第5章 数列(考案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

书 ▲ １８１ ▲ ▲ １８２ ▲ 考 案 （一） 第五章　 数列 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考试时间：１２０分钟满分：１５０分 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） １．已知数列２，３，槡１４，槡１９，槡２ ６，…，则１２是它的 （Ｂ ） Ａ．第２８项　 　 　 　 　 　 　Ｂ．第２９项 Ｃ．第３０项 Ｄ．第３１项 ２．等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓ３ ＝ ６，ａ３ ＝ ０，则公差ｄ等于 （Ｄ ） Ａ． ２ Ｂ． １ Ｃ． －１ Ｄ． －２ ３．在单调递减的等比数列｛ａｎ｝中，若ａ３ ＝ １，ａ２ ＋ ａ４ ＝ ５２，则ａ１ ＝ （Ｂ ） Ａ． ２　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ４ Ｃ．槡２ Ｄ． ２槡２ ４．公差不为零的等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．若ａ４是ａ３与ａ７的等比中项，Ｓ８ ＝ ３２，则Ｓ１０等于 （Ｃ ） Ａ． １８ Ｂ． ２４ Ｃ． ６０ Ｄ． ９０ ５．等比数列｛ａｎ｝满足ａ２ ＋ ８ａ５ ＝ ０，设Ｓｎ是数列１ａ{ }ｎ 的前ｎ项和，则 Ｓ５ Ｓ２ ＝ （Ａ ） Ａ． －１１ Ｂ． －８ Ｃ． ５ Ｄ． １１ ６．如图，已知△ＡＢＣ的面积为４，连接△ＡＢＣ三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点 构成第三个三角形，依此类推，第２ ０２２个三角形的面积为 （Ｄ ） Ａ． １ ４２ ０１７ Ｂ． １ ４２ ０１８ Ｃ． １ ４２ ０１９ Ｄ． １ ４２ ０２０ ７．（２０２３·天津）已知ａ{ }ｎ 为等比数列，Ｓｎ为数列ａ{ }ｎ 的前ｎ项和，ａｎ ＋ １ ＝ ２Ｓｎ ＋２，则ａ４的值为 （Ｃ ） Ａ． ３ Ｂ． １８ Ｃ． ５４ Ｄ． １５２ ８．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝２ｎ ＋ １ － ２，则ａ２１ ＋ ａ２２ ＋…＋ ａ２ｎ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４（２ｎ －１）２ Ｂ． ４（２ｎ － １ ＋ １）２ Ｃ． ４（４ ｎ －１） ３ Ｄ． ４（４ｎ － １ ＋ ２） ３ 二、多项选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题 目要求的，全部选对的得５分，选对但不全的得２分，有选错的得０分） ９．已知数列｛ａｎ｝是等差数列，若ａ１ ＝ ３，ａ２，ａ５ － ３，ａ６ ＋ ６成等比数列，则数列｛ａｎ｝的公差为 （Ｂ ） Ａ． －３ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ． － ９１１ １０．等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和记为Ｓｎ，若ａ１ ＞ ０，Ｓ１０ ＝ Ｓ２０，则 （Ａ ） Ａ． ｄ ＜０ Ｂ． ａ１６ ＜ ０ Ｃ． Ｓｎ≤Ｓ１５ Ｄ．当且仅当Ｓｎ ＜０时，ｎ≥３２ １１．若数列ａｎ对任意ｎ≥２（ｎ∈Ｎ）满足（ａｎ － ａｎ － １ － ２）（ａｎ － ２ａｎ － １）＝ ０，下面选项中关于数列｛ａｎ｝的命题正 确的是 （Ａ ） Ａ．｛ａｎ｝可以是等差数列 Ｂ．｛ａｎ｝可以是等比数列 Ｃ．｛ａｎ｝可以既是等差数列又是等比数列 Ｄ．｛ａｎ｝可以既不是等差数列又不是等比数列 １２．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：１，１，２，３，５，…，其中从第三项 起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列｛ａｎ｝称为“斐波那契数列”，记 Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，则下列结论正确的是 （Ａ ） Ａ． ａ６ ＝ ８ Ｂ． Ｓ７ ＝ ３４ Ｃ． ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋…＋ ａ２ ０１９ ＝ ａ２ ０２０ Ｄ． ａ ２ １ ＋ ａ ２ ２ ＋ ａ ２ ３ ＋…＋ ａ２２ ０１９ ａ２ ０１９ ＝ ａ２ ０２０ 三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分） １３．公差为２的等差数列｛ａｎ｝中，ａ１，ａ３，ａ６成等比数列，则｛ａｎ｝的前１０项和为　 　 　 　 ． １４．在等比数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ表示前ｎ项和，若ａ３ ＝ ２Ｓ２ ＋ １，ａ４ ＝ ２Ｓ３ ＋ １，则公比ｑ等于　 　 　 　 ． １５．数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝为等差数列，前ｎ项和分别为Ｓｎ，Ｔｎ，若ＳｎＴｎ ＝ ３ｎ ＋２ ２ｎ ，则 ａ７ ｂ７ ＝ 　 　 　 　 　 ． １６．（２０２３·北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量 的“环权”．已知９枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为９的数列ａ{ }ｎ ，该数列的前３项成等差 数列，后７项成等比数列，且ａ１ ＝１，ａ５ ＝１２，ａ９ ＝１９２，则ａ７ ＝ 　 　 　 　 ，数列ａ{ }ｎ 的所有项的和为　 　 　 　 ． 四、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分１０分）（２０２２·甲卷（文））记Ｓｎ为数列ａ{ }ｎ 的前ｎ项和．已知２Ｓｎｎ ＋ ｎ ＝２ａｎ ＋１． （１）证明：ａ{ }ｎ 是等差数列； （２）若ａ４，ａ７，ａ９成等比数列，求Ｓｎ的最小值                                                                      ． ▲ １８３ ▲ ▲ １８４ ▲ １８．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋１，ｎ为奇数， ａｎ ＋２，ｎ为偶数{ ． （１）记ｂｎ ＝ ａ２ｎ，写出ｂ１，ｂ２，并求数列｛ｂｎ｝的通项公式； （２）求｛ａｎ｝的前２０项和． １９．（本小题满分１２分）某企业投资１千万元于一个高科技项目，每年可获利２５％ ．由于企业间竞争激烈，每 年年底需要从利润中取出资金１００万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设 经过ｎ年后该项目的资金为ａｎ万元． （１）写出数列｛ａｎ｝的前三项ａ１，ａ２，ａ３，并猜想写出通项ａｎ（不要求证明）； （２）求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过２千万元． ２０．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且满足ａ１ ＝ ３，２Ｓｎ ＋３ ＝ ａｎ ＋ １ ． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）若等差数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，且Ｔ１ ＝ ａ１，Ｔ３ ＝ ａ３，求数列 １ｂｎｂｎ{ }＋ １ 的前ｎ项和Ｑｎ． ２１．（本小题满分１２分）（２０２３·新高考Ⅰ）设等差数列ａ{ }ｎ 的公差为ｄ，且ｄ ＞１．令ｂｎ ＝ ｎ ２ ＋ ｎ ａｎ ，记Ｓｎ，Ｔｎ分别 为数列ａ{ }ｎ ，ｂ{ }ｎ 的前ｎ项和． （１）若３ａ２ ＝ ３ａ１ ＋ ａ３，Ｓ３ ＋ Ｔ３ ＝ ２１，求ａ{ }ｎ 的通项公式； （２）若ｂ{ }ｎ 为等差数列，且Ｓ９９ － Ｔ９９ ＝ ９９，求ｄ． ２２．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝满足：ａ１ ＝ １４，ａｎ ＋ ｂｎ ＝１，ｂｎ ＋ １ ＝ ｂｎ １ － ａ２ｎ ． （１）求ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４； （２）猜想数列｛ｂｎ｝的通项公式，并用数学归纳法证明； （３）若Ｓｎ ＝ ａ１ａ２ ＋ ａ２ａ３ ＋ ａ３ａ４ ＋…＋ ａｎａｎ ＋ １，且４ａＳｎ ＜ ｂｎ对于ｎ∈Ｎ恒成立，求实数ａ的取值范围                                                                      ． 选B. 新 选林&·第三语阳 基然不是量数列.C皆,故选A阳 考案部分 把换成n+1.2+1n+1-2(n+l 7.C 因为1为等比数列.=2+2. 12.ACD对于A=t可得x.=8.A正 参考答案 习、究、、调冒一等 -2+2-2a+2-25+2-2(+ +1.②②-①可:=2(n+11- 对干B.由a.=a+.可得a.=13. 2m.-. .2.2-6046. .8-1+1+2+3+5+8+13-33.B不正确: 考案[一) 整得:-:-.+1. 由等比数列的性质可得,a.&·叫 对于C由a,-=-” 1.B 将数列交为4141024因为1 “,可得..★..-.”” 山等差数延定义知)为等差数列 (+2-(6+6). -144.所以是数列的第20项 1.故C正确: (2)由已短有”.,设等差数残a.的首项 所以-2或a“-1(含). 3x(a.4a)3x(u,40) 对子D.变波那契数列总有o“a.a 为1.由(1)短其公差为1. .6.所 2.D 因为8. 所以.=6.0=3. 2 1 (-)(- 故(x+6)=(x+3)(+8),解得x=-12.故 则.---2x3-54. .=4.所2--4d--2 .-12. 故选C 1--} 3.B 由已知哥:--1A-. 所以--12-(-1)x1-n-13 $C当n-1时-n>1时-2-2 o-t 敬可得:-.0A-0 -(2-2)-2. --1-0. _=(--)n-r -。-)} 故8.在a=1或着13时取最小笔,5=8 一-41的首项-4.-4. .+.+,故D正确 1 .-120)x13-78. (含). .-4x(1-4-)44-1故选C 13.170题意(a..4)-a.10). △.-4. 1-4 得-8.所以s.-8x10.10x9x2-17. 故8.的最小值为-78 4.C 由aa,得a.+3)=(.+2)(·9. BB题意设等差数列a{的公差为a. 2 1.(1)由题设可提b=.1=2.b.=&.=+ 6. 因为-3a,.-3.n..6成等比数到. 14.3 在等比数列la.中. 即2+3-0. 1-.241-5 所以(-3)-a.x(.-6. 因为u-28+1-25.+1. 又5.-8a.5-32.期274-8.② V-+1+2.(N) 即3+4-37=(3.(3-5+6 所以-.=25.+1-(28.+1) 故:=+3.即b=3.即b--3 所以11-24-27-0. -2(5.-5.)-20. ①.得-2a--3 所以b1为等差数列,故$=2(n-1)x3-3 即1149)(-3-0. 所以。=Jn以---3. 听以8=10a+0-60.故选C. -1 以d=3或- ta.4n)13 $2设1a.的前20项和为3.则8=.+. 5.A 由.+80.=0得+8.=0.解得 s41 s.. -易知]是等比数列,公比为-2.首项为 即a。+-0.也即2.+2-0(a为公差).因为 因为--1--1-1. 1.-(-] a0.官ao.所以oS.S所以A.B.C 所8-2(......-10 16.48 38数到的后7项成等比数到0 正确8-n)$.-(2-1. (10.2,810)10-30 =2(A+++b+)-10=2x -1-1-2) $=15(a+)=0.$.=3l.0.所以D不 =.=1×192=48 1-(-2)) -=3. 1} 正确 __.1.所以-11.故选A. 19.(1)题意-10×-100-1150. 1(-2) 11ABD a--2)(-23=0.所l 1.-.-2-0或a-2-0. t.2 --100- 10%()-100%(1-) 6.D 观察图形可知后一个三角形的面积是前一个 三角形面的. 即a-.-2成.-2 .-3x2-6. 若对x2.都有a-,=2.则l为以a.为 1337.5. 又该教到的前3项等卷数别 设第x个三角形的面积为a..则数列(a.1是首项 首项2为公差的等差数廷,A对: =×-100=10×()-100× 若对x2都有.2则.1为a为首 为a.-4.公比为-的等比数列。 二.数列tu.)的所有项的和为 6x(2-1)3x(143)378-384. 项2为公比的等比数列,对;若对Vn2部分 [1) 所以。-4x(-(),所以第21022个三 足=2部分满是-&=2.北时1 2-1r 2 角形的面积 既不是等比数列,也不是等差数列,D对 裁答案为48:384. -1571.875. 普想-10x()-100x 既是等比数列文是等差数列只有数列.面a.17.(1)证明;由已知有;25+×=2w.+x-①. t4 1 [1.) 1。 133.y'-----nin.(n. 2)时.-xsinx0,丽数yxox-sinx在 (n.2r)上调逐增 :2-71+3-0.41. .得-3.=1-3. 4. D/')-k-函数/r)-r-hna在区间 400. --n-l)d-nV: (1.+×)单调增f(3》0在区间(1+) (2)5n.为等差数列,t&.1为等差数列烈,且占 (2)由=2 000,得600 51+400=2 0. _* 上成立. △面y-一在区间(1×)上单词减。 数5.=0....-+. .数据等差数列的通项公式的括点,可设a.三. 11. , -45'5×6.+3)(44)-1--.14 -y-()在(-×,*)上调增。() 2.的取范是1.+x).故选D 期-“1n-1>11 5.B(2-(-1)-2-1-21 “.8--_ (r-1) -1=(-1) 。().=. 段-(n+1),则--且d-k1. f-0.得-0-2 -(-1n+(3-6w-8 ①当.-n6。*1f-11时。 答:经过5年后,该项日的资金超过2千万元 (n+3)(a+4) xc(-×0)xC(2..x)时7(t)>0 20.(1)当x=1时.A.-9. 若4a5.c.对于xeN恒战立 (0.1):(12)时(()c0.故选B. 第1-09.(210)0 8.3-得28.3-(2). 6.C题意,函数,-hn的定又域为(-*.0) 2 两式相减得2(5-s.)-..-. 则只满足(-1)+(3-6*-8<0福成立 可。 9. (--)n--fx). (0.+x). 文8-所以=3()X . so-51.1: s0r1-51-0.又4-151. 3a. 当=1时.-3n-8<0恒成立,满足题意: - 当1时,然不可能成立; 所=3(e'). 当l时.设a)=(a-1)-3a-6)n-$ 所以涵数8x)为奇函数,排除A.B; 是然a.0.-3.即数列1是首项为3.公 当:o时,函数y-21n则y211-hn 比为3的等比数列,所以a.-3×3.3”. ②当-(n1A-是.-h1时。 -) 则8-1(20)(). 当<x。时0涵数调逸,::时 (2)没数列A.1的公差为4.则有b=3. <0.涵数单调递减,排D 由7-a.得3+3-27.幅得4-6. 又--)(0.故)在1.*)单词 7.B 2l-+a-:>)成立,即2 所-3.6-1)-3(-1. 902n-1)(2+1) :此时无解. 通减. 故-)1)-(a-1)+(3-6)-8-4- -) o0).)-.2:-3xe(0.1).v'(o) 150. 得。 。. , 22.(1).-1-4.(1+).(2-) 所-1-)1号)· 0.数()调遇减:当×(1.+)时 '(x]0数v)单词,所以(x= 又ac1.故当a1时满足题意 1211 =2- (-A. 灯1)-4所以a一4的取值因是 N成立 上所述,当a(-×,1]时,4a5.对于n& 为-以--.- -1--01) 8.B ]-3+. 考案(二) (2)出(1)想“ 若画数凡)-”+a.2存在3个零点. 21.(13-3++T-21 1.: 则/(x)3”+a=D.有两个不同韵根,且极大伯 .根据翻可得 ①当n-1时,-,然成立: 2. D 设切点标为(s,5.3.易知y'-4r则有4。” 大于幅小值小于B. 3(.+-3+2 1△ 即到别式A-0-12a>0.得ac0. 1-2 12 ②段设当-h(sN.)时成立,即5.-.则 4.解得1-1.所以】2.故境线1的方程为1-2 -4-1.甲4--2-0 19 20