第2章 第7课时 指数与指数函数-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

课时分层作业(十二)　指数与指数函数 1．A　[由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝. 当a＝2时，f (x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＝时，f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减， 符合题意，∴a＝.] 2．C　[由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b<a<c.] 3．D　[根据题图知，函数f (x)＝ax－b是减函数， 所以a∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．] 4．B　[因为2x2＋1≤＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是.故选B.] 5．A　[函数f (x)＝是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f <f <f ，所以b>c>a.故选A.] 6．D　[原不等式变形为m2－m<， 因为函数y＝在(－∞，－1]上单调递减， 所以＝2， 当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2．] 7．ABD　[由题图知，函数y＝ax为增函数，即a>1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2. 则A项，y＝的图象，满足条件， B项，y＝x-2＝的图象，满足条件， C项，y＝2|x|，当x>0时，函数y＝2x单调递增，不满足条件， D项，y＝|log2x|的图象，满足条件．故选ABD.] 8．BC　[因为y＝1－x2在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，y＝ex在定义域R上单调递增， 所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故A错误，B正确； 又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)＝(x∈R)为偶函数，函数图象关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，故C正确，D错误．故选BC.] 9．1　[法一(定义法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数， 所以f (－x)＝f (x)对任意的x∈R恒成立， 所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 法二(取特殊值检验法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1. 法三(转化法)：由题意知f (x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．] 10．12　[因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是单调函数，又y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，所以a0＋a1＝1＋a＝，解得a＝，所以y＝3a2x-1＝3×＝12×.因为函数y＝在定义域上为减函数，所以y＝12×在[0，1]上单调递减，所以f (x)＝12×在[0，1]上的最大值为f (0)＝12．] 11．解：(1)因为f (x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)， 所以 所以a2＝4. 又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f (x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3， 则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立， 即m≤＋在(－∞，1]上恒成立． 又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝＋在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是. 12．解：(1)因为f (x)是R上的奇函数， 所以f (0)＝0，即＝0，解得b＝1. 从而f (x)＝. 又由f (1)＝－f (－1)知＝－，解得a＝2. 所以a＝2，b＝1．经验证满足f (x)是奇函数． (2)由(1)知f (x)＝＝－， 由上式易知f (x)在R上为减函数，又因为f (x)是奇函数，从而不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0等价于f (t2－2t)<－f (2t2－k)＝f (－2t2＋k)． 因为f (x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 故实数k的取值范围为. 13．解：(1)设y＝f (x)＝＋1. 当a＝－1时，y＝f (x)＝－＋1(x＜0)， 令t＝，x＜0，则t＞1， 则y＝t2－t＋1＝＋， ∴y＞1，即函数f (x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)， ∴不存在常数M＞0，使得|f (x)|≤M成立． ∴函数f (x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 即－3≤f (x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 令t＝，x≥0，则t∈(0，1]. ∴－≤a≤－t对t∈(0，1]恒成立， ∴≤a≤. 设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]， ∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减， ∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1. ∴实数a的取值范围为[－5，1]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课时　指数与指数函数 [考试要求]　1．掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质.2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)式子叫做____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝__． 当n为奇数时，＝__； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝________；(ar)s＝______；(ab)r＝________(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中______是自变量，定义域是R，__是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (3)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 ____________ 性质 过定点__________，即x＝0时，y＝__ 当x>0时，______； 当x<0时，__________ 当x<0时，______； 当x>0时，__________ 在(－∞，＋∞)上是__函数 在(－∞，＋∞)上是__函数 [常用结论] 指数函数图象的特点 (1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a． (　　) (2)函数y＝a－x是R上的增函数． (　　) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简的结果为(　　) A．5　　 B．　 C．－　　 D．－5 2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝(　　) A．1 　 B．2 C． 　 D．3 3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编)下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 　 B． C．1.70.3＞0.93.1 　 D．＜ 4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f (x)＝a+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f (－2)＝________． 考点一　指数幂的运算 [典例1]　(1)(多选)已知a＋a-1＝3，则下列正确的是(　　) A．a2＋a-2＝7　　　　 B．a3＋a-3＝18 C．+＝± D．a+＝2 (2)计算：·＝________(a>0，b>0)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　指数幂运算的一般原则 (1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． [跟进训练] 1．(1)已知x<0，y>0，化简得(　　) A．－x2y 　 B．x2y C．－3x2y 　 D．3x2y (2)计算：＋－10(－2)-1＋π0＝________． 考点二　指数函数的图象及应用 [典例2]　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，则下列式子可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 　 B．a<b<0 C．0<a<b 　 D．0<b<a (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系． (3)定点与渐近线是作图的关键． [跟进训练] 2．(1)(2023·枣庄二模)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________． 考点三　指数函数的性质及应用 　比较指数式的大小 [典例3]　(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b 　 B．c＞b＞a C．a＞b＞c 　 D．b＞a＞c (2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 　 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 　 D．x－y≥0 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解简单的指数方程或不等式 [典例4]　(1)已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________． (2)设函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　指数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] 　 B．[－2，0) C．(0，2] 　 D．[2，＋∞) (2)(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．1　　 D．2 (3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． [跟进训练] 3．(1)(2024·江苏沭阳模拟)设＜＜＜1，那么(　　) A．aa＜ab＜ba 　 B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba 　 D．ab＜ba＜aa (2)若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课时　指数与指数函数 梳理·必备知识 1．(1)x　(2)根式　(3)a　a 2．　　0 3．ar＋s　ars　arbr 4．(1)指数x　a　(3)(0，＋∞)　(0，1)　1　y>1　0<y<1　y>1　0<y<1　增　减 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)× 二、1．B　[原式＝.] 2．C　[依题意可知a2＝，解得a＝， 所以f (x)＝，所以f (－1)＝.] 3．BCD　[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5<1.73，故A错误；因为，y＝>，故B正确；因为1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3>0.93.1，故C正确；因为y＝<，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以<<<，故D正确.] 4．　[因为f 的图象过原点，所以f ＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f 的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f ＝－＋1， 所以f ＝－＋1＝.] 考点一 典例1　(1)ABD　(2)　[(1)因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a－1＝3，所以()2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以，故选项C错误；因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以a2＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＝2，故选项D正确. (2)原式＝.] 跟进训练 1．(1)B　(2)－　[(1)由题意得 (x8(y4x2|y|＝x2y. (2)原式＝＋50＋1＝＋10－10－20＋1＝－.] 考点二 典例2　(1)ABD　(2)　[(1)如图，观察易知， a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD. (2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a>1时，如图①，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.综上可知，a的取值范围为. ] 跟进训练 2．(1)A　(2)[－1，1]　[(1)由图象知函数为减函数，则0<a<1， 二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－， ∵0<a<1，∴>，－<－， 即横坐标的取值范围是.故选A. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].] 考点三 考向1　典例3　(1)D　(2)B　[(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5．所以b>a>c. 故选D. (2)设函数f (x)＝2x－5－x，易知f (x)为增函数. 又f (－y)＝2－y－5y，由已知得f (x)≤f (－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0．故选B.] 考向2　典例4　(1)　(2)(－3，1) [(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝； 当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1无解，故a的值为. (2)当a<0时，原不等式化为－7<1， 则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0. 当a≥0时，则<1，0≤a<1. 综上，实数a的取值范围是(－3，1).] 考向3　典例5　(1)D　(2)D　(3)(1，＋∞)　[(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D. 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x－3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C.故选D. (2)法一：f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，即，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2．故选D. 法二：f (x)＝，f (x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2．故选D. (3)原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立， 令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1.] 跟进训练 3．(1)C　(2)(－∞，－1]　[(1)∵<<<1且y＝在R上是减函数， ∴0<a<b<1. 当0<a<1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab<aa. 当0<a<1时，幂函数y＝xa在[0，＋∞)上单调递增， ∴aa<ba，∴ab<aa<ba.故选C. (2)∵y＝是减函数，且f (x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2， 则a>0且＝2，解得a＝1， 因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]， 故f (x)的单调递增区间是(－∞，－1].] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十二)　指数与指数函数 一、单项选择题 1．已知指数函数f (x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的值为(　　) A．　　 B．1　 C．　　 D．2 2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c 　 B．a<c<b C．b<a<c 　 D．b<c<a 3．若函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　) A．a>1，b>1 　 B．a>1，0<b<1 C．0<a<1，b>1 　 D．0<a<1，0<b<1 4．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A． 　 B． C． 　 D．[2，＋∞) 5．(2023·全国甲卷)已知函数f (x)＝.记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则(　　) A．b>c>a 　 B．b>a>c C．c>b>a 　 D．c>a>b 6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，1) 　 B．(－4，3) C．(－3，4) 　 D．(－1，2) 二、多项选择题 7．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　D 8．(2024·重庆巴蜀中学模拟)若f (x)＝，其中e为自然对数的底数，则下列命题正确的是(　　) A．f (x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f (x)在(0，＋∞)上单调递减 C．f (x)的图象关于直线x＝0对称 D．f (x)的图象关于点(0，0)中心对称 三、填空题 9．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 10．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为，则函数y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为________． 四、解答题 11．已知函数f (x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)． (1)求f (x)的解析式； (2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 12．已知定义域为R的函数f (x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 13．定义在D上的函数f (x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f (x)|≤M成立，则称f (x)是D上的有界函数，其中M称为函数f (x)的上界，已知函数f (x)＝＋1. (1)当a＝－1时，求函数f (x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由； (2)若函数f (x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$