝f [f (x)]－f (x)－1(e为自然对数的底数)的零点个数为(　　) A．3　　 B．5　 C．7　　 D．9 2．已知函数f (x)＝则函数y＝f (f (x)＋1)的零点个数是(　　) A．2　　 B．3　 C．4　　 D．5 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$