第2章 第2课时 函数的单调性与最值-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第2课时　函数的单调性与最值 [考试要求]　1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做y＝f (x)的单调区间． 提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有____________； ②∃x0∈D，使得______________ ①∀x∈D，都有____________； ②∃x0∈D，使得______________ 结论 M为最大值 M为最小值 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在D上单调递减． 2．若函数f (x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反； (3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　) (2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，＋∞)． (　　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． (　　) (4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f (x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f (x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f (x)在[－4，1]上有最小值－2，最大值3 D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时，－1<t<2 2．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． 考点一　确定函数的单调性(单调区间) 　图象法、性质法确定函数的单调性 [典例1]　(1)函数f (x)＝(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A．　　　　 B． C．(－2，3) 　 D． (2)函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [拓展变式]　本例(2)的函数换成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其单调递增区间是________． 　定义法、导数法确定函数的单调性 [典例2]　试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． 提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集． [跟进训练] 1．(1)函数f (x)＝3－x2－2x的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) 　 B．(－∞，－1] C．(－∞，0) 　 D．(0，＋∞) (2)(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f (x)＝－ln x 　 B．f (x)＝ C．f (x)＝－ 　 D．f (x)＝3|x-1| 考点二　函数单调性的应用 　比较函数值的大小 [典例3]　已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b 　 B．c>b>a C．a>c>b 　 D．b>a>c [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解抽象不等式 [典例4]　已知函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x－1)<f 的x的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求参数的取值范围 [典例5]　(1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] 　 B．(－∞，2] C．[2，＋∞) 　 D．[5，＋∞) (2)(2024·山西朔州模拟)若函数f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A． 　 B． C．(1，2) 　 D．(1，2] [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　函数单调性应用问题的解题策略 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式． [跟进训练] 2．(1)(多选)已知函数f (x)，∀x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是(　　) A．f (0)＞f (－3) B．∀x∈R，f (x)≤f (－1) C．f (a2－a＋1)≥f D．若f (m)＜f (2)，则－4＜m＜2 (2)若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 考点三　求函数的值域或最值 [典例6]　(1)(2024·山东烟台期末)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f (x)的最小值为(　　) A．2.5　　 B．3 C．4　　 D．5 (2)若函数f (x)＝的最小值为f (0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2] 　 B．[－1，0] C．[1，2] 　 D．[0，2] [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求函数最值的五种常用方法 [跟进训练] 3．(1)函数y＝1＋x－的值域为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f (x)＝，x∈，则函数f (x)的值域为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(七)　函数的单调性与最值 一、单项选择题 1．(2023·西城区一模)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝－|x|　　　 B．y＝x2－2x C．y＝sin x 　 D．y＝x－ 2．函数f (x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A．　　 B．－ 　 C．－2　　 D．2 3．设a∈R，函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则(　　) A．f (a2＋a＋2)＞f B．f (a2＋a＋2)＜f C．f (a2＋a＋2)≥f D．f (a2＋a＋2)f 4．(2024·湖北部分高中联考协作体模拟)函数f (x)＝ln (4x2－1)的单调递增区间是(　　) A． 　 B． C． 　 D．(0，＋∞) 5．(2024·河北石家庄二中模拟)已知定义在[－1，3]上的函数f (x)满足：对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f (x1)－f (x2)](x1－x2)＜0，则不等式f (1－2x)≥f (x＋1)的解集为(　　) A．(－∞，0] 　 B．[0，1] C．[－1，0] 　 D．[0，＋∞) 6．已知函数y＝f (x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f (x)＋x是增函数 B．y＝f (x)＋x是减函数 C．y＝f (x)是增函数 D．y＝f (x)是减函数 二、多项选择题 7．(2024·重庆模拟)已知函数f (x)＝(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞) B．f (x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1] C．若f (x)在(－∞，－2)上单调递减，则a＜1 D．若a＞1，则f (x)在定义域上单调递增 8．已知函数f (x)＝则下列说法正确的是(　　) A．f (x)在R上为增函数 B．f (e)＞f (2) C．若f (x)在(a，a＋1)上单调递增，则a－1或a≥0 D．当x∈[－1，1]时，f (x)的值域为[1，2] 三、填空题 9．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________． 10．(2024·西宁模拟)已知函数f (x)＝若对任意x1≠x2，都有＞0，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 11．(2024·秦皇岛青龙实验中学期中)已知函数f (x)＝(a＞0)． (1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f (x)的单调性，并证明； (2)当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f (x)的最小值． 12．(2024·浙江大学附中期中)已知a，b∈R，记max{a，b}＝函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)． (1)写出f (x)的解析式，并求出f (x)的最小值； (2)若函数g(x)＝x2－kf (x)在(－∞，－1]上是单调函数，求实数k的取值范围． 13．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，且当x>0时，f (x)>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　函数的单调性与最值 梳理·必备知识 1．(1)f (x1)<f (x2)　f (x1)>f (x2)　(2)单调递增　单调递减　区间I 2．f (x)≤M　f (x0)＝M　f (x)≥M　f (x0)＝M 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、1．C 2．　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1<0，即k<－.] 3．(－∞，2]　[由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.] 4．－　－2　[可判断函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以f (x)max＝f (6)＝－，f (x)min＝f (2)＝－2.] 考点一 考向1　典例1　(1)A　(2)(－∞，－1]和[0，1]　[(1)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数f (x)的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知，本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为.故选A. (2)f (x)＝ ＝ 画出函数图象如图所示， 可知函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1].] 拓展变式 [1－，1]，[1＋，＋∞)　[作出函数的图象如图所示，由图象知，其单调递增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞).] 考向2　典例2　解：法一(定义法)：∀x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， f (x)＝a＝a， f (x1)－f (x2)＝a－a1＋＝，由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0， 即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递增. 法二(导数法)：f '(x) ＝ ＝＝－. 当a>0时，f '(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f '(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增. 跟进训练 1．(1)B　(2)C　[(1)f (x)＝分解为y＝3u和u＝－x2－2x两个函数，y＝3u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性可得函数f (x)＝在(－∞，－1]上单调递增. (2)对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误； 对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误； 对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确； 对于D，f (x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误.故选C.] 考点二 考向1　典例3　D　[因为f (x)的图象关于直线x＝1对称.由此可得f ＝f .当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减. 因为1<2<<e，所以f (2)>f >f (e)，所以b>a>c.] 考向2　典例4　D　[∵函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，∴2x－1≥0且2x－1<，∴x≥且x<，∴≤x<.故选D.] 考向3　典例5　(1)D　(2)B　[(1)由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f (x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D. (2)若函数f (x)在R上单调递增，则y＝ax－3单调递增，则a>1，y＝x＋－3在[4，＋∞)上单调递增， 则≤4，a≤16，又4＋－3≥a4－3，∴a≤， 则实数a的取值范围是，故选B.] 跟进训练 2．(1)AB　(2)[1，2)　[(1)由函数f (x)满足f (－2－x)＝f (x)，可知函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，<0(x1≠x2)，则函数f (x)在[－1，＋∞)上单调递减.对于选项A，因为|－3－(－1)|>|0－(－1)|，所以f (0)>f (－3)，即A正确；对于选项B，由已知可得f (x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f (x)max＝f (－1)，即B正确；对于选项C，a2－a＋1＝，又f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f (a2－a＋1)≤f ，即C错误；对于选项D，若f (m)<f (2)，则|m－(－1)|>|2－(－1)|，则m<－4或m>2，即D错误.故选AB. (2)f (x)＝＝1＋， ∵f (x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴⇒1≤a<2.] 考点三 典例6　(1)B　(2)D　[(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象， 因为f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，所以f (x)的图象如图实线所示： 由x<0，可得A(－1，3)，由x>0，可得B， 由图知f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在上单调递增， 所以当x＝－1时，y＝－(－1)2＋4＝3， 当x＝时，y＝＋3＝>3， 所以f (x)的最小值为3．故选B. (2)当x>0时，f (x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时取得最小值2＋a. ∵f (x)的最小值为f (0)，∴当x≤0时，f (x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f (0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2. 又a≥0，得0≤a≤2．故选D.] 跟进训练 3．(1)B　(2){4，5，6，7，8}　[(1)法一：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2．因为t≥0，所以y≤. 所以函数y＝1＋x－. 法二：因为y＝1＋x－上单调递增，所以y＝1＋x－. (2)易知y＝x＋，x∈上单调递减，在[2，6)上单调递增. 当x＝2时，y＝x＋＝4； 当x＝时，y＝x＋＋8； 当x＝6时，y＝x＋＝6＋， 所以y＝x＋∈，则函数f (x)的值域为{4，5，6，7，8}.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(七)　函数的单调性与最值 1．D　[当x＞0时， y＝－|x|＝－x单调递减，A不符合题意； y＝x2－2x不具有单调性，B不符合题意； y＝sin x不具有单调性，C不符合题意； y＝x－单调递增，D符合题意． 故选D.] 2．A　[函数f (x)＝－x＋在(－∞，0)上单调递减，则函数f (x)在上的最大值为f (－2)＝2－＝.故选A.] 3．C　[因为a2＋a＋2＝＋，函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (a2＋a＋2)≥f .故选C.] 4．A　[由4x2－1＞0，可得x＜－或x＞， 所以函数f (x)＝ln (4x2－1)的定义域为. 又y＝4x2－1在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f (x)＝ln (4x2－1)的单调递增区间是.故选A.] 5．B　[∵对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f (x1)－f (x2)](x1－x2)＜0， ∴x1＜x2时，f (x1)＞f (x2)， ∴f (x)在[－1，3]上单调递减， ∴由f (1－2x)≥f (x＋1)得，解得0≤x≤1， ∴不等式f (1－2x)≥f (x＋1)的解集为[0，1].故选B.] 6．A　[不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， ∵>－1⇔f (x1)－f (x2)<－(x1－x2)⇔f (x1)＋x1<f (x2)＋x2， 令g(x)＝f (x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f (x)＋x是增函数．] 7．AC　[对于A：由x＋2≠0得x≠－2，则f (x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，A正确； 对于B：f (x)＝＝a＋， 由x∈[－1，0]，可得x＋2∈[1，2]，则∈， 当a＝1时，f (x)＝a，即f (x)在[－1，0]上的值域为{1}； 当a＜1时，∈[1－a，2－2a]，a＋∈[1，2－a]，即f (x)在[－1，0]上的值域为[1，2－a]； 当a＞1时，∈[2－2a，1－a]，a＋∈[2－a，1]， 即f (x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1]. 综上，当a＝1时，f (x)在[－1，0]上的值域为{1}； 当a＜1时，f (x)在[－1，0]上的值域为[1，2－a]； 当a＞1时，f (x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1].B错误； 对于C：f (x)＝＝a＋， 若f (x)在(－∞，－2)上单调递减，则2－2a＞0，解得a＜1.C正确； 对于D：f (x)＝＝a＋， 则a＞1时，f (x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递增．D错误．故选AC.] 8．BC　[易知f (x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f (x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f (x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f (x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f (x)∈(－∞，2]，故D错误．] 9．　[令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.] 10．(1，2]　[因为对任意x1≠x2，都有＞0，所以函数f (x)在定义域内单调递增，因为f (x)＝所以 解得1＜a≤2．] 点拨：分段函数在R上具有单调性，注意衔接点处建立不等式． 11．解：(1)a＝2时，f (x)＝x＋＋2， x≥1时，f ′(x)＝1－＞0， ∴函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增． (2)∵f (x)＝x＋＋2，∴f ′(x)＝1－. ∵当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，∴f ′(1)＝1－＝0，∴a＝1. ∵f (x)＝x＋＋2在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，f (x)取最小值4. 12．解：(1)因为|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3， 当x≥时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3≥0， 则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1； 当x＜时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3＜0， 则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x. 所以f (x)＝故函数f (x)在上单调递减，在上单调递增， 所以函数f (x)的最小值为f ＝＋1＝. (2)当x≤－1时，f (x)＝2－x，则g(x)＝x2－kf (x)＝x2＋kx－2k，因为函数g(x)在(－∞，－1]上单调，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在(－∞，－1]上只能单调递减，所以－≥－1，解得k≤2，因此，实数k的取值范围是(－∞，2]． 13．解：(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1. 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0， 所以f (x1－x2)>－1. 又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5. 由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4得f (x2＋x＋1)>f (3)， 因为函数f (x)在R上是增函数， 所以x2＋x＋1>3， 解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 点拨：抽象函数证明单调性，利用定义法． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$