精品解析：浙江省温州市鹿城区温州人文高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-1温州人文高级中学高二年级9月月考 数学学科试题卷 命题人：孙超逸 审题人：潘超凡 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、单选题：本题共8小题每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式方程中两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上可得或. 故选：D 2. 已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，即点A到两定点的距离之和为定值，所以为椭圆；又，所以轨迹方程为． 考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的性质． 3. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 4. 已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的正切函数关系，根据斜率取值来确定角的范围即可. 【详解】当时，可知直线，故倾斜角， 当时，由直线方程可知斜率， 所以，即倾斜角， 综上可知：， 故选：C. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系逐一判断即可. 【详解】对于A：由，，，可知、可能平行或相交，A错误； 对于B：由，，，则由线面平行的性质定理得，B正确； 对于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C错误； 对于D：由，，可知或，D错误． 故选：B 6. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可 【详解】因为圆柱的高为，底面直径，底面直径，且两圆台的高都为， 所以该瓷器的容积为 ， 故选：B 7. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上的任意一点，构造直线，过点p作，将转化为点p到直线的距离和到原点的距离的比，即，然后利用数形结合法求得的范围求解. 【详解】如图所示： 设为圆上的任意一点， 则点P到直线的距离为， 点P到原点的距离为， 所以， 设圆与直线相切 则圆心到直线的距离：，解得， 所以的最小值为，最大值为， 所以， 即 故最大值为， 故选：B 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，结合条件可得，结合椭圆定义求出，在，中，分别由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中a的值为0.015 B. 样本的第25百分位数约为217 C. 样本平均数约为198.4 D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可. 【详解】对A，， 所以，故A正确； 对B设样本的第25百分位数约为，， 则 ， 所以，故B错误； 对C，样本平均数为：， 故C正确； 对D，用电量落在内的户数为： ，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为，且，则为锐角 B. 直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由直线的倾斜角、斜率的定义，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】解：对于A，因为，且，则为锐角，故A正确； 对于B，虽然直线的斜率为，但只有时，才是此直线的倾斜角，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥体积不变 【答案】AD 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用坐标表示条件中的垂直关系，即可判断选项ABC；利用等体积转化，即可判断D. 详解】如图，建立空间直角坐标系，，，设，，且， ，，，得， ，所以，故，故A正确； ，，， 所以与不垂直，则不垂直与平面，故B错误； ，，， 所以时，的最大值为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知.则边的实际长度是________. 【答案】 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】 如图，将直观图化成平面图中，，， 所以 故答案为：. 13. 一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________． 【答案】45.5 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解即可. 【详解】这组数据从小到大排列为：38，41，42，43，44，45，46，47， 由于，所以第75百分位数是：. 故答案为： 14. 已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为__________；如果直线与相交于点，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题. 【详解】设为中点，则，点的轨迹方程为， ，则最大值为， 由直线，， 可得且过定点过定点， 点的轨迹是以为直径端点的圆，其方程为， ， ，， ， 的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况； （2）分内切和外切，结合公式，列式求值. 【小问1详解】 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 则，解得，所以直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 圆的方程可化为. 若圆与圆C外切，则，解得. 若圆与圆C内切，则，解得. 综上，或. 16. 在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面平面AEF； （2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求二面角余弦值. 【小问1详解】 为长方体 平面 平面∴ 又，且，平面， 平面 平面AEF 平面平面 【小问2详解】 依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为．则，即 令，则．． 设平面法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 17. 自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏，在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下． 组别 分组 频数 频率 第1组 4 0.08 第2组 第3组 20 第4组 0.32 第5组 4 0.08 合计 50 1.00 （1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数； （2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差． 【答案】（1），，， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用频率与频数的关系、频率分布直方图纵坐标的含义、平均数的计算公式即可求解； （2）由平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由表可知，第4组的频数为， 所以，， 第2组的频率为，则， 所以前50天内每天接待的顾客人数的平均数为： . 【小问2详解】 设前50天接待的顾客人数分别为，，…，， 后50天接待的顾客人数分别为，，…，， 则由（1）知前50天的平均数为，方差， 后50天的平均数为，方差， 故这100天的平均数为， 所以 ， 同理可得， 所以这100天的方差为， 由以上三个式子可得，， . 18. 甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. （1）比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； （2）求比赛进行5局后结束，且甲获得最终胜利的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可； （2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为： 甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙. 设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立， 设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则， 则， 所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为. 【小问2详解】 设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，， 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则 ， ， ， ， ， ， 所以. 所以，比赛进行5局后结束，且甲获得最终胜利的概率为 . 19. 如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， ． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，由且 ，知，即可求出椭圆的标准方程； （2）直线的方程为，与椭圆联立求出，求出点到直线的距离为，，联立直线与椭圆方程结合弦长公式求出，求出四边形的面积，整理化简利用二次函数求出最值. 【详解】（1）为椭圆上一点， 又 ，可得，，即 所以椭圆的标准方程是. （2）由（1）知，，直线的方程为， 联立 ，整理得：， 解得：， 设点，到直线的距离为和， 则，， 直线与椭圆相交于两点， 联立，整理得：，解得：. . 设四边形面积为，则. 设，则， 当，即，即时，四边形面积有最大值. 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-1温州人文高级中学高二年级9月月考 数学学科试题卷 命题人：孙超逸 审题人：潘超凡 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、单选题：本题共8小题每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 2. 已知周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是 A. B. C. D. 3. 已知随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 4. 已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C 若，，，，则 D. 若，，则 6. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中a的值为0.015 B. 样本的第25百分位数约为217 C. 样本平均数约为198.4 D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为，且，则为锐角 B. 直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 11. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥体积不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知.则边的实际长度是________. 13. 一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________． 14. 已知线段是圆上一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为__________；如果直线与相交于点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 16. 在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面平面AEF； （2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏，在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下． 组别 分组 频数 频率 第1组 4 0.08 第2组 第3组 20 第4组 0.32 第5组 4 0.08 合计 50 1.00 （1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数； （2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差． 18. 甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. （1）比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； （2）求比赛进行5局后结束，且甲获得最终胜利的概率. 19. 如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， ． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $