第1章 第1课时 集合-【名师导航】2025年高考数学一轮总复习讲义（通用版）

第1课时　集合 [考试要求]　1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3．会求两个集合的并集、交集与补集.4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号____和____表示． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N ____________ __ __ __ 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或(B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但____元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或(BA)． (3)相等：若A⊆B，且______，则A＝B. 提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形表示 集合表示 A∪B＝________________________ A∩B＝________________________ ∁UA＝________________________ [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A． 2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}． (　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1． (　　) (4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2，3，4}的子集有(　　) A．4个　　 B．6个　　 C．8个　　 D．9个 2．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是(　　) A．1∈A 　 B．{－1}⊆A C．∅⊆A 　 D．{－1，1}∉A 3．(人教A版必修第一册P35T9改编)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　　 　 B．1　　　 C．　　　 　 D．－1 4．(人教A版必修第一册P14T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________． 考点一　集合的概念 [典例1]　(1)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为(　　) A．2　　 B．4　 C．6　　 D．8 (2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决集合含义问题的注意点 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． [跟进训练] 1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1}　　　　　 　 B．{2} C．{1，2} 　 D．{1，2，3} (2)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　) A．3　　 B．4　 C．5　　 D．6 考点二　集合间的基本关系 [典例2]　(1)(2023·江苏南京、盐城一模)设M＝，N＝，则(　　) A．MN 　 B．NM C．M＝N 　 D．M∩N＝∅ (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加． 提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． [跟进训练] 2．(1)(2024·广东肇庆期中)设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为(　　) A．2 　 B．3 C．7 　 D．8 (2)(2024·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C＝________．(写出一个即可) 考点三　集合的基本运算 　集合的运算 [典例3]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} 　 B．{0，1，2} C．{－2} 　 D．{2} (2)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用集合的运算求参数 [典例4]　已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) 　 B．(－∞，－2] C．(－4，＋∞) 　 D．(－∞，－4] [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决集合运算问题的注意点 (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值． (2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了． (3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． (4)端点值验证． [跟进训练] 3．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) 　 B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) 　 D．M∪∁UN (2)(2024年1月九省联考卷)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 考点四　Venn图的应用及创新性问题 [典例5]　(1)如图所示，A，B是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A⊕B＝________． (2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题． [跟进训练] 4．(1)已知集合P，Q均为R的子集，且(∁RQ)∪P＝R，则(　　) A．P∩Q＝R 　 B．P⊆Q C．Q⊆P 　 D．P∪Q＝R (2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为(　　) A．60　 　 　 B．70　 　 C．80　 　 　 D．90 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(一)　集合 一、单项选择题 1．(2023·北京高考)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x<1}　　　　 B．{x|－2<x≤1} C．{x|x≥－2} 　 D．{x|x<1} 2．已知全集U＝N，集合A＝{x∈U|2≤x≤10}，B＝{x|x为素数}，则A∩∁UB＝(　　) A．{4，6，8，10} 　 B．{4，5，6，8，9} C．{2，4，6，8，10} 　 D．{4，6，8，9，10} 3．(2024·广州模拟)设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为(　　) A．8　　　 B．7 C．4　　　 D．3 4．(2024·山东滨州模拟)已知集合A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B⊆A，则实数m＝(　　) A．2 　 B．1 C．1或2 　 D．0或1或2 5．(2023·山东威海二模)已知全集U＝{x|0<x<5}，集合A满足∁UA＝{x|1<x<3}，则(　　) A．1∉A 　 B．2∈A C．3∉A 　 D．4∈A 6．(2023·山东济宁三模)若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，则集合A∩B中的元素个数为(　　) A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 7．(2024·湖北十堰模拟)若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则(　　) A．A∩B＝∅ 　 B．A∪B＝R C．B⊆A 　 D．A⊆B 8．(2023·湖北华中师大附中一模)满足等式{0，1}∪X＝的集合X共有(　　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 二、多项选择题 9．已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是(　　) A．{－1，1} 　 B．{－1，1，2，4} C．{1} 　 D．{1，－2，2} 10．(2023·山东潍坊一模)若非空集合M，N，P满足：M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　) A．P⊆M 　 B．M∩P＝M C．N∪P＝P 　 D．M∩∁PN＝∅ 三、填空题 11．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m＝________． 12．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的小学生共有________人． 13．政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，那么它们的关系是(　　) A．A∪B＝A 　 B．A∪B＝B C．A∩B＝A 　 D．A＝B 14．(多选)(2024·陕西宝鸡模拟)设A，B，C是三个集合，若A∪B＝B∩C，则下列结论正确的是(　　) A．A⊆B 　 B．B⊆C C．B⊆A 　 D．A⊆C 15．(多选)非空集合A具有如下性质： ①若x，y∈A，则∈A； ②若x，y∈A，则x＋y∈A. 下列说法正确的有(　　) A．－1∉A B．∈A C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x－y∉A 16．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝，如果P＝，Q＝，那么P－Q等于________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习讲义参考答案与精析 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 第1课时　集合 梳理·必备知识 1．(2)∈　∉　(4)N*(或N＋)　Z　Q　R 2．(1)任意一个元素　(2)存在　x∉A (3)B⊆A 3．{x|x∈A，或x∈B}　{x|x∈A，且x∈B}　{x|x∈U，且x∉A} 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．C　[A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C.] 2．ABC 3．B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0，当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.] 4．{x|x≤2或x≥10}　{x|2<x<3或9≤x<10}　[由题意，集合A＝{x|3≤x<9}，B＝{x|2<x<10}， 可得A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}， 又由∁RA＝{x|x<3或x≥9}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或9≤x<10}.] 考点一 典例1　(1)C　(2)－　[(1)因为A＝{1，2，3}， 所以B＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}，即B中含6个元素.故选C. (2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.] 跟进训练 1．(1)A　(2)C　[(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}，∴M＝{1}.故选A. (2)∵∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1，1，2，4，∴x的值分别为－2，0，1，3，4，6， 又x∈N，故x的值为0，1，3，4，6. 故集合A中有5个元素.] 考点二 典例2　(1)B　(2)[－1，＋∞)　[(1)因为x＝k＋，因为k∈Z， 所以2k＋1为奇数，故N⫋M.故选B. (2)①当B＝⌀时，2m－1>m＋1，解得m>2； ②当B≠⌀时，解得－1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞).] 跟进训练 2．(1)C　(2){x|1≤x≤4}(答案不唯一)　[(1)由x2－8x＋15＝0，得(x－3)(x－5)＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3，5}. 当a＝0时，B＝⌀，满足B⊆A. 当a≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝3或＝5，得a＝或a＝. 综上，实数a的取值集合为， 所以实数a取值集合的真子集的个数为23－1＝7．故选C. (2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}， 若A⫋C⫋B，则可有C＝{x|1≤x≤4}.] 考点三 考向1　典例3　(1)C　(2){1，2，3，5，8，9}　[(1)∵x2－x－6≥0，∴(x－3)(x＋2)≥0，∴x≥3或x≤－2， N＝{x|x≤－2，或x≥3}， 则M∩N＝{－2}. 故选C. (2)由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示. 由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}.] 考向2　典例4　D　[集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图. 可知－≥2，即a≤－4．] 跟进训练 3．(1)A　(2)5　[(1)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A. (2)由A∩B＝A，则A⊆B， 由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3， 故有 即即m≥5，即m的最小值为5.] 考点四 典例5　(1)[0，1]∪(2，＋∞)　(2)8 [(1)由题可知B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝(1，2]. 由题意得A􀱇B＝∁A(A∩B)∪∁B(A∩B)＝[0，1]∪(2，＋∞). (2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图. 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人.] 跟进训练 4．(1)C　(2)B　[(1)如图所示，集合P，Q均为R的子集，且满足(∁RQ)∪P＝R，所以Q⊆P. (2)根据题意作出Venn图如下， 所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70. 故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(一)　集合 1．A　[由题意，M＝{x|x≥－2}，N＝{x|x<1}， 所以M∩N＝{x|－2≤x<1}．故选A.] 2．D　[由A∩∁UB，即为2≤x≤10，x∈N中不是素数的数组成的集合， 则A∩∁UB＝{4，6，8，9，10}．故选D.] 3．B　[集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}＝{x|(x－3)(x＋1)<0，x∈Z}＝{0，1，2}， 则集合M中元素个数为3， 故集合M的真子集个数为23－1＝7. 故选B.] 4．D　[因为A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}， 若B⊆A，则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}， 当B＝∅时，m＝0， 当B＝{1}时，m＝2， 当B＝{2}时，m＝1.故选D.] 5．D　[因为U＝{x|0<x<5}，且∁UA＝{x|1<x<3}， 所以A＝{x|0<x≤1或3≤x<5}，所以1∈A，2∉A，3∈A，4∈A.故选D.] 6．C　[因为A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，又B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0，4)，(1，3)}，即集合A∩B中含有2个元素．故选C.] 7．C　[因为A＝{x|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[1，＋∞)，所以B⊆A.故选C.] 8．D　[因为＝{0，1，－1}，所以{0，1}∪X＝{0，1，－1}，所以符合该等式的集合X为X＝{－1}，X＝{－1，1}，X＝{0，－1}，X＝{0，1，－1}，故这样的集合X共有4个．故选D.] 9．AC　[由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M， 所以满足条件的非空集合M有{－1，1}，{1}．] 10．BC　[由M∩N＝N可得N⊆M，由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错误； 由M⊆P可得M∩P＝M，故选项B正确； 因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故选项C正确； 由N⊆M可得M∩∁PN不一定为空集，故选项D错误．故选BC.] 11．0或3　[因为A∪B＝A，所以B⊆A. 因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3. 当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意； 当m＝1时，集合A，集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意． 综上，m＝0或3．] 12．120　[如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A，B，C表示，则card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24， 不妨设总人数为n，Venn图中三块区域的人数分别为x，y，z，即card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46，由Venn图可知， n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120．] 13．A　[根据题意，x∈A推不出x∈B，x∈B能推出x∈A， 所以B⊆A，故A∪B＝A.故选A.] 14．ABD　[∵A∪B＝B∩C，且B⊆(A∪B)，∴B⊆(B∩C)， ∴B⊆C，∴B∩C＝B，∴A∪B＝B∩C＝B， ∴A⊆B⊆C，故ABD正确，C错误．故选ABD.] 15．ABC　[对于A，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则＝1∈A，x＋y＝－2∈A， 令x＝－1，y＝1，则＝－1∈A，x＋y＝0∈A， 令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾， ∴－1∉A，故A正确； 对于B，由题，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 022∈A，2 023∈A， ∴∈A，故B正确； 对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A， ∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C正确； 对于D，∵1∈A，2∈A， 若x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故D错误． 故选ABC.] 16．{x|0<x≤1}　[由log2x<1得0<x<2， 则P＝＝， 由－x2＋4x－3>0，解得1<x<3， 则Q＝{x|y＝lg (－x2＋4x－3)}＝{x|1<x<3}， 所以P－Q＝{0<x≤1}．] 点拨：差集定义：P－(P－Q)＝Q－(Q－P)＝P∩Q. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$