第1章 第5课时 一元二次方程、不等式-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第5课时　一元二次方程、不等式 [考试要求]　1．能从实际情景中抽象出一元二次不等式.2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 __________________________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ______________________ __ __ 提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根． [常用结论] 1．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f (x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 2．绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0． (　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2． (　　) (3)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0． (　　) (4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(　　) A．{x|x<1}　　　　　　 B．{x|x>3} C．{x|x<1或x>3} 　 D．{x|1<x<3} 2．(人教A版必修第一册P55习题2.3 T3改编)已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝，则A∩B＝(　　) A．(－∞，－5] 　 B．[－5，－1) C．[－5，－1]∪[5，7) 　 D．[－5，－1] 3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 4．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求花卉带的宽度相同且草坪面积不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是________(单位：m)． 考点一　一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系 [典例1]　(1)(2024·东北师大附中模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则不等式≤0的解集为________． (2)不等式0<x2－x－2≤4的解集为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)． (3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． [跟进训练] 1．(多选)(2024·四川南充模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．ax＋c>0的解集为 C．8a＋4b＋3c<0 D．cx2＋bx＋a<0的解集为 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [典例2]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [拓展变式] 在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解含参数的一元二次不等式的步骤 [跟进训练] 2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　一元二次不等式恒成立问题 [典例3]　(1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，－2) C．(－2，2) 　 D．(－2，2] (2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________． (3)若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [拓展变式] 本例(2)变为：若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 恒成立问题求参数的取值范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． (3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式． [跟进训练] 3．(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　) A．a≤2　　　　　　 B．a≥2 C．a≤ 　 D．a≥ (2)若不等式sin2x－a sinx＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五)　一元二次方程、不等式 一、单项选择题 1．(2024·云南师大附中模拟)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A．{x2或x3}　　　 B． C． 　 D． 2．下列说法正确的是(　　) A．0等价于(x－a)(x－b)0 B．若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 C．不等式x2a的解集为[－] D．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R 3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A． B． C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 4．(2024·山东泰安模拟)“c∈(－2，2)”是“∀x∈R，x2－cx＋30成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(2023·四川雅安三模)对任意的x∈(1，4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) 　 B． C． 　 D． 6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园的其中一边的长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．[15，20] 　 B．[12，25] C．[10，30] 　 D．[20，30] 二、多项选择题 7．设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－120的解可以为(　　) A． 　 B．3 C．－4.5 　 D．－5 8．(2024·福建福州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为，且β－α<1，若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不等实根，则下列关系式正确的有(　　) A．a<0 B．β－x1＝x2－α C．<1 C． 三、填空题 9．不等式＞2的解集为________． 10．已知定义在R上的运算“⊗”：x⊗y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a)⊗(x＋a)>0. (1)当a＝2时，不等式的解集为________； (2)若∀x∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 11．已知函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1)若不等式f (x)－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若a<0，解关于x的不等式f (x)<a－1. 12．给出下列条件：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}．集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题． (1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B； (2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 13．已知函数f (x)＝x2＋2ax－a＋2. (1)若∀x∈R，f (x)0恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∀x∈[－1，1]，f (x)0恒成立，求实数a的取值范围； (3)若∃x∈[－1，1]，f (x)0成立，求实数a的取值范围； (4)若∀a∈[－1，1]，f (x)＞0恒成立，求实数x的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(五)　一元二次方程、不等式 1．B　[由题意可得A＝＝{x|－2≤x≤2}，B＝＝{x|x≤0或x≥3}，故A∩B＝，故选B.] 2．B　[A错误，≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x≠b； B正确，根据一元二次不等式解集的形式和二次项系数的符号的关系可知其正确； C错误，当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅； D错误，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下且和x轴无交点，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.故选B.] 3．A　[因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}， 所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2，且a<0，－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1， 则不等式2x2＋bx＋a＜0可化为2x2＋x－1<0，解得－1<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为. 故选A.] 4．A　[由∀x∈R，x2－cx＋3≥0可得Δ＝c2－4×3≤0，化简可得－2≤c≤2， 所以“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”等价于“c∈[－2，2]”， “c∈(－2，2)”可推出“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”， “∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”不能推出“c∈(－2，2)”， 所以“c∈(－2，2)”是“∀x∈R，x2－cx＋3≥0成立”的充分不必要条件．故选A.] 5．D　[∵对任意的x∈(1，4)，都有ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>对任意的x∈(1，4)恒成立． 设f (x)＝＝－＝－2＋， ∵x∈(1，4)，∴<<1， ∴当＝，即x＝2时，f (x)max＝， ∴实数a的取值范围是. 故选D.] 6．C　[如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F， 易知＝，即＝， 则AF＝x，FH＝40－x.所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30. 故选C.] 7．BC　[因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x的最小整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5，故选BC.] 8．BC　[由题意得a>0，故A错误； 因为将二次函数y＝ax2＋bx＋c－1的图象上的所有点向上平移1个单位长度， 得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 所以α＋β＝x1＋x2＝－，即β－x1＝x2－α，B正确； 如图，又0<β－α<1，所以<<1，C正确； 当α<β<0，x1<x2<0时，＝<， 所以＝<|(α－x1)(α＋x1)|＝，D错误．故选BC.] 9．{x|1＜x＜4}　[原不等式可化为－2＞0， 即＞0， 即＞0，即(x－1)(x－4)＜0， 解得1＜x＜4， ∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}．] 10．(1){x|－1<x<2}　(2)(－∞，0)∪(1，＋∞)　[(1)当a＝2时，不等式(x－a)⊗(x＋a)>0为(x－2)(1－x－2)>0，即(x－2)(x＋1)<0，解得－1<x<2，所以不等式的解集为{x|－1<x<2}． (2)不等式(x－a)⊗(x＋a)>0为(x－a)(1－x－a)>0，即－x2＋x＋a2－a>0， ∀x∈[0，1]，不等式恒成立，设y＝－x2＋x＋a2－a，则只要∀x∈[0，1]，ymin>0， 又y＝－＋＋a2－a， 所以当x＝0或x＝1时，ymin＝a2－a， 所以ymin＝a2－a>0，解得a<0或a>1．] 11．解：(1)∀x∈R，f (x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是. (2)依题意，因为a<0，所以f (x)<a－1，即ax2＋(1－a)x－1<0，(x－1)>0. 当a＝－1时，－＝1，解得x≠1； 当－1<a<0时，－>1，解得x<1或x>－； 当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1， 所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，原不等式的解集为； 当a<－1时，原不等式的解集为. 12．解：(1)选①： 若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，解得－1<x<3， 若x＋1<0，则<0，则>1无解，所以>1的解集为(－1，3)， 故A＝(－1，3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1， 故B＝(0，1)，则A－B＝(－1，0]∪[1，3)． 选②： x2－2x－3<0，解得－1<x<3， 故A＝(－1，3)， m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0，1)，则A－B＝(－1，0]∪[1，3)． 选③： |x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3， 故A＝(－1，3)， m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1， 故B＝(0，1)， 则A－B＝(－1，0]∪[1，3)． (2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1，3)． 由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0， 解得B＝(m，m＋1)， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以或解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1，2]. 13．解：(1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2，1]. (2)因为∀x∈[－1，1]，f (x)≥0恒成立，所以f (x)min≥0，x∈[－1，1].函数f (x)图象的对称轴方程为x＝－a. ①当－a≤－1，即a≥1时，f (x)在区间[－1，1]上单调递增，则f (x)min＝f (－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1. ②当－1＜－a＜1，即－1＜a＜1时，f (x)min＝f (－a)＝－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1＜a＜1. ③当－a≥1，即a≤－1时，f (x)在区间[－1，1]上单调递减，则f (x)min＝f (1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1. 综上可得，实数a的取值范围是[－3，1]. (3)若∃x∈[－1，1]，f (x)≥0成立，则f (x)max≥0，x∈[－1，1].函数f (x)图象的对称轴方程为x＝－a. ①当－a≤0，即a≥0时，f (x)max＝f (1)＝a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0. ②当－a＞0，即a<0时，f (x)max＝f (－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＜0. 综上可得，实数a的取值范围是R. (4)因为∀a∈[－1，1]，f (x)＞0，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，则g(a)＞0在[－1，1]上恒成立，所以解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　一元二次方程、不等式 梳理·必备知识 {x|x<x1或x>x2}　{x|x1<x<x2}　⌀　⌀ 激活·基本技能 一、(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、1．C　[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}，故选C.] 2．D　[因为x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}. 因为≥0，则解得x>7或x≤－1，所以集合B＝{x|x>7或x≤－1}.所以A∩B＝[－5，－1].故选D.] 3．{a|a≥0}　[当a＝0时，不等式为3>0，满足题意； 当a≠0时，需满足 解得a>0， 综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}.] 4．　[设花卉带的宽度为x米， 则所以0<x<5，因为草坪面积不超过总面积的，所以(12－2x)(10－2x)≤×12×10，解得1≤x<5， 所以花卉带的宽度的取值范围是[1，5).] 考点一 典例1　(1)(－∞，4)∪[8，＋∞)　(2){x|－2≤x<－1或2<x≤3}　[(1)因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则a<0，且对应方程的根为－2和4， 所以－＝－2＋4＝2，＝－2×4＝－8，且a<0， 不等式≤0可化为≤0，则≤0，即≤0，解得x<4或x≥8. (2)原不等式等价于 故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}.] 跟进训练 1．ABD　[关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为， 故a<0，且 整理得到b＝－a，c＝－6a. 对于A，a<0，正确； 对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确； 对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误； 对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－<x<，正确. 故选ABD.] 考点二 典例2　解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以(x－1)<0. 所以当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a>1时，不等式的解集为. 拓展变式 解：当a>0时，同典例2解析； 当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1； 当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0， 解得x>1或x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为⌀， 当a>1时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}， 当a<0时，不等式的解集为. 跟进训练 2．解：Δ＝a2－4. ①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀. ②当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝， 则原不等式的解集为 . 综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀； 当a>2或a<－2时，原不等式的解集为 . 考点三 典例3　(1)D　(2)　(3)[－1，0]∪　[(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需 解得－2<a<2．故－2<a≤2．故选D. (2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；当a≠0时，令f (x)＝ax2－x＋a，要满足题意，需 解得a≥， 所以实数a的取值范围是. 法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0⇔ax2＋a>x⇔a>.因为x∈(1，＋∞)，<，所以a≥. (3)(变更主元法)把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，得 解得 所以实数x的取值范围为[－1，0]∪.] 拓展变式 解：设f (x)＝x2＋mx－1， 则 即 化简得 解得所以－<m<0. 则实数m的取值范围为. 跟进训练 3．(1)C　(2)(－∞，3]　[(1)由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解， 得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤＝x＋， 而y＝x＋在[1，2]上单调递增， 故当x＝2时，x＋，故a≤.故选C. (2) 设t＝sin x，∵x∈，∴t∈(0，1]，则不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a≤＝t＋对任意的t∈(0，1]恒成立.由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，∴a≤3.] 学科网（北京）股份有限公司 $$