第1章 第2课时 常用逻辑用语-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第2课时　常用逻辑用语 梳理·必备知识 1．充分　必要　充分不必要　pq且q⇒p　p⇔q　既不充分也不必要 2．(1)∀　(2)∃ 3．∀x∈M，p(x)　∃x∈M，p(x)　∃x∈M，¬p(x)　∀x∈M，¬p(x) 激活·基本技能 一、(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、1．C　[由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定¬p为“∃n∈N*，n2≤n－1”.] 2．C　3．AD　4．[3，＋∞) 考点一 考向1　典例1　B　[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立， “a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.] 考向2　典例2　D　[由>，x2>y2推不出x>y，排除AB； 由>1可得>0，解得x>y>0或x<y<0，所以>1是x>y的既不充分也不必要条件，排除C；2x－y>2⇒x>y，反之不成立，D正确.故选D. ] 考向3　典例3　解：由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝， 由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m， 所以B＝. 若选择条件①，则集合A是B的真子集，得解得m≥4. 当m＝4时，B＝，A⫋B，符合题意. 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得解得0<m≤3. 当m＝3时，B＝，则B⫋A，符合题意. 若选择条件③，则集合A＝B，得 无解，所以不存在满足条件③的实数m. 跟进训练 1．(1)D　(2)(只需满足α∈(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)即可)　[(1)ln(x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0．因为－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件，所以“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”.故选D. (2)由sin x＋cos x>1可得 sin>1， 则sin>， 所以2kπ＋<x＋<2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ<x<2kπ＋(k∈Z). 因为“x＝α”是“sin x＋cos x>1”的一个充分条件，故α的一个可能取值为.] 考点二 考向1　典例4　(1)C　(2)存在一个奇数，它的立方不是奇数　[(1)因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”.故选C. (2)命题的否定为存在一个奇数，它的立方不是奇数.] 考向2　典例5　ACD　[当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.] 考向3　典例6　(－4，0)　[法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4， ∴当p为假命题时，－4<m<0. 法二：∵p为假命题， ∴¬p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题， 即Δ＝m2＋4m<0，∴－4<m<0.] 跟进训练 2．(1)A　(2)　[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，故命题p为真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根.故选A. (2)若“∃x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定“∀x∈，使λx2＋x－2≤0”为真命题，即λ≤. 令f (x)＝＝2， 由x∈∈， 所以f (x)min＝f (4)＝－， 所以λ≤－.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二)　常用逻辑用语 1．C　[命题“∃x>0，x2－<0”的否定为“∀x>0，x2－≥0”．故选C.] 2．B　[若a＝1，b＝2，满足a2<b2，不能得到a<－b，充分性不成立， 因为a>0，若0<a<－b，两边平方得a2<b2，必要性成立． 则“a2<b2”是“a<－b”的必要不充分条件． 故选B.] 3．B　[由图可知B⊆A，且A，B非空， 则根据子集的定义可得： 对于A ，∃x∉A，x∈B错误； 对于B ，∀x∉A，x∉B正确； 对于C ，∃x∈B，x∉A错误； 对于D ，∀x∉B，x∈A错误．] 4．C　[因为“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充要条件是“a≠0且b＝0”， “a＝1且b＝0”是“a≠0且b＝0”的充分不必要条件， 所以“a＝1且b＝0”是“复数z＝ai＋b(a，b∈R)为纯虚数”的充分不必要条件．故选C.] 5．B　[A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中，因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．] 6．A　[命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题 瘙 綈 p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题． 当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意； 当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0， 综上可知，－4<a≤0.故选A.] 7．D　[由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2， 由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|， 若p是q的充分不必要条件，则或解得|m|≥1，所以m≤－1或m≥1.故选D.] 8．A　[当两圆无公切线时，两圆内含， 圆C1的圆心为(0，0)，半径r1＝1，圆C2的圆心为(－a，2a)，半径为r2＝6， 所以两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝， 即＜|6－1|，解得－＜a＜， 所以当两圆有公切线时a≥或a≤－， 所以a≥能推出圆C1和C2有公切线，而圆C1和C2有公切线不能推出a≥， 所以“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的充分不必要条件．故选A.] 9．AC　[因为∀x∈R，2kx2＋kx－<0为真命题， 所以k＝0或 解得－3<k≤0， 所以k∈(－3，0)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的充分不必要条件，A符合题意； 所以k∈(－3，0]是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的充要条件，B不符合题意； 所以k∈(－3，－1)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的充分不必要条件，C符合题意； 所以k∈(－3，＋∞)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的必要不充分条件，D不符合题意．故选AC.] 10．BD　[对于A，y＝x2－mx＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝，因为y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增， 所以≤1，即m≤2，所以y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增是m≤2的充要条件，故A错误； 对于B，∀x∈R，x2－mx＋1>0，即m2－4<0，即－2<m<2， 所以∀x∈R，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的充分不必要条件，故B正确； 对于C，∀x∈，x2－mx＋1>0，即m<x＋在上恒成立，所以m<，令g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－，当x∈时，g′(x)>0，所以g(x)在上单调递增，g(x)min＝g(2)＝，所以m<， 所以∀x∈，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的必要不充分条件，故C错误； 对于D，y＝x2－mx＋1只有一个零点，即m2－4＝0，即m＝2或m＝－2， 所以y＝x2－mx＋1只有一个零点是m≤2的充分不必要条件，故D正确． 故选BD.] 11．充分不必要　充要　[由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．] 12．[－2，＋∞)　[因为命题“∃a＜0，a＋＞b”是假命题， 所以命题“∀a＜0，a＋≤b”是真命题． 又当a＜0时，a＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－a＝，即a＝－1时等号成立， 所以＝－2， 所以b≥－2， 所以实数b的取值范围为[－2，∞)．] 13．C　[在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B. 设f (x)＝x＋cos x，x∈(0，π)， 则f ′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0，1]， ∴f ′(x)≥0，∴f (x)在(0，π)上单调递增， ∴a>b⇔A>B⇔f (A)>f (B)⇔A＋cos A>B＋cos B．] 14．A　[由题意，若p1，p2是真命题，则p3，p4均为假命题，不合题意，故p1，p2中必有一个假命题． 若p1是假命题，p2，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝－1，此时p4为真命题，符合题意； 若p2是假命题，p1，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝，此时p4为假命题，不符合题意． 故选A.] 15．　[当x∈[0，3]时，f (x)min＝f (0)＝0；当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m. 由f (x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.] 16．甲　[若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁说的都是真话，不符合题意． 若丙是获奖的歌手，则甲、丁说的都是真话，不符合题意． 若丁是获奖的歌手，则乙、丙说的都是真话，不符合题意． 若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二)　常用逻辑用语 一、单项选择题 1．(2024·河南周口期中)命题“∃x>0，x2－<0”的否定为(　　) A．∃x>0，x2－≥0　　　 B．∃x≤0，x2－≥0 C．∀x>0，x2－≥0 　 D．∀x≤0，x2－≥0 2．(2024·广东深圳模拟)若a>0，则“a2<b2”是“a<－b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2023·广东东莞三模)已知全集U和它的两个非空子集A，B的关系如图所示，则下列命题正确的是(　　) A．∃x∉A，x∈B　　　 B．∀x∉A，x∉B C．∃x∈B，x∉A 　 D．∀x∉B，x∈A 4．“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充分不必要条件是(　　) A．a≠0且b＝0 　 B．b＝0 C．a＝1且b＝0 　 D．a＝b＝0 5．下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 6．(2024·湖南长沙模拟)命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－4，0] 　 B．[－4，0) C．(－4，0) 　 D．[－4，0] 7．已知条件p：x2－3x＋2≤0，条件q：x2－4x＋4－m2≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] 　 B．[1，＋∞) C．{0} 　 D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 8．(2024·广东深圳开学考试)“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题 9．命题“∀x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的充分不必要条件可能是(　　) A．k∈(－3，0) 　 B．k∈(－3，0] C．k∈(－3，－1) 　 D．k∈(－3，＋∞) 10．(2024·广东东莞模拟)下列哪些选项是m≤2的充分不必要条件(　　) A．y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增 B．∀x∈R，x2－mx＋1>0恒成立 C．∀x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立 D．y＝x2－mx＋1只有一个零点 三、填空题 11．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空) 12．若命题“∃a＜0，a＋＞b”是假命题，则实数b的取值范围为________． 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知f (x)＝ax2＋bx＋1，有下列四个命题： p1：x＝是f (x)的零点； p2：x＝2是f (x)的零点； p3：f (x)的两个零点之和为1； p4：f (x)有两个异号零点． 若只有一个假命题，则该命题是(　　) A．p1　　　 B．p2 C．p3　　　 D．p4 15．已知f (x)＝x2，g(x)＝－m.若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________． 16．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　常用逻辑用语 [考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的____条件，q是p的____条件 p是q的__________条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 ____________ p是q的充要条件 ______ p是q的________________条件 pq且qp 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“__”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“__”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 __________________ __________________ 否定 __________________ __________________ 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变． [常用结论] 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B. (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件． (　　) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件． (　　) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题． (　　) (4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N*，n2≤n－1　 B．∀n∈N*，n2<n－1 C．∃n∈N*，n2≤n－1 　 D．∃n∈N*，n2<n－1 2．(人教A版必修第一册P22习题1.4T2(2)改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(　　) A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 3．(多选) (人教A版必修第一册P31习题1.5T1、T2改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．∃x∈R，sin x＝2 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上 4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________． 考点一　充分、必要条件 　充分、必要条件的判定 [典例1]　(1)(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　充分、必要条件的探求 [典例2]　(2023·天津和平区二模)若x，y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可以是(　　) A．|x|>|y|　　　　 B．x2>y2 C．>1 　 D．2x－y>2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　充分、必要条件的应用 [典例3]　请在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任选一个，补充在横线处，并解答． 已知集合A＝，B＝，且x∈A是x∈B的________条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)充分条件、必要条件的判定方法：定义法、集合法． (2)充分条件、必要条件的探求要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”． (3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验． [跟进训练] 1．(1) “ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<－ 　 B．x>0 C．－1<x<0 　 D．x<0 (2)(2023·山东潍坊二模)若“x＝α”是“sin x＋cos x>1”的一个充分条件，则α的一个可能值是________． 考点二　全称量词与存在量词 　含量词命题的否定 [典例4]　(1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　) A．∀x<0，x＋2>2x 　 B．∃x≥0，使得x＋2>2x C．∀x<0，x＋2≤2x 　 D．∃x≥0，使得x＋2≤2x (2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　含量词命题的真假判断 [典例5]　(多选)下列四个命题中为真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x-1＞0 　 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x∈R，lg x＜1 　 D．∃x∈R，tan x＝2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　含量词命题的应用 [典例6]　若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的真假求参数的取值范围；二是利用等价转化，根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围． (3)全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应成立． [跟进训练] 2．(1)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和¬p正确的为(　　) A．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 B．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 C．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 D．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 (2)(2024·陕西咸阳模拟)若命题“∃x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$