第5章 数列 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 y= 7aπ 3 r 2 + 2×63 000aπ r 单调递增， ∴ 当 r=30 时， y 取得 最小值 ， 最小值为 7aπ 3 ×30 2 + 2×63 000aπ 30 =6 300aπ ， D 项正确 . 故选 BCD. 13. 解： （ 1 ） 当 x=40 时， 汽车从甲地到乙地行驶 了 100 40 =2.5 （ h ）， 要耗油 1 128 000 ×40 3 - 3 80 ×40+ ! " 8 ×2.5= 17.5 （ L ） . （ 2 ） 当速度为 x km/h 时， 汽车从甲地到乙地行驶了 100 x h ， 设 耗 油 量 为 h （ x ） L ， 依 题 意 得 h （ x ） = 1 128 000 x 3 - 3 80 x+ ! " 8 · 100 x = 1 1 280 x 2 + 800 x - 15 4 （ 0<x≤ 120 ）， h′ （ x ） = x 640 - 800 x 2 = x 3 -80 3 640x 2 （ 0<x≤120 ） . 令 h′ （ x ） = 0 ， 得 x=80 ， 当 x∈ （ 0 ， 80 ） 时， h′ （ x ） <0 ， h （ x ）是减函 数； 当 x∈ （ 80 ， 120 ］ 时， h′ （ x ） >0 ， h （ x ）是增函数 . ∴ 当 x=80 时 ， h （ x ）取 到 极 小 值 h （ 80 ） =11.25. ∵h （ x ）在 （ 0 ， 120 ］ 上只有一个极值， ∴ 它是最小值 . 14. 解： （ 1 ） 过点 D 作 DD′ ⊥AB ， 垂足为 D′ ， 在 Rt△ABC 中 ， ∵AB⊥BC ， ∠BAC = π 6 ， AB=3 ， ∴BC= 3 姨 . 在 Rt△ADD′ 中， ∵AD′=1 ， DD′= 3 姨 ， AD=2 ， ∴sin∠DAD′= 3 姨 2 ， ∴∠DAD′= π 3 . ∵∠BAC= π 6 ， ∴∠DAP= π 6 . 在 △ADP 中， 由正弦定理可得 AD sin兹 = DP sin π 6 ， ∴DP= 1 sin兹 ， π 6 <兹< 5π 6 . （ 2 ） 在 △ADP 中， 由正弦定理可得 AD sin兹 = AP sin∠ADP ， ∴AP= 2sin 5π 6 - ! " 兹 sin兹 ， ∴S △APD = 1 2 AP · PD · sin兹= sin 5 6 π- ! " 兹 sin兹 . 又 S △ADC = 1 2 AD · DC · sin∠ADC= 1 2 ×2×2× 3 姨 2 = 3 姨 ， ∴S △DPC =S △ADC -S △APD = 3 姨 - sin 5 6 π- ! " 兹 sin兹 ， 设三项费用之和 为 f （ 兹 ）， 则 f （ 兹 ） = sin 5 6 π- ! " 兹 sin兹 ×2+ 3 姨 - sin 5 6 π- ! " 兹 sin兹 ! " × 1+ 1 sin兹 ×1= 3 姨 + sin 5 6 π- ! " 兹 sin兹 + 1 sin兹 = 1 2 cos兹+1 sin兹 + 3 3 姨 2 ， π 6 <兹< 5π 6 ， ∴ f ′ （ 兹 ） = - 1 2 -cos兹 sin 2 兹 ， 令 f ′ （ 兹 ） =0 ， 解得 兹= 2π 3 ， 当 兹∈ π 6 ， 2π 3 ! " 时， f ′ （ 兹 ） <0 ， 函数 f （ 兹 ）单调递 减， 当 兹∈ 2π 3 ， 5π 6 ! " 时， f ′ （ 兹 ） >0 ， 函数 f （ 兹 ）单调递增， ∴ f （ 兹 ） min =f 2π 3 ! " =2 3 姨 ， 即三项费用总和的最小值为 2 3 姨 万元 . 第五章章末测试卷 1. D 【解析】 数列 -1 ， 8 5 ， - 15 7 ， 24 9 ， …， 即数列 - 1×3 3 ， 2×4 5 ， - 3×5 7 ， 4×6 9 ， …， 故它的一个通项公式 是 a n = （ -1 ） n · n （ n+2 ） 2n+1 . 故选 D. 2. B 【解析】 a 4 +a 5 =a 1 +3d+a 1 +4d=24 ， S 6 =6a 1 + 6×5 2 d= 48 ， 联立得 2a 1 +7d=24 ， ① 6a 1 +15d=48. . ② ①×3-② 得 （ 21-15 ） d=24 ， 即 6d=24 ， ∴d=4. 故选 B. 3. C 【解析】 当 n=k 时， 不等式左边 = 1 k+1 + 1 k+2 + 1 k+3 + … + 1 2k ； 当 n=k+1 时， 不等式左边 = 1 k+2 + 1 k+3 + 1 k+4 + … + 1 2k + 1 2k+1 + 1 2 （ k+1 ） ， 两式相减 = 1 2k+1 + 1 2k+2 - 1 k+1 . 故选 C. 4. D 【解析 】 设 OD 1 =DC 1 =CB 1 =BA 1 =1 ， 则 CC 1 =k 1 ， BB 1 =k 2 ， AA 1 =k 3 ， 依题意 ， 有 k 3 -0.2=k 1 ， k 3 -0.1=k 2 ， 且 DD 1 +CC 1 +BB 1 +AA 1 OD 1 +DC 1 +CB 1 +BA 1 =0.725 ， ∴ 0.5+3k 3 -0.3 4 =0.725 ， 故 k 3 = 0.9. 故选 D. 5. A 【解析】 由题意， S n ， T n 分别为等差数列 {a n } ， {b n } 的前 n 项和， 且 S n T n = 3n+2 4n+5 ， 不妨取 S n =3n 2 +2n ， T n =4n 2 +5n. 当 n=1 时， a 1 =S 1 =5 ， 当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =6n-1 ， 验证得当 n=1 时上式成立 . 第 14 题答图 78 参 考 答 案 综上， 数列 {a n } 的通项公式为 a n =6n-1. 同理可得， 数列 {b n } 的通项公式为 b n =8n+1 ， 则 a 3 +a 5 b 2 +b 6 = a 4 b 4 = 23 33 . 故选 A. 6. C 【解析】 设第 n 环扇面形石板块数为 a n ， 第一 层共有 n 环， 则 {a n } 是以 9 为首项、 9 为公差的等差数 列， a n =9+ （ n-1 ） ×9=9n. 设 S n 为 {a n } 的前 n 项和， 则第一层、 第二层、 第 三层的块数分别为 S n ， S 2n -S n ， S 3n -S 2n ， ∵ 下层比中层多 729 块， ∴S 3n -S 2n =S 2n -S n +729 ， 即 3n （ 9+27n ） 2 - 2n （ 9+18n ） 2 = 2n （ 9+18n ） 2 - n （ 9+9n ） 2 + 729 ， 即 9n 2 =729 ， 解得 n=9 ， ∴S 3n =S 27 = 27× （ 9+9×27 ） 2 =3 402. 故选 C. 7. B 【解析 】 a n = 1 n+1 姨 + n 姨 = n+1 姨 - n 姨 ， S n = （ 2 姨 -1 ） + （ 3 姨 - 2 姨 ） + … + （ n+1 姨 - n 姨 ） = n+1 姨 -1. 当 1≤n≤2 时 ， ［ n+1 姨 -1 ］ =0 ； 当 3≤n≤7 时 ， ［ n+1 姨 -1 ］ =1 ； 当 8≤n≤14 时， ［ n+1 姨 -1 ］ =2 ； 当 15≤n≤23 时 ， ［ n+1 姨 -1 ］ =3 ； 当 24≤n≤34 时， ［ n+1 姨 -1 ］ =4 ， 当 35≤n≤40 时， ［ n+1 姨 -1 ］ =5. ∴ ［ S 1 ］ + ［ S 2 ］ + … + ［ S 40 ］ =2×0+5×1+7×2+9×3+11×4+6×5= 120. 故选 B. 8. A 【解析】 ∵a ， b 是函数 f （ x ） =x 2 +mx+n （ m<0 ， n> 0 ） 的两个不同的零点， ∴a+b=-m>0 ， ab=n>0 ， 可得 a ， b 都是正数 . 由 Δ=m 2 -4n>0 ， 可得 （ a+b ） 2 -4ab= （ a-b ） 2 >0 ， 不妨假设 a>b>0 ， ∵a ， b ， -1 这三个数可适当排序 后成等差数列， 则 a ， b ， -1 需按从大到小或从小到大排列， b 为 -1 ， a 的等差中项， 即 -1 ， b ， a 或 a ， b ， -1 成 等差数列， ∴a-1=2b. 又 ∵a ， b ， -1 这三个数可适当排序后成等比数列， 则 -1 需为 a ， b 的等比中项， 即 a ， -1 ， b 或 b ， -1 ， a 成等比数列， 即 ab= （ -1 ） 2 =1 ， ∴ 解得 a=2 ， b= 1 2 （舍去负值） . 从而得到 m=- （ a+b ） =- 5 2 ， n=ab=1 ， ∴m+n=- 3 2 . 故选 A. 9. AC 【解析】 等比数列 {a n } 中， 满足 a 1 =1 ， q=2 ， ∴a n =2 n-1 ， ∴a 2n =2 2n-1 ， ∴ 数列 {a 2n } 是等比数列， 故 A 正确； 又 ∵ 1 a n = 1 2 n-1 = 1 2 2 $ n-1 ， ∴ 数列 1 a n n & 是递减数列， 故 B 错误； ∵log 2 a n =log 2 2 n-1 =n-1 ， ∴ {log 2 a n } 是等差数列， 故 C 正确； 数列 {a n } 中， S 10 = 1-2 10 1-2 =2 10 -1 ， S 20 =2 20 -1 ， S 30 =2 30 - 1 ， ∴S 10 ， S 20 ， S 30 不成等比数列， 故 D 错误 . 故选 AC. 10. AD 【解析】 ∵S 6 <S 7 ， ∴S 7 -S 6 =a 7 >0. ∵S 7 >S 8 ， ∴S 8 -S 7 =a 8 <0 ， ∴ 等差数列 {a n } 公差 d=a 8 - a 7 <0 ， ∴ {a n } 是递减数列， a 1 最大， 故 A 正确， B 错误； S 10 -S 3 =a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8 +a 9 +a 10 =7a 7 >0 ， ∴S 3 ≠S 10 ， 故 C 错误； 当 n≥8 时， a n ≤a 8 <0 ， 即 a n <0 ， 故 D 正确 . 故选 AD. 11. ABC 【解析】 设等差数列 {a n } 的公差为 d ， ∵S 2 019 <S 2 021 <S 2 020 ， 可得 S 2 021 -S 2 020 =a 2 021 <0 ， S 2 020 -S 2 019 = a 2 020 >0 ， S 2 021 -S 2 019 =a 2 021 +a 2 020 >0 ， 即 a 2 020 >-a 2 021 >0 ， a 2 020 -d>-a 2 021 -d>0 ， 即 a 2 019 >-a 2 022 > 0 ， ∴a 2 019 a 2 020 >a 2 021 a 2 022 ， d<0 ， 即数列 {a n } 递减， 且 a 1 >0 ， a 2 >0 ， …， a 2 020 >0 ， a 2 021 <0. 又由 b n =a n a n+1 a n+2 ， 可得 1 b n = 1 a n a n+1 a n+2 = 1 2d 1 a n a n+1 - 1 a n+1 a n+2 2 2 ， 则 T n = 1 2d 1 a 1 a 2 - 1 a 2 a 3 + 1 a 2 a 3 - 1 a 3 a 4 + … + 1 a n a n+1 - 1 a n+1 a n+2 2 2 = 1 2d 1 a 1 a 2 - 1 a n+1 a n+2 2 2 ， 由 d <0 ， 要 使 T n 取 最 大 值 ， 则 1 a 1 a 2 - 1 a n+1 a n+2 2 2 取得最小值 . ∴ 1 a n+1 a n+2 >0 ， 而 a 2 a 3 >a 3 a 4 > … >a 2 019 a 2 020 >a 2 021 a 2 022 < a 2 022 a 2 023 < …， ∴ 当 a=2 020 时， 1 a 1 a 2 - 1 a n+1 a n+2 2 2 取得最小值 . 综上可得， 正确的选项为 A ， B ， C. 故选 ABC. 12. 126 【解析】 设等比数列 {a n } 的公比为 q ， ∵a 2 ， a 4 +2 ， a 5 成等差数列， 故 2 （ a 4 +2 ） =a 2 +a 5 . 又 a 1 =2 ， 故 2 （ 2 · 79 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 q 3 +2 ） =2q+2q 4 ， 即 q 4 -2q 3 +q-2=0 ， （ q 3 +1 ）（ q-2 ） =0. ∵q> 0 ， ∴q=2 ， ∴S 6 = 2× （ 1-2 6 ） 1-2 =126. 13. ①③④ 【解析 】 ① 数列 {a n } 满足 a n+1 a n =2n ， 则 a n+2 a n+1 - a n+1 a n =2 （ n+1 ） -2n=2 ， 满足等比差数列的定义， 故 ① 正确； ② 数列 {n · 2 n } ， a n+2 a n+1 - a n+1 a n = （ n+2 ）· 2 n+2 （ n+1 ）· 2 n+1 - （ n+1 ）· 2 n+1 n · 2 n = n ·（ n+2 ）· 2- （ n+1 ） 2 · 2 n ·（ n+1 ） =- 2 n ·（ n+1 ） ， 不满足等比差数列的 定义， 故 ② 错误； ③ 等比数列 a n+2 a n+1 - a n+1 a n =0 ， 满足等比差数列的定义， 故 ③ 正确； ④ 设等差数列的公差为 d ， 则 a n+2 a n+1 - a n+1 a n = a n +2d a n +d - a n +d a n = -d 2 a n （ a n +d ） ， 故当 d=0 时， 满足 a n+2 a n+1 - a n+1 a n =0 ， 故存在等差 数列是等比差数列， 即 ④ 正确 . 14. 7 【解析】 a n+2 + （ -1 ） n a n =3n-1 ， 当 n 为奇数时， a n+2 =a n +3n-1 ； 当 n 为偶数时， a n+2 +a n = 3n-1. 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， S 16 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 + … +a 16 =a 1 +a 3 +a 5 + … +a 15 + （ a 2 +a 4 ） + … + （ a 14 +a 16 ） =a 1 + （ a 1 +2 ） + （ a 1 +10 ） + （ a 1 +24 ） + （ a 1 +44 ） + （ a 1 +70 ） + （ a 1 + 102 ） + （ a 1 +140 ） + （ 5+17+29+41 ） =8a 1 +392+92=8a 1 +484=540 ， ∴a 1 =7. 15. 解： （ 1 ） ∵a n+1 =3a n +2n-1 ， ∴b n+1 =a n+1 +n+1=3a n +2n- 1+n+1=3 （ a n +n ） =3b n . 当 m=-1 时， b 1 =0 ， 故数列 {b n } 不是等比数列； 当 m≠-1 时， b 1 ≠0 ， ∴ b n+1 b n =3 ， 故 {b n } 是首项为 m+ 1 、 公比为 3 的等比数列 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， 当 m=2 时， {b n } 是首项为 3 、 公比 为 3 的等比数列， ∴b n =3 · 3 n-1 =3 n ， ∴a n =b n -n=3 n -n ， ∴ （ -1 ） n a n = （ -3 ） n - （ -1 ） n · n. ∴S 2 022 = （ -3 ） × ［ 1- （ -3 ） 2 022 ］ 1- （ -3 ） - ［（ -1+2 ） + （ -3+4 ） + … + （ -2 021+2 022 ）］ = 3 2 023 -3 4 -1 011= 3 2 023 -4 047 4 . 16. 解： （ 1 ） 设等比数列 {a n } 的公比为 q （ q≠1 ）， 且 S 1 ， S 2 ， 3a 3 成等差数列， ∴ 有 2S 2 =S 1 +3a 3 ， ∴2 （ a 1 +a 2 ） = a 1 +3a 3 ， 即 3q 2 -2q-1=0 ， 且 q≠1 ， 解得 q=- 1 3 . 又 ∵a 4 = 1 81 ， ∴a 1 · - 1 3 3 # 3 = 1 81 ， 即 a 1 =- 1 3 ， ∴a n =a 1 · q n-1 = - 1 3 3 3 n . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知， a n = - 1 3 3 3 n ， 得 b n = -1 3 3 3 n · cos （ nπ ） . ∵cos （ nπ ） = （ -1 ） n ， ∴b n = - 1 3 3 3 n ·（ -1 ） n = 1 3 3 3 n ， 即 nb n =n · 1 3 3 3 n ， ∴T n =1× 1 3 3 3 1 +2× 1 3 3 3 2 +3× 1 3 3 3 3 + … +n× 1 3 3 3 n ， ∴ 1 3 T n =1× 1 3 3 3 2 +2× 1 3 3 3 3 +3× 1 3 3 3 4 + … +n× 1 3 3 3 n+1 ， ①-② 得 2 3 T n = 1 3 3 3 1 + 1 3 3 3 2 + 1 3 3 3 3 + … + 1 3 3 3 n -n× 1 3 3 3 n+1 = 1 3 × 1- 1 3 3 3 n n ' 1- 1 3 -n× 1 3 3 # n+1 = 1 2 - 1 2 × 1 3 3 # n -n× 1 3 3 # n+1 ， ∴T n = 3 4 - 3 4 × 1 3 3 # n - n 2 × 1 3 3 # n = 3 4 - 3+2n 4 · 1 3 3 # n = 3 n+1 -2n-3 4 · 3 n . 17. 解： （ 1 ） 设 {a n } 的公差为 d ， 由已知有 7+21d= 28 ， 解得 d=1. ∴ {a n } 的通项公式为 a n =n. b 1 = ［ lg1 ］ =0 ， b 11 = ［ lg11 ］ =1 ， b 101 = ［ lg101 ］ =2. （ 2 ） ∵b n = 0 ， 1≤n<10 ， 1 ， 10≤n<100 ， 2 ， 100≤n<1 000 ， 3 ， n=1 000 0 + + + + + + * + + + + + + , ， ∴ 数列 {b n } 的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893. 18. （ 1 ） 证明： 由题意得 2S n =na 1 +na n ， 2S n-1 = （ n-1 ） a 1 + （ n-1 ） a n-1 （ n≥2 ） ） ， 两式相减得 （ n-2 ） a n +a 1 = （ n-1 ） a n-1 ， 80 参 考 答 案 从而 （ n-2 ） a n +a 1 = （ n-1 ） a n-1 ， （ n-1 ） a n+1 +a 1 =na n n ， 两式相减得 （ n-1 ） a n+1 + （ n-1 ） a n-1 = （ 2n-2 ） a n . 又 ∵n-1≠0 ， ∴a n+1 +a n-1 =2a n ， ∴ {a n } 为等差数列 . （ 2 ） 解： ∵ 数列 {a n } 首项为 -1 ， 公差为 2 ， ∴a n =-1+ 2 （ n-1 ） =2n-3 ， ∴ 不等式 a n -2 n-1 （ 2λ-λ 2 ） <0 可化为 2λ-λ 2 > 2n-3 2 n-1 . 令 f （ n ） = 2n-3 2 n-1 （ n∈N 鄢 ）， 则 f （ n+1 ） -f （ n ） = 2n-1 2 n - 2n-3 2 n-1 = 5-2n 2 n ， 当 n=1 或 n=2 时， 有 f （ n+1 ） -f （ n ） >0 ， 即 f （ n+1 ） >f （ n ）， ∴ f （ 3 ） >f （ 2 ） >f （ 1 ） . 当 n≥3 时， 有 f （ n+1 ） -f （ n ） <0 ， 即 f （ n+1 ） <f （ n ）， 则 f （ 4 ） >f （ 5 ） >f （ 6 ） > … >f （ n ） > … . 又 ∵ f （ 3 ） = 3 4 ， f （ 4 ） = 5 8 ， ∴ f （ n ） max = 3 4 . ∵ 不等式 2λ-λ 2 > 2n-3 2 n-1 对任意的正整数 n 恒成立， ∴2λ-λ 2 > 3 4 ， 解得 1 2 <λ< 3 2 ， ∴ 实数 λ 的取值范围为 1 2 ， 3 2 2 ' . 19. 解： （ 1 ） 由题意， 得 a 1 =120× （ 1+25% ） -s=150-s ， a n+1 =a n （ 1+25% ） -s= 5 4 a n -s. ① （ 2 ） 将 a n+1 -k=r （ a n -k ） 化成 a n+1 =ra n +k-rk ， ② 比较 ①② 的系数， 得 r= 5 4 ， k-rk=-s s * * * ) * * * + ， 解得 r= 5 4 ， k=4s s * * * ) * * * + . ∴ 递推公式为 a n+1 -4s= 5 4 （ a n -4s ） . （ 3 ） a 1 -4s=150-5s ， 且 s∈ （ 10 ， 30 ）， ∴a 1 -4s≠0 ， ∴ 由 （ 2 ） 可知 a n+1 -4s a n -4s = 5 4 ， 即数列 {a n -4s} 是以 150-5s 为首项、 5 4 为公比的等 比数列， 其通项公式为 a n -4s= （ 150-5s ）· 5 4 4 ' n-1 ， ∴a n =4s+ （ 150-5s ）· 5 4 4 ' n-1 . 2030 年底的森林蓄积量为数列 {a n } 的第 10 项， a 10 =4s+ （ 150-5s ）· 5 4 4 ' 9 . 由题意， 森林蓄积量到 2030 年底要达到翻两番的目 标， ∴a 10 ≥4×120 ， 即 4s+ （ 150-5s ）· 5 4 4 ' 9 ≥480 ， 即 4s+ （ 150-5s ） ×7.45=4s+1 117.5-37.25s≥480 ， 解得 s≤19.17. ∴ 每年的砍伐量最大为 19 万立方米 . 第六章章末测试卷 1. C 【解析】 函数的导数 f ′ （ x ） =-x+ b x+2 ， 要使函数 在 （ -1 ， +∞ ） 上是减函数， 则 f ′ （ x ） =-x+ b x+2 ≤0 ， 在 （ -1 ， +∞ ） 恒成立， 即 b x+2 ≤x ， ∵x>-1 ， ∴x+2>1>0 ， 即 b≤x （ x+2 ） 成立 . 设 y=x （ x+2 ）， 则 y=x 2 +2x= （ x+1 ） 2 -1 ， ∵ x>-1 ， ∴y>-1 ， ∴ 要使 b≤x （ x+2 ） 成立， 则有 b≤-1. 故 选 C. 2. A 【解析】 导数 y′=3-3x 2 ， 则切线斜率 k=3-3×2 2 = -9 ， ∴ 切线方程为 y- （ -2 ） =-9 （ x-2 ）， 即切线为 y=-9x+16. 故选 A. 3. D 【解析】 令 f （ x ） = x lnx （ x≥e ）， 则 f ′ （ x ） = lnx-1 ln 2 x ， ∵x>e ， ∴ f ′ （ x ） >0 ， ∴ f （ x ） = x lnx 为 ［ e ， +∞ ） 上的单调增 函数 . 又 a=f （ 4 ）， b=f （ 3 ）， c=f （ e ）， ∵e<3<4 ， 故 a>b>c. 故选 D. 4. A 【解析】 二次函数 f （ x ）的导函数为一次函数， 三次函数的导函数 g （ x ）为二次函数 . ∵ 一次函数过点 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， 1 ）， ∴ f ′ （ x ） =x ， ∴ f （ x ） = 1 2 x 2 +C. ∵ 二次函 数过点 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， 1 ）， （ -1 ， -1 ）， ∴g′ （ x ） =x 2 ， ∴g （ x ） = 1 3 x 3 +C 1 . ∴h （ x ） =f （ x ） -g （ x ） = 1 2 x 2 +C- 1 3 x 3 -C 1 ， 记 m=C- C 1 为常数， 则 h （ -1 ） = 5 6 +m ， h （ 0 ） =m ， h （ 1 ） = 1 6 +m ， ∴h （ 0 ） < h （ 1 ） <h （ -1 ） . 故选 A. 5. D 【解析 】 由 e x -asinx=0 ， 得 asinx=e x . ∵0∈ （ 0 ， π ）， ∴sinx>0. 因此 a= e x sinx . 令 g （ x ） = e x sinx ， 0<x<π ， 则 g′ （ x ） = e x （ sinx-cosx ） sin 2 x . 由 g′ （ x ） =0 得 x= π 4 . 当 0<x< π 4 时， g′ （ x ） <0 ； 当 π 4 <x<π 时 ， g′ （ x ） >0. ∴g （ x ） min =g π 4 4 ' = 2 姨 e π 4 ， 因此 a= 2 姨 e π 4 . 故选 D. 81 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 数列 -1 ， 8 5 ， - 15 7 ， 24 9 ， …的一个通 项公式是 （ ） A. a n = （ -1 ） n · n 2 +n 2n+1 B. a n = （ -1 ） n · n 2 +3 2n-1 C. a n = （ -1 ） n · （ n+1 ） 2 -1 2n-1 D. a n = （ -1 ） n · n （ n+2 ） 2n+1 2. 记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， 若 a 4 +a 5 =24 ， S 6 =48 ， 则 {a n } 的公差为 （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. 用数学归纳法证明不等式 1 n+1 + 1 n+2 + 1 n+3 + … + 1 2n < 4 5 - 1 2n+1 （ n≥2 ， n∈N + ） 的 过程中由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边应 添加的项为 （ ） A. 1 2k+2 B. 1 2k+1 + 1 2k+2 C. 1 2k+1 + 1 2k+2 - 1 k+1 D. 1 2k+1 + 1 2k+2 - 1 k+1 - 1 k+2 4. 图 1 是中国古代建筑中的举架结构， AA′ ， BB′ ， CC′ ， DD′ 是桁， 相邻桁的水平 距离称为步， 垂直距离称为举， 图 2 是某古 代建筑屋顶截面的示意图 . 其中 DD 1 ， CC 1 ， BB 1 ， AA 1 是举， OD 1 ， DC 1 ， CB 1 ， BA 1 是相 等的步， 相邻桁的举步之比分别为 DD 1 OD 1 =0.5 ， CC 1 DC 1 =k ， BB 1 CB 1 =k 2 ， AA 1 BA 1 =k 3 . 已知 k 1 ， k 2 ， k 3 成公差为 0.1 的等差数列， 且直线 OA 的斜 率为 0.725 ， 则 k 3 = （ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 5. 设 S n ， T n 分别为等差数列 {a n } ， {b n } 的前 n 项和， 且 S n T n = 3n+2 4n+5 ， 则 a 3 +a 5 b 2 +b 6 = （ ） A. 23 33 B. 26 37 C. 11 17 D. 2 3 6. 北京天坛的圜 丘坛为古代祭天的场 所 ， 分上 、 中 、 下三 层 ， 上层中心有一块 圆形石板 （称为天心 第五章章末测试卷 （时间： 120 分钟 满分： 150 分） 第五章章末测试卷 第 4 题图 图 2 图 1 第 6 题图 1 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 石）， 环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第 一环， 向外每环依次增加 9 块， 下一层的第 一环比上一层的最后一环多 9 块， 向外每环 依次也增加 9 块， 已知每层环数相同， 且下 层比中层多 729 块， 则三层共有扇面形石板 的块数为 （不含天心石） （ ） A. 3 699 B. 3 474 C. 3 402 D. 3 339 7. 对于实数 x ， ［ x ］ 表示不超过 x 的最 大整数 . 数列 { a n } 的通项公式满足 a n = 2 n+1 姨 + n 姨 ， 前 n 项和为 S n ， 则 ［ S 1 ］ + ［ S 2 ］ + … + ［ S 40 ］ = （ ） A. 105 B. 120 C. 125 D. 130 8. 若 a ， b 是函数 f （ x ） =x 2 +mx+n （ m<0 ， n>0 ） 的两个不同的零点， 且 a ， b ， -1 这三 个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排 序后成等比数列， 则 m+n= （ ） A. - 3 2 B. -1 C. 1 2 D. ７ 2 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多 项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 已知等比数列 {a n } 中 ， 满足 a 1 =1 ， q=2 ， S n 是 {a n } 的前 n 项和， 则下列说法正 确的是 （ ） A. 数列 {a 2n } 是等比数列 B. 数列 1 a n n # 是递增数列 C. 数列 {log 2 a n } 是等差数列 D. 数列 {a n } 中， S 10 ， S 20 ， S 30 仍成等比 数列 10. 已知无穷等差数列 {a n } 的前 n 项和 为 S n ， S 6 <S 7 ， 且 S 7 >S 8 ， 则 （ ） A. 在数列 {a n } 中， a 1 最大 B. 在数列 {a n } 中， a 3 或 a 4 最大 C. S 3 =S 10 D. 当 n≥8 时， a n <0 11. 已知 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项 和 ， S 2 019 <S 2 021 <S 2 020 ， 设 b n =a n a n+1 a n+2 ， 数列 1 b n n & 的前 n 项和为 T n ， 则下列结论中正确的 有 （ ） A. a 2 020 >0 B. a 2 021 <0 C. a 2 019 · a 2 020 >a 2 021 · a 2 022 D. 当 n=2 019 时， T n 取得最大值 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中， a 1 =2 ， 且 a 2 ， a 4 +2 ， a 5 成等差数列， 记 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和， 则 S 6 = . 13. 如果数列 {a n } 满足 a n+2 a n+1 - a n+1 a n =k （ k 为常数）， 那么数列 {a n } 称为等比差数列， k 称为公比差 . 给出下列四个结论： ① 若数 列 {a n } 满足 a n+1 a n =2n ， 则该数列是等比差数 列； ② 数列 {n · 2 n } 是等比差数列； ③ 所有 的等比数列都是等比差数列； ④ 存在等差数 列是等比差数列 . 其中所有正确结论的序号 是 . 14. 数列 {a n } 满足 a n+2 + （ -1 ） n a n =3n-1 ， 前 16 项和为 540 ， 则 a 1 = . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 已知数列 {a n } 中， a 1 =m ， 2 且 a n+1 =3a n +2n-1 ， b n =a n +n （ n∈N 鄢 ） . （ 1 ） 判断数列 {b n } 是否为等比数列 ， 并说明理由； （ 2 ） 当 m=2 时， 求数列 { （ -1 ） n a n } 的前 2 022 项的和 S 2 022 . 16. （ 15 分） 已知公比不为 1 的等比数 列 {a n } ， 其前 n 项和为 S n ， a 4 = 1 81 ， 且 S 1 ， S 2 ， 3a 3 成等差数列 . （ 1 ） 求数列 {a n } 的通项公式； （ 2 ） 若 b n =a n · cos （ nπ ）， 求数列 {nb n } 的 前 n 项和 . 17. （ 15 分） S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和 ， 且 a 1 =1 ， S 7 =28. 记 b n = ［ lga n ］， 其中 ［ x ］ 表示不超过 x 的最大整数， 如 ［ 0.9 ］ =0 ， ［ lg99 ］ =1. （ 1 ） 求 b 1 ， b 11 ， b 101 ； （ 2 ） 求数列 {b n } 的前 1 000 项和 . 18. （ 17 分） 已知数列 {a n } 的前 n 项和 为 S n ， 首项为 a 1 ， 且 2S n n -a n =a 1 . （ 1 ） 证明： {a n } 为等差数列； （ 2 ） 若数列 {a n } 的首项为 -1 ， 公差为 2 ， 且不等式 a n -2 n-1 （ 2λ-λ 2 ） <0 对任意的正整 数 n 恒成立， 求实数 λ 的取值范围 . 第五章章末测试卷 3 高中数学选择性必修 第三册 （人教 B 版） 精编版 19. （ 17 分） 森林资源是全人类共有的 宝贵财富， 其在改善环境、 保护生态可持续 发展方面发挥着重要的作用 . 为了实现到 2030 年， 我国森林蓄积量将比 2005 年增加 60 亿立方米这一目标， 某地林业管理部门 着手制订本地的森林蓄积量规划 . 经统计， 本地 2020 年底的森林蓄积量为 120 万立方 米， 森林每年以 25% 的增长率自然生长， 而 为了保证森林通风和发展经济的需要， 每年 冬天都要砍伐掉 s 万立方米 （ 10<s<30 ） 的 森林 . 设 a n 为自 2021 年开始， 第 n 年末的森 林蓄积量 （单位： 万立方米） . （ 1 ） 请写出一个递推公式， 表示 a n+1 ， a n 两者间的关系 . （ 2 ） 将 （ 1 ） 中的递推公式表示成 a n+1 - k=r （ a n -k ） 的形式， 其中 r ， k 为常数 . （ 3 ） 为了实现本地森林蓄积量到 2030 年底翻两番的目标， 每年的砍伐量 s 最大为 多少万立方米？ （精确到 1 万立方米） 参考数据： 5 4 ! " 8 ≈5.96 ， 5 4 ! " 9 ≈7.45 ， 5 4 ! " 10 ≈9.31. 4