6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

第六章 导数及其应用 练 效 果 评 价 1. 设函数 f （ x ） =e x 的图象与 y 轴相交于 点 Q ， 则曲线 y=f （ x ）在点 Q 处的切线方程为 （ ） A. y=2x+2 B. y=2x+1 C. y=x+1 D. y=x+2 2. 已知曲线 y=x 3 在点 （ a ， b ） 处的切 线与直线 x+3y+1=0 垂直 ， 则 a 的取值是 （ ） A. -1 B. ±1 C. 1 D. ±3 3. 已知函数 f （ x ） =sinx 和直线 l ： y=x+a ， 那么 “ a=0 ” 是 “直线 l 与曲线 y=f （ x ）相切” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若曲线 y=lnx 上恰有三个不同的点到 直线 y=x+a 的距离为 2 姨 ， 则实数 a 的值为 （ ） A. -3 B. -2 2 姨 C. 1 D. 2 5. （多选题） 直线 y= 1 2 x+b 可作为下列 哪个函数的图象的切线 （ ） A. f （ x ） = 1 x B. f （ x ） =x 4 C. f （ x ） =cosx D. f （ x ） =lnx 6. 函数 f （ x ） =e x 图象上的点到直线 y=2x- 2ln2 的最小距离为 . 7. 直线 y= 1 2 x+b 是曲线 y=lnx （ x>0 ） 的 一条切线， 则实数 b= . 8. 过原点作曲线 y=e x 的切线， 则切点的 坐标为 ， 切线的斜率为 . 9. 已知曲线 f （ x ） = 1 x ， 求： （ 1 ） 满足斜率为 - 1 3 的曲线的切线方程； （ 2 ） 曲线过点 P （ 1 ， 0 ） 的切线方程 . 10. 设 g （ x ） = x 姨 ， f （ x ） =kx 2 ， 其中 k 为 常数 . （ 1 ） 求曲线 g （ x ）在点 （ 4 ， 2 ） 处的切线 方程； （ 2 ） 如果函数 f （ x ）的图象也经过点 （ 4 ， 2 ）， 求 f （ x ）与 （ 1 ） 中的切线的交点 . 6.1.3 基本初等函数的导数 33 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 练 提 升 练 习 11. 曲线 y=x 1 2 在点 （ 1 ， 1 ） 处的切线方 程为 （ ） A. x-2y+1=0 B. x-y=0 C. x+y-2=0 D. 2x-y-1=0 12. 已知直线 y=kx 是曲线 y=e x 的切线， 也是曲线 y=lnx+m 的切线， 则实数 k= ， 实数 m= . 13. 已知函数 f （ x ）为偶函数， 当 x>0 时 f （ x ） =lnx+1+e x-1 ， 则曲线 y=f （ x ）在 x=-1 处的 切线方程为 . 14. 设函数 f （ x ） =x+ax 2 +blnx ， 曲线 y= f （ x ）过 P （ 1 ， 0 ）， 且在 P 点处的切斜线率 为 2. （ 1 ） 求 a ， b 的值； （ 2 ） 证明： f （ x ） ≤2x-2. 15. 如图， 从点 P 1 （ 0 ， 0 ） 作 x 轴的垂线 交曲线 y=e x 于点 Q 1 （ 0 ， 1 ）， 曲线在 Q 1 点 处的切线与 x 轴交于点 P 2 . 再从 P 2 作 x 轴的 垂线交曲线于点 Q 2 ， 依次重复上述过程得到 一系列点： P 1 ， Q 1 ； P 2 ， Q 2 ； …； P n ， Q n ， 记 P k 点的坐标为 （ x k ， 0 ） （ k=1 ， 2 ， …， n ） . （ 1 ） 试求 x k 与 x k-1 的关系 （ 2≤k≤n ）； （ 2 ） 求 ｜P 1 Q 1 ｜+｜P 2 Q 2 ｜+｜P 3 Q 3 ｜+ … +｜P n Q n ｜. 第 15 题图 34 参 考 答 案 1 ］， 依题意必有 a-1≤0 ， a+1≥ 1 2 ， ， 解得 - 1 2 ≤a≤1. 13. 解： （ 1 ） 当 a=1 时， f ′ （ x ） =1+ 1 x （ x>0 ）， ∴ f （ 1 ） =1 ， f ′ （ 1 ） =2 ， ∴ 曲线 y=f （ x ）在 x=1 处的切线方程为 y- 1=2 （ x-1 ）， 即 2x-y-1=0. （ 2 ） f ′ （ x ） =1+ a x （ x>0 ）， 若曲线 y=f （ x ）在 x=2 处的 切线方程为 y=2x+b ， ∴ 1+ a 2 =2 ， 2×2+b=2+aln2 ， ， & & & % & & & ' ∴ a=2 ， b=2ln2-2. ， 14. 解： （ 1 ） 若 b=c ， 则 f （ x ） = （ x-a ）（ x-b ） 2 ， ∴ f ′ （ x ） = （ x-b ） 2 + （ x-a ）· 2 （ x-b ）， 则 f ′ （ b ） = （ b-b ） 2 + （ x-a ）· 2 （ b-b ） =0 ， 即曲线 y=f （ x ）在点 （ b ， f （ b ）） 处的切线斜率为 0 ， 又 f （ b ） = （ b-a ）（ b-b ） 2 =0 ， ∴ 所求切线方程为 y=0. （ 2 ） 由 f （ x ） = （ x-a ）（ x-b ）（ x-c ）得 f ′ （ x ） = （ x-b ）（ x-c ） + （ x-a ）［（ x-b ）（ x-c ）］ ′= （ x-b ）（ x-c ） + （ x-a ）（ x-c ） + （ x-a ）（ x- b ）， ∴ f ′ （ a ） = （ a-b ）（ a-c ）， f ′ （ b ） = （ b-a ）（ b-c ）， f ′ （ c ） = （ c- a ）（ c-b ） . 因此 1 f′ （ a ） + 1 f′ （ b ） + 1 f′ （ c ） = 1 （ a-b ）（ a-c ） + 1 （ b-a ）（ b-c ） + 1 （ c-a ）（ c-b ） = 1 a-b · 1 a-c - 1 b-c c ) + 1 （ c-a ）（ c-b ） = 1 a-b · b-a （ a-c ）（ b-c ） + 1 （ a-c ）（ b-c ） =- 1 （ a-c ）（ b-c ） + 1 （ a-c ）（ b-c ） =0. 6.1.3 基本初等函数的导数 学习手册 变式训练 1 解： f ′ （ x ） =lim Δx→0 f （ x+Δx ） -f （ x ） Δx =lim Δx→0 3x 2 Δx+3xΔx 2 +Δx 3 Δx =lim Δx→0 3x 2 +3xΔx+Δx 2 =3x 2 . 变式训练 2 （ 1 ） √ （ 2 ） × （ 3 ） × （ 4 ） × 变式训练 3 解 ： ∵y=e x ， ∴y′ x=2 =e 2 ， ∴ 曲线 y=e x 在点 （ 2 ， e 2 ） 处的切线方程为 y-e 2 =e 2 （ x-2 ） . 即 y=e 2 （ x-1 ） . 随堂练习 1. BC 【解析 】 1 x x - ′ =- 1 x 2 ， ∴A 不正确； ∵ （ cosx ） ′ =-sinx ， ∴B 正确 ； ∵ （ 2 x ） ′=2 x ln2 ， ∴C 正确 ； ∵ （ lgx ） ′= 1 xln10 ， ∴D 不正确 . 故选 BC. 2. A 【解析】 ∵f （ x ） =sinx ， ∴ f ′ （ x ） =cosx. 又 ∵f ′ （ α ） = cosα= 1 2 ， ∴α=2kπ± π 3 （ k∈Z ） . 当 k=0 时 ， α=± π 3 ， ∴ 可取 α= π 3 . 故选 A. 3. A 【解析 】 f （ x ） =cosx ， f ′ （ x ） =-sinx ， ∴ f ′ π 4 x - + f π 4 x - =-sin π 4 +cos π 4 =0. 故选 A. 4. 1 e x-ey=0 【解析】 ∵y′= 1 x ， ∴ 曲线 y=lnx 在点 M （ e ， 1 ） 处的切线斜率为 1 e . ∴ 切线方程为 y-1= 1 e （ x- e ）， 即 x-ey=0. 5. 2x-y-1=0 【解析】 f ′ （ x ） =2x ， 令切点为 （ m ， m 2 ）， 故 f ′ （ m ） =2m ， 令 2m=2 ， 解得 m=1 ， 故切点为 （ 1 ， 1 ）， ∴ 切线方程为 y-1=2 （ x-1 ）， 整理得 2x-y-1=0. 故切线方 程为 2x-y-1=0. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） =e x 的图象与 y 轴相交于点 Q ， 且 f （ 0 ） =1 ， 得 Q （ 0 ， 1 ） . ∵f ′ （ x ） =e x ， ∴ f ′ （ 0 ） =e 0 =1. 则曲线 y=f （ x ）在点 Q 处的切线方程为 y-1=x ， 即 y=x+1. 故选 C. 2. B 【解析】 y=f （ x ） =x 3 ， f ′ （ x ） =3x 2 ， ∵ 直线 x+3y+1= 0 ， k=- 1 3 ， ∴y=x 3 在 （ a ， b ） 处的切线斜率 kf ′ （ a ） =-1 ， 故 f ′ （ a ） =3a 2 =3 ， 解得 a=±1. 故选 B. 3. A 【解析】 设函数 f （ x ） =sinx 和直线 y=x+a 的切点 坐标为 （ x 0 ， y 0 ）， 则 f ′ （ x 0 ） =cosx 0 =1 ， sinx 0 =x 0 +a ， ， 可得 a=-2kπ ， k∈ Z ， ∴a=0 时， 直线 l 与曲线 y=f （ x ）相切； 直线 l 与曲线 y=f （ x ）相切不能推出 a=0. 因此 “ a=0 ” 是 “直线 l 与曲线 y=f （ x ）相切” 的充分 不必要条件， 故选 A. 4. A 【解析】 由题意知， 直线 y=x+a 与曲线 y=lnx 相 交， 设曲线 y=lnx 的斜率为 1 的切线的切点为 P （ x 0 ， y 0 ）， 由 y′= 1 x 得， 1 x 0 =1 ， x 0 =1 ， y 0 =0 ， ∴ 切线方程为 y=x-1 ， 由 ｜a+1｜ 2 √ = 2 √ 得， a=-3 或 a=1 ， y=x+1 在切线 y=x-1 的 左侧， 与曲线 y=lnx 无公共点， 舍去， ∴a=-3. 故选 A. 53 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 5. BCD 【解析】 ∵ 函数 y= 1 2 x+b 为函数 f （ x ）的切 线 ， ∴ 可知 f （ x ）在某一点切线斜率为 1 2 . ∵f （ x ） = 1 x ， ∴ f ′ （ x ） =- 1 x 2 = 1 2 不成立， 故 A 不符合题意； ∵f （ x ） =x 4 ， ∴ f ′ （ x ） =4x 3 = 1 2 可以成立， 故 B 符合题意； ∵f （ x ） =cosx ， ∴ f ′ （ x ） =-sinx= 1 2 可以成立 ， 故 C 符合题意 ； ∵f （ x ） = lnx ， ∴ f （ x ） = 1 x = 1 2 可成立， 故 D 符合题意 . 故选 BCD. 6. 2 5 姨 5 【解析】 根据函数图象， 只需寻找与直线 y=2x-2ln2 平行的直线与 f （ x ） =e x 相切， 切点到直线 y= 2x-2ln2 的距离就是函数 f （ x ） =e x 图象上的点到直线 y= 2x-2ln2 的最小距离 . ∵f （ x ） =e x ， ∴ f ′ （ x ） =e x ， 令 f ′ （ x ） =e x = 2 ， x=ln2 ， 则 （ ln2 ， 2 ） 到直线 y=2x-2ln2 的距离最小， 最小距离为 ｜2ln2-2ln2-2｜ 4+1 姨 = 2 5 姨 5 . 7. ln2-1 【解析】 设切点为 （ x 0 ， lnx 0 ）， 则切线斜率 k= 1 x 0 = 1 2 ， ∴x 0 =2. 又切点 （ 2 ， ln2 ） 在切线 y= 1 2 x+b 上， ∴b=ln2-1. 8. （ 1 ， e ） e 【解析】 设切点为 （ x 0 ， e x 0 ）， ∵y=e x ， ∴y′=e x ， ∴k=y′ x=x 0 =e x 0 ， ∴ 切线方程为 y-e x 0 =e x 0 （ x-x 0 ） . ∵ 切线方程过原点， 把原点坐标代入， 得 -e x 0 =e x 0 · （ 0-x 0 ）， 解得 x 0 =1 ， ∴ 切点坐标为 （ 1 ， e ）， 切线的斜率 为 e. 9. 解： （ 1 ） 设切点为 A a， 1 a # ， 则切线斜率为 k= f ′ （ a ） =- 1 a 2 ， ∴- 1 a 2 =- 1 3 ， 解得 a=± 3 姨 ， ∴ 切点坐标为 3 姨 ， 3 姨 3 a 3 或 - 3 姨 ， - 3 姨 3 3 3 . 于 是 ， 切 线 方 程 为 y- 3 姨 3 =- 1 3 （ x- 3 姨 ）或 y+ 3 姨 3 =- 1 3 （ x+ 3 姨 ）， 整理得， x+3y-2 3 姨 =0 或 x+ 3y+2 3 姨 =0. （ 2 ） 显然点 P （ 1 ， 0 ） 不在曲线 f （ x ） = 1 x 上， 则可设 过该点的切线切点为 B b， 1 b a 3 ， 而斜率 k=f ′ （ b ） =- 1 b 2 ， 于是， 切线方程为 y- 1 b =- 1 b 2 （ x-b ）， 将 P 点坐标代入方 程得 - 1 b =- 1 b 2 ·（ 1-b ）， 解得 b= 1 2 ， 把 b= 1 2 代入切线方 程， 并整理得切线方程为 4x+y-4=0. 10. 解 ： （ 1 ） ∵g （ x ） = x 姨 ， ∴g′ （ x ） = 1 2 x 姨 ， ∴g′ （ 4 ） = 1 4 ， ∴ 曲线 g （ x ）在点 （4 ， 2 ） 处的切线方程为 y-2= 1 4 （ x-4 ）， 即 x-4y+4=0. （ 2 ） ∵ 函数 f （ x ）的图象也经过点 （4 ， 2 ）， ∴k= 1 8 ， ∴ f （ x ） = 1 8 x 2 ， 与 x-4y+4=0 联立， 可得交点坐标为 （ 4 ， 2 ）， -2 ， 1 2 a 3 . 提升练习 11. A 【解析 】 ∵y=x 1 2 ， ∴y′= 1 2 x - 1 2 ， 则曲线过点 （ 1 ， 1 ） 的切线方程的斜率 k=y′ x=1 = 1 2 ， ∴ 所求的切线 方程为 y-1= 1 2 （ x-1 ）， 即 x-2y+1=0. 故选 A. 12. e 2 【解析 】 对于 y=e x ， 设切点为 （ n ， e n ） ， ∵y′=e x ， 故切线斜率 k=e n ， 故切线方程为 y-e n =e n （ x-n ）， 由已知得切线过 （ 0 ， 0 ）， ∴-e n =e n （ -n ）， 故 n=1 ， ∴k= e ， 即切线方程为 y=ex. 对于 y=lnx+m ， 设切点为 （ c ， lnc+m ）， ∴y′= 1 x . ∵ 切线为 y=ex ， 得 y′ x=c = 1 c =e ， ∴c= 1 e ， ∴ 切点为 1 e ， a 3 1 ， 代入 y=lnx+m 得， 1=ln 1 e +m ， ∴m=2. 13. 2x+y=0 【解析】 ∵ 函数 f （ x ）为偶函数， 设 x<0 ， 则 -x>0 ， ∴ f （ -x ） =ln （ -x ） +1+e -x-1 ， 则 f （ x ） =f （ -x ） =ln （ -x ） + 1+e -x-1 ， ∴ f ′ （ x ） = 1 x -e -x-1 ， ∴ f （ -1 ） =1+e 1-1 =2 ， f ′ （ -1 ） = -1-e 1 -1 =-2 ， ∴y=f （ x ）在 x=-1 处的切线 方程为 y-2= 第 6 题答图 54 参 考 答 案 -2 （ x+1 ）， 即 2x+y=0. 14. （ 1 ） 解： f ′ （ x ） =1+2ax+ b x . 由已知条件得 f （ 1 ） =0 ， f′ （ 1 ） =2 2 ， 即 1+a=0 ， 1+2a+b=2 2 ， 解得 a=-1 ， b=3. （ 2 ） 证明： f （ x ）的定义域为 （ 0 ， +∞ ）， 由 （ 1 ） 知 f （ x ） =x-x 2 +3lnx. 设 g （ x ） =f （ x ） - （ 2x-2 ） =2-x-x 2 +3lnx ， 则 g′ （ x ） =-1-2x+ 3 x =- （ x-1 ）（ 2x+3 ） x . 当 0<x<1 时， g′ （ x ） >0 ； 当 x>1 时， g′ （ x ） <0. ∴g （ x ）在 （ 0 ， 1 ） 单调增加， 在 （ 1 ， +∞ ） 单调减少 . 而 g （ 1 ） =0 ， 故当 x>0 时， g （ x ） ≤0 ， 即 f （ x ） ≤2x-2. 15. 解： （ 1 ） 设 P k-1 （ x k-1 ， 0 ）， 由 y′=e x 得， Q k-1 （ x k-1 ， e x k-1 ） 点处切线方程为 y-e x k-1 =e x k-1 （ x-x k-1 ）， 由 y=0 得， x k = x k-1 -1 （ 2≤k≤n ） . （ 2 ） x 1 =0 ， x k -x k-1 =-1 ， 得 x k =- （ k-1 ）， ∴ ｜P k Q k ｜=e x k = e - （ k-1 ） ， 于是 S n =｜P 1 Q 1 ｜+｜P 2 Q 2 ｜+｜P 3 Q 3 ｜+ … +｜P n Q n ｜=1+e -1 +e -2 + … + e - （ n-1 ） = 1-e -n 1-e -1 = e-e 1-n e-1 . 6.1.4 求导法则及其应用 第 1 课时 导数的四则运算法则 学习手册 变式训练 1 A 【解析 】 f （ x ） =x-g （ x ）， 可得 f ′ （ x ） =1- g′ （ x ）， f （ 2 ） =2-g （ 2 ） =-3 ， f ′ （ 2 ） =1-g′ （ 2 ） =-1 ， ∴g （ 2 ） + g′ （ 2 ） =7. 故选 A. 变式训练 2 y=x+1 【解析】 ∵f ′ （ x ） = （ x+1 ） ′cosx+ （ x+1 ）· sinx′=cosx- （ x+1 ） sinx ， ∴ f ′ （ 0 ） =1. 又 f （ 0 ） =1 ， ∴ f （ x ）在 （ 0 ， f （ 0 ）） 的切线方程为 y-1=x ， 即 y=x+1. 变式训练 3 0 【解析 】 ∵f （ x ） = lnx x （ x≠0 ）， ∴ f ′ （ x ） = （ lnx ） ′x-x′lnx x 2 = 1 x ·x-lnx x 2 = 1-lnx x 2 ， ∴ f ′ （ e ） = 1-lne e 2 =0. 随堂练习 1. B 【解析】 ∵f （ x ） =x+ 1 x ， ∴ f ′ （ x ） =1- 1 x 2 ， ∴ f ′ （ 2 ） = 1- 1 2 2 = 3 4 ， ∴ 函数 f （ x ） =x+ 1 x 在 x=2 处的切线斜率为 3 4 . 故选 B. 2. B 【解析】 由题意知， f ′ （ x ） =acosx. ∵f ′ 仔 3 3 % =1 ， ∴acos 仔 3 =1 ， 解得 a=2. 故选 B. 3. C 【解析】 展开函数解析式， 得 f （ x ） =x 3 -3a 2 x+2a 2 ， 求导得 f ′ （ x ） =3x 2 -3a 2 =3 （ x 2 -a 2 ） . 故选 C. 4. A 【解析】 y′=2ax ， 于是切线的斜率 k=2a 2 ， ∵ 切 线与直线 2x-y-1=0 平行 ， ∴2a 2 =2 ， 解得 a=±1. 当 a=1 时， y=x 2 的切点为 （ 1 ， 1 ）， 切线的斜率为 2 ， 即切线方 程为 2x-y-1=0 与直线 2x-y-1=0 重合， 故 a=-1. 故选 A. 5. 18 【解析 】 ∵f ′ （ x ） =4x 3 +2ax-b ， ∴ f ′ （ 0 ） =-13 ， f ′ （ -1 ） =-27 7 ， 即 -b=-13 ， -4-2a-b=-27 7 ， 解得 a=5 ， b=13 7 ， ∴a+b=18. 6. 解 ： （ 1 ） f ′ （ x ） = （ 1+sinx ） ′ （ 1-4x ） + （ 1+sinx ）（ 1- 4x ） ′=cosx （ 1-4x ） -4 （ 1+sinx ） =cosx-4xcosx-4-4sinx. （ 2 ） f′ （ x ） = x x+1 3 % ′ - （ 2 x ） ′= 1- 1 x+1 3 % ′ -2 x ln2= 1 （x+1 ） 2 -2 x ln2. 练习手册 效果评价 1 . C 【解析 】 由 f （ x ）=1-x+x 2 可得 f ′ （ x ） =2x-1 ， ∴ f ′ （ 3 ） =2×3-1=5 ， 即函数 y=f （ x ）在 x=3 处的瞬时变化率 为 5. 故选 C. 2. A 【解析】 由题可知， 切点为原点 . 又 f （ x ） =ln （ x+ 1 ）的导函数 f ′ （ x ） = 1 x+1 ， 故 f ′ （ 0 ） = 1 0+1 =1. 故 b a =1圯 c 2 -a 2 a 2 =1圯 c 2 a 2 =2圯e= 2 姨 . 故选 A. 3. B 【解析】 由题意得， f ′ （ x ） =2f ′ （ 2 ） +2x ， ∴ f ′ （ 2 ） =2f ′ （ 2 ） +4 ， 解得 f ′ （ 2 ） =-4 ， ∴ f ′ （ x ） =-8+2x ， ∴ f ′ （ 1 ） = -8+2=-6. 故选 B. 4. A 【解析】 ∵f （ x ）=x 3 -3x 2 +ax-1 ， ∴ f ′ （ x ） =3x 2 -6x+a． 由题意得， 3x 2 -6x+a-1=0 有唯一实根， ∴Δ=36-12 （ a-1 ） = 0 ， 解得 a=4 ， ∴ f ′ （ x ） =3x 2 -6x+4 ， ∴ f ′ （ 1 ） =3-6+4=1． 故 选 A． 5. ABD 【解析 】 根据求导法则 ， C 选项 sinx x 2 3 % ′= x 2 cosx-2xsinx （ x 2 ） 2 = xcosx-2sinx x 3 . 故选 ABD. 6. -6 【解析 】 y′=4x 3 +2ax ， ∵ 曲线在点 （ -1 ， a+2 ） 处切线的斜率为 8 ， ∴y′ x=-1 =-4-2a=8 ， 解得 a=-6. 7. - 19 5 【解析 】 ∵f （ x ）=sinx-cosx ， ∴ f ′ （ x ） =cosx+ sinx ， f ′ （ x ） =2f （ x ）， ∴cosx+sinx=2 （ sinx-cosx ）， ∴tanx=3 ， 55