第1章 第3课时 不等式的性质-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第3课时　不等式的性质 [考试要求]　1．掌握等式性质.2．会比较两个数的大小.3．理解不等式的性质，并能简单应用． 1．比较实数a，b大小的基本事实 作差法(a，b∈R) 2．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔______； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒______； 性质3　可加性：a>b⇔______________； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒__________；a>b，c<0⇒__________； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒______________； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒__________； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． [常用结论] 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<<(b－m>0)， 即真分数越加越大，越减越小； (2)假分数性质：<<(b－m>0)， 即假分数越加越小，越减越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2． (　　) (2)若>1，则b>a． (　　) (3)若>，则b<a． (　　) (4)若a<b<0，则<(n∈N*)． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　) A．M＞N　　　　 B．M≥N C．M＜N 　 D．M≤N 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　) A．＜ 　 B．＞ C．＜ 　 D．＜ 3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空． (1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d； (2)如果a＜b＜0，那么________； (3)如果c＞a＞b＞0，那么________. 4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________． 考点一　数(式)的大小比较 [典例1]　(1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q　　　　　　　 B．p≤q C．p>q 　 D．p≥q (2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q 　 B．P＝Q C．P<Q 　 D．不能确定 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． [跟进训练] 1．(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N　　　　　 B．M＝N C．M<N 　 D．不确定 (2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________． 考点二　不等式的性质 [典例2]　(1)(2023·北京朝阳区一模)若a>0>b，则(　　) A．a3>b3 　 B．|a|>|b| C．< 　 D．ln (a－b)>0 (2)(2024·湖北武汉模拟)下列说法正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　判断不等式正误的常用方法 (1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质条件． (2)利用特殊值法排除错误不等式． (3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． [跟进训练] 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．< 　 B．|a|＋b>0 C．a－>b－ 　 D．ln a2>ln b2 考点三　不等式性质的应用 [典例3]　(多选)(2024·重庆模拟)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是(　　) A．0<a<4 　 B．0<b<2 C．－6<a＋2b<6 　 D．0<a＋2b<8 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围． 提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围． [跟进训练] 3．(多选)已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是(　　) A．∈ 　 B．a＋b∈(21，78) C．a－b∈(－9，42) 　 D．∈ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三)　不等式的性质 一、单项选择题 1．(2024·北京昌平区期末)若a<b<0，c>d>0，则一定有(　　) A．>　　　　　 B．< C．> 　 D．< 2．设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 3．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是(　　) A．[9，18] 　 B．(15，30) C．[9，30] 　 D．(9，30) 4．设a＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c 　 B．a>c>b C．b>a>c 　 D．b>c>a 5．已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　) A．2a<b＋c 　 B．a(b－c)>b(a－c) C．> 　 D．(a－c)3>(b－c)3 6．eπ·πe与ee·ππ的大小关系正确的为(　　) A．eπ·πe>ee·ππ　　　 B．eπ·πe＝ee·ππ C．eπ·πe<ee·ππ 　 D．不能确定 7．(2023·广东五校联考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为(　　) A．[15，31] 　 B．[14，35] C．[12，30] 　 D．[11，27] 8．若a<b<0，c>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．< 　 B．a－<b－ C．ln (b－a)>0 　 D．> 二、多项选择题 9．(2023·湖南永州三模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若b<a<0，则bc2<ac2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> 10．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．x的取值范围为(－1，2) B．y的取值范围为(－2，1) C．x＋y的取值范围为(－3，3) D．x－y的取值范围为(－1，3) 三、填空题 11．若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是________． 12．a，b，c，d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________．(只要写出适合条件的一组值即可)． 13．(2024·河南漯河模拟)某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑．若a≠b，则(　　) A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲、乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 14．(多选)已知两个不为零的实数x，y满足x<y，则下列结论正确的是(　　) A．3|x－y|>1 　 B．xy<y2 C．x|x|<y|y| 　 D．<ex－ey 15．已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________． 16．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c. 那么a，b，c，d的大小关系是________．(用“＞”连接) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三)　不等式的性质 1．D　[由于c>d>0，则>>0，又a<b<0， 所以－a>－b>0，故－>－>0，所以<，故选D.] 2．D　[充分性：若0<ab<1，则当a<0时，0>b>，所以b<不成立；必要性：若b<，则当a<0时，ab>1，所以0<ab<1不成立．故选D.] 3．D　[因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30. 故选D.] 4．B　[因为2－2＝9＋2<0，所以<，所以<，即b<c.又a－c＝2>0，故a>c.综上，a>c>b.故选B.] 5．D　[∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误； 取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误； 由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0， ∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．故选D.] 6．C　[， 又0<<1，0<π－e<1， ∴0＜<1， 即<1，即eπ·πe<ee·ππ. 故选C.] 7．D　[因为1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7， 所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21， 则5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)∈[11，27].故选D.] 8．D　[对选项A，，因为a<b<0，所以ab>0，b－a>0，即>0，所以>，故A错误；对选项B，a－＝(a－b)·，因为a<b<0，所以a－b<0，ab＞0，不能判断ab与1之间的关系，故B不正确；对选项C，因为b－a>0，所以ln (b－a)的取值范围为R，故C错误；对选项D，因为a<b<0，所以>0，>0，因为 >0，所以>，又因为c>0，所以y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，所以>，故D正确．故选D.] 9．BD　[对于A，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即b·c2≤a·c2，故A错误； 对于B，，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0， 所以<0，即<，故B正确； 对于C，，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0， 所以<0， 即<，故C错误； 对于D，因为，又因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以>0，即>，故D正确．故选BD.] 10．ABD　[因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，因为－3<x＋2y<2，所以－5<5x<10，则－1<x<2，故A正确； 因为－3<x＋2y<2，所以－6<2x＋4y<4， 因为－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1， 所以－10<5y<5，所以－2<y<1，故B正确； 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4， 所以－<(x＋2y)<<(2x－y)<，因为x＋y＝(x＋2y)＋(2x－y)，则－2<x＋y<2，故C错误； 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4， 所以－<－(x＋2y)<<(2x－y)<，因为x－y＝－(x＋2y)＋(2x－y)，则－1<x－y<3，故D正确．故选ABD.] 11．(－π，0)　[由已知，得－＜α＜＜－β＜，所以－π＜α－β＜π，又α＜β，所以α－β＜0，故－π＜α－β＜0．] 12．(2，1，－3，－2)(答案不唯一)　[根据不等式＞＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同号，c，d同号，＞＞0⇒＞0⇒＞0，又ad＜bc⇒ad－bc＜0，由此可知b，d异号，由这些信息可写出适合条件的一组值，如(2，1，－3，－2)．] 13．A　[由题意可知对于选手甲，b＝S，则T＝，设选手乙总共用时T ′，则对于选手乙，＝T ′，则T ′＝，T－T ′＝<0，即T<T ′，即甲先到达终点．故选A.] 14．AC　[因为x<y，所以|x－y|>0，所以3|x－y|>1，则A正确；因为x<y，当y<0时，xy>y2，则B错误；令f (x)＝x|x|＝，则C正确；对于D，若x＝－1，y＝1，则＝－2>e-1－e＝ex－ey，则D错误．故选AC.] 15．　[因为a>b>c，且a＋b＋c＝0， 可得a>0, b＝－(a＋c)， 所以a>－a－c>c， 两边同除以a，得－2<<－.] 16．b>d>c>a　[由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及④式a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　不等式的性质 梳理·必备知识 1．>　＝　< 2．b<a　a>c　a＋c>b＋c　ac>bc　ac<bc　a＋c>b＋d　ac>bd 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、1．A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)·(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.故选A.] 2．A　[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为<，故选A.] 3．(1)<　(2)<　(3)> 4．(－6，5)　[∵－3<b<5，∴－5<－b<3， 又－1<a<2，∴－6<a－b<5.] 考点一 典例1　(1)B　(2)C　[(1)p－q＝－a－b ＝＝(b2－a2)· ＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 又(b－a)2≥0，所以p－q≤0. 综上，p≤q.故选B. (2)P，Q作商可得， 令f (x)＝，则f '(x)＝ ， 当x>1时，f '(x)>0 ，所以f (x)＝在(1，＋∞)上单调递增， 因为a>b>1，所以<， 又>0，>0，所以<1，所以P<Q.故选C.] 跟进训练 1．(1)A　(2)aabb>abba　[(1)因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2， 又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故选A. (2)因为， 又a>b>0，故>1，a－b>0， 所以>1，即>1， 又abba>0，所以aabb>abba.] 考点二 典例2　(1)A　(2)D　[(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确； 取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，故B错误； 取a＝1，b＝－2，则<不成立，故C错误； 取a＝，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误.故选A. (2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误； 对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a<b，故B错误； 对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误； 对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0， 所以>0，即>，故D正确.故选D.] 跟进训练 2．AC　[由<<0，可知b<a<0．A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0．故有<，即A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0．故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误.故选AC.] 考点三 典例3　BD　[对于A，∵－2<a＋b<4，2<2a－b<8，∴－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，∴0<3a<12，∴0<a<4，故A正确； 对于B，∵2<2a－b<8，∴－8<b－2a<－2，∵－2<a＋b<4，∴－4<2a＋2b<8， ∵∴－12<3b<6， ∴－4<b<2，故B错误； 对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b， ∴∴ ∴a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)， ∵－2<a＋b<4，∴－<(a＋b)<， ∵2<2a－b<8，∴－<－(2a－b)<－， ∴－6<a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)<6，故C正确、D错误.故选BD.] 跟进训练 3． AB　[因为6<a<60，15<b<18，所以<<，－18<－b<－15，所以<<，6＋15<a＋b<60＋18，6－18<a－b<60－15，即<<4，21<a＋b<78，－12<a－b<45．于是＋1∈.故A，B正确，C，D错误.] 学科网（北京）股份有限公司 $$