第2章 第1课时 函数的概念及其表示-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第1课时　函数的概念及其表示 [考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3．了解简单的分段函数，并能简单应用. 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有____确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 __的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合____________________ 2．同一个函数 如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：______、______、______． 提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的____． [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　　) (2)对于函数f ：A→B，其值域是集合B． (　　) (3)函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭曲线． (　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f (x)＝则f ( f (－1))＝(　　) A．16　　　B．4　　　C．5　　　D．－4 2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f (x)＝与g(x)＝x C．f (x)＝与g(x)＝ D．f (x)＝x与g(x)＝ 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f (x)＝x＋，则f (x)的定义域为________；若f (a)＝2，则a的值为________． 考点一　求函数的定义域 [典例1]　(1)(2024·河北衡水中学模拟)已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5) C．(1，2)∪(2，3] 　 D．(1，3] (2)(2024·河南南阳模拟)函数y＝lg (1＋tan πx)＋的定义域为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求抽象函数的定义域： ①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域． ②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域． [跟进训练] 1．(1)(2024·重庆模拟)已知函数y＝f (x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f (2x－1)的定义域是(　　) A． 　 B．[－1，4] C．[－5，5] 　 D．[－3，7] (2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 考点二　求函数的解析式 [典例2]　求下列函数的解析式： (1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； (2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式； (3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)． [跟进训练] 2．(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________． (2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________． (3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f ( f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________． 考点三　分段函数 　求值问题 [典例3]　(1)(2024·四川成都七中模拟)已知函数f (x)＝则f ( f (－4))＝(　　) A．－6　　　 B．0 C．4　　 D．6 (2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f (x)＝若f ( f ())＝3，则a＝__________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解方程或不等式 [典例4]　(1)函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　) A．2　　 B．4 C．6　　 D．8 (2)已知函数f (x)＝则f (x)＜f (x＋1)的解集为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　分段函数的几类题型及解决方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝若f ( f (a))＝2，则a等于(　　) A．0或1 　 B．－1或1 C．0或－2 　 D．－2或－1 (2)已知函数f (x)＝若f (a)＝4，则实数a的值是________；若f (a)≥2，则实数a的取值范围是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六)　函数的概念及其表示 1．D　[因为f (x)＝， 所以解得x>0且x≠1， 所以f (x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)． 故选D.] 2．C　[由条件可得f ＝－sin ＝， 则f ＝f ＝log2＝－1. 故选C.] 3．C　[A选项，f (x)＝x的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； B选项，f (x)＝2lg x的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； C选项，g(x)＝＝|x|＝f (x)，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一个函数； D选项，f (x)＝的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≥0}，所以不是同一个函数． 故选C.] 4．C　[对于选项A，函数的定义域和值域都是R； 对于选项B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R； 对于选项C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R； 对于选项D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．故选C.] 5．C　[A＝B＝R，y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3∈[－3，＋∞)是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，故k不在函数的值域之内，∴k＜－3.故选C.] 6．A　[水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合．] 7．A　[由2f (x)－f (－x)＝3x＋1， 可得2f (－x)－f (x)＝－3x＋1，① 又4f (x)－2f (－x)＝6x＋2，② ①＋②得：3f (x)＝3x＋3，解得f (x)＝x＋1. 故选A.] 8．D　[因为f (x)＝ 所以函数f (x)的图象如图所示． 由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f (x)为减函数，故f (x＋1)＜f (2x)转化为x＋1＞2x. 此时x≤－1. 当2x＜0且x＋1＞0时，f (2x)＞1，f (x＋1)＝1， 满足f (x＋1)＜f (2x)． 此时－1＜x＜0. 综上，不等式f (x＋1)＜f (2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．] 9．ACD　[令t＝＋1≥1，得＝t－1，则x＝(t－1)2，得f (＋1)＝f (t)＝2t2－3t，故f (x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f (3)＝9，A正确，B错误． f (x)＝2x2－3x＝2－，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增，f (x)min＝f (1)＝－1，f (x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．故选ACD.] 10．ABD　[函数f (x)＝的图象如图所示： 易知f ( f (－2))＝f (0)＝0，故A正确； f (x)的值域为(－∞，4)，故B正确；由f (x)<1解得x∈(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误；f (x)＝3，即 解得x＝，故D正确．故选ABD.] 11．[－2，－1)　[因为f (x)的定义域为[－1，1]，所以函数y＝的x需满足解得x∈[－2，－1)．] 12．y＝1－　y＝1－(答案不唯一，符合题意即可)　[已知A(－2，0)，B(2，0)关于y轴对称，且C(0，1)在y轴上． ①可设y＝k＋m，则 解得故y＝1－. ②可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 解得故y＝1－.] 13．C　[由题意可知f (x)＝x2－D(x)＝ 所以f (1)＝12－1＝0，f ()＝()2＝2，f ()＝()2＝3，而f (x)＝1无解．故选C.] 14．ACD　[对任意的n∈N*，都有唯一的f (n)与之对应，故y＝f (n)，n∈N*是一个函数，A正确； 由f (6)＝2，可知当n＝6 时，f (n)≠3.14159，故B错误； 由f (4)＝f (8)＝5，可知C正确； 根据f (n)的定义，可知f (n)的值必定是0到9的十个自然数中的一个，故f (n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，D正确．故选ACD.] 15．ABD　[因为f (x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，x∈(－∞，2]， 所以f (x)的值域为[0，＋∞)，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，A正确． f (x)＝－＋2的定义域为[0，＋∞)，值域为(－∞，2]，定义域与值域的交集为[0，2]，B正确． f (x)＝－2x＋2的定义域为R，因为2x＞0， 所以f (x)＝－2x＋2＜2， 即f (x)＝－2x＋2的值域为(－∞，2)，所以f (x)的定义域与值域的交集为(－∞，2)，C错误． 因为方程3x2－4x＋2＝0无解，故f (x)＝的定义域为R， 当x＝0时，f (0)＝0， 当x≠0时，f (x)＝＝， 因为2＋1≥1，所以0＜f (x)≤2， 所以f (x)的值域为[0，2]，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，D正确．故选ABD.] 16．f (x)＝x2－x＋1　[令x－y＝－1，则y＝x＋1，所以由f (x－y)＝f (x)＋y(y－2x＋1)，可得f (－1)＝f (x)＋(x＋1)(x＋1－2x＋1)．因为f (－1)＝3，所以f (x)＝－(x＋1)(2－x)＋3＝x2－x＋1．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第二章 函数的概念与性质 第1课时 函数的概念及其表示 梳理·必备知识 1.实数集任意一个数x唯一x{f(x)x∈A} 2.定义域对应关系 3.解析法图象法列表法 4.(2)并集 激活·基本技能 一、(1)×(2)×(3)× (4)× 二、1.Af(f(-1)=f2)=16.故选A] x-1,x≥1， 2.B[函数f)=k-1=1-x,x<1 结合选项可知，选项B正确故选B] 3.ACf)=√一x3与g9)=V-x的值城不同：fw)=x与g)=2=的 对应关系不同，故BD错误，AC正确] 4.(一∞，0)U(0,十∞)1[要使函数fx)有意义，必须使x≠0， 故f(x)的定义域是（一∞，0）U(0,十∞). 由f(a)=2得a十=2，解得a=1.] 考点一 典例1 1)C(2)(-幸，) [(1)因为函数y=f)的定义域为[0,4]，函数y= x+1 -T 十(x一2)0有意义， 0sx+1≤4， 所以 x-1>0, 解得1<r2或2<x≤3， x-2≠0， f(x+1) 所以函数y= +(-2°的定义域是(1,2U(2,31故选C 1+tan>0, (2)由题意得 ≠km+受，k∈Z,解得-制 1-4x220, 跟进训练 1.(1)A(2)D[(1),函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3]， x∈[-2,3引，则x+1∈-1,41， 即函数f(x)的定义减为[一1,4， .-1≤2x-1≤4，得0≤x≤， .函数y=f2x-1)的定义域为[0，]故选A (2)由题意知，ar2-4ax+2>0的解集为R 当a=0时，2>0恒成立，满足题意： a>0, 当a-0时，{4=16a-8a<0,解得0<a登 综上，实数a的取值范固是[0，})] 考点二 典例2解：(1)（换元法）设1一sinx=t,t∈[0,2]，则sinx=1一t. .f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, .f(t0=1-(1-02=21-t2,t∈[0,2] 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2] 2配凑法)f(x+是)=2+是=(x+)2-2 令=x十是，当心0时， ≥2Wk京=2，当且仅当x=1时取等号， 当x0时，t=-（-X-是)≤-2， 当且仅当x=一1时取等号， .f(t0=t2-2,1∈(-∞，-2]U[2,+∞)， f(x)=x2-2,x∈(-∞，一2]U[2,+∞) (3)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx十c(cF0),由f(0)=2,得c=2, f(x+1)-f(x)=ax+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2a+a+b=x-1, （2a=1, a=, 即 所以a+b=-1,b=-2 所以f)=x2-2x+2 (4)(解方程组法).2f(x)十f(-x)=3x,① ∴将x用一x替换， 得2f(一x)+fw)=-3x,② 由①②解得fx)=3x 跟进训练 2.(1)2-4x+3(x≥1)(2)-号x-去(34x十1[1)法-（换元法）：令1=V十 1,则t≥1，x=(t-1)2 代入原式有f0=-1)2-2(1-1)=2-41+3, 所以fx)=x2-4x+3x≥1) 法二（配凑法）：f(+1)=x+2+1-4V-4+3=(及+1)2-4+1)十3， 因为V区+1≥1，所以f)=x2-4x十3r≥1) (2)因为f)-2f（)=2x,① 以是代替①中的x,得f(是)-2f)=是，② ①+②X2得-3fw)=2x+专， 所以f)=一子x一去 (3)fw)为单调递增的一次函数，.设fw)=ax+b,a>0,故f(fx)=a(ax+b) 十b=a2x+ab+b=16x+5,∴.a2=16,ab十b=5,解得a=4,b=1或a=-4, b=一（不合题意，舍去）.国此f)=4x十1] 考点三 考向1典例3(1)A(2)2[(1)由分段函数可知，当x≤0时，周期T=1,所 以f(-4)=f(-4+5)=f(1)=1-3-4=-6, 所以ff(-4》=f(-6)=f(-6+7)=f(1)=-6.故选A (2)因为V6>2,所以f(V6)=6-4=2, 所以ff(V6)》=f2)=1+a=3,解得a=2] 考向2典例4(1)D(2)(-号，+∞)[【(1)由分段函数的定义知，f(w)的定义 域是(-1，十∞)，所以a>0. ①当0<a<1时，-1<a-1<0,则f(@)=f(a-1)可化为2a=Va,解得a=, ∴f(告)=f4=8 ②当a≥1时，a-1≥0，则f(a)=f(a-1)可化为2a=2(a-1),方程无解.故选 D. (2)由题意知，当x≤0时，x十1≤1，fx)fx+1)→x2-1<(x+1)2-1,解得- x≤0. 当0<x≤1时，x十1>1，此时f(x)=x2-1≤0，fx+1)=log2c+1)P0. 所以当0<x≤1时，恒有f(x)f(+1), 当>1时，fx)f(x十1)台log2xlog2x+1)恒成立. 综上可知，f)fx+1)的解集为(-壹，+∞)] 跟进训练 3.(1)D(2)-2或5[-3，-1)U[4,+∞)[(1)令f(=t,则f(0=2,可得 t=0或=1， 当t=0时，即f(a)=0,显然a≤0， 因此a十2=0→a=一2， 当t=1时，即f(a)=1,显然a≤0， 因此a十2=1→a=-1, 综上所述，a=一2或一1。 (2)若f(a)=4, a<-1, a2-1, 或 则{--3a+2=4(2*3=4, 解得a=-2或a=5. 若f(a)≥2， a<-1, 「2-1， 则二￥-3a+222或232， 解得-3≤-1或a≥4， .a的取值范围是[-3，-1)U[4,+∞)] 课时分层作业(六)　函数的概念及其表示 一、单项选择题 1．(2023·浙江温州学业考试)函数f (x)＝的定义域为(　　) A．(0，1)　　　　　 B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) 　 D．(0，1)∪(1，＋∞) 2．(2024·江苏南通模拟)已知函数f (x)＝则f＝(　　) A．　 B．1 C．－1　 D．2 3．(2024·福建福州模拟)下列四组函数中，f (x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x，g(x)＝ B．f (x)＝2lg x，g(x)＝lg x2 C．f (x)＝|x|，g(x)＝ D．f (x)＝，g(x)＝ 4．下列四个函数，定义域和值域不相同的是(　　) A．y＝－x＋1 　 B．y＝ C．y＝ln |x| 　 D．y＝ 5．已知A＝B＝R，y＝x2－2x－2是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] 　 B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) 　 D．[－3，＋∞) 6．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30 s注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 7．已知函数f (x)的定义域为R，对任意x∈R均满足2f (x)－f (－x)＝3x＋1，则函数f (x)的解析式为(　　) A．f (x)＝x＋1 　 B．f (x)＝x－1 C．f (x)＝－x＋1 　 D．f (x)＝－x－1 8．设函数f (x)＝则不等式f (x＋1)<f (2x)的解集为(　　) A．(－∞，－1] 　 B．(0，＋∞) C．(－1，0) 　 D．(－∞，0) 二、多项选择题 9．(2024·河南三门峡模拟)已知函数f (＋1)＝2x＋－1，则(　　) A．f (3)＝9 B．f (x)＝2x2－3x(x0) C．f (x)的最小值为－1 D．f (x)的图象与x轴只有1个交点 10．已知函数f (x)＝ 关于函数f (x)的说法正确的是(　　) A．f ( f (－2))＝0 B．f (x)的值域为(－∞，4) C．f (x)<1的解集为(－1，1) D．若f (x)＝3，则x的值是 三、填空题 11．(2024·广东实验中学模拟)已知函数f (x)的定义域为[－1，1]，则y＝的定义域为________． 12．(2024·浙江宁波模拟)在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)三点，请写出2个函数关系式，使函数图象经过A，B，C三点：________，________． 13．(2024·山西太原模拟)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f (x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f (x)值域的是(　　) A．3　　 B．2 C．1　　 D．0 14．(多选)(2024·浙江杭州模拟)我们常拿背诵圆周率π( π＝3.14159265358979323846264338327950288…)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f (n)，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f (n)，n∈N*是一个函数 B．当n＝6 时，f (n)＝3.14159 C．f (4)＝f (8) D．f (n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 15．(多选)(2024·河北保定模拟)若函数f (x)的定义域与值域的交集为[a，b]，则称f (x)为“[a，b]交汇函数”，下列函数是[0，2]交汇函数的是(　　) A．f (x)＝x2－4x＋4，x∈(－∞，2] B．f (x)＝－＋2 C．f (x)＝－2x＋2 D．f (x)＝ 16．已知定义在R上的函数f (x)满足：对于任意的实数x，y，都有f (x－y)＝f (x)＋y(y－2x＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x)的解析式为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$