精品解析：甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

2024~2025学年度第一学期第一次月考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第1章~第2章2.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的知识求得正确答案. 【详解】由等差数列的通项公式知． 故选：A 2. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两点求斜率列式求参即可. 【详解】因为点， 所以斜率 可得. 故选：C. 3. 等比数列,…的第四项等于(     ) A. -24 B. 0 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】由x，3x+3，6x+6成等比数列得 选A. 考点：该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力. 4. 已知直线的倾斜角分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系得到，从而结合倾斜角的范围判断与的大小，由此得解. 【详解】因为直线的倾斜角分别为， 所以， 又，所以为钝角，为锐角，则． 故选：A． 5. 已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和等比中项的应用，结合题意建立方程组，解之即可求解. 【详解】设递增的等比数列的首项为，公比为， 由前3项的和为13，得， 由前3项的积为27，得，即，则， 代入，得， 即，解得或， 因为为递增的等比数列，所以，则. 故选：A. 6. 已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则数列的公比（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质求出，再由等差中项的性质求出，从而求出公比. 【详解】等比数列中，又，所以，显然， 所以，又与的等差中项为，所以，即， 所以，则，所以. 故选：A 7. 已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可. 【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴， ∵直线的倾斜角为，∴斜率为， ∴的方程为，即. 故选：B． 8. 《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（ ） A. 170里 B. 180里 C. 185里 D. 176里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可知此马每天走的路程形成等比数列，利用等比数列的前项和公式求得基本量，从而得解. 【详解】由题意得，设这匹马的第天走的路程为，则有，， 所以数列是的等比数列， 故，解得， 所以． 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前项和公式即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，解得， ． 故选：BD. 10. 过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距. 【详解】对于A：因为，所以过点， 且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确； 对于B：因为，所以过点， 令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误； 对于C：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确； 对于D：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确. 故选：ACD 11. 已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. 最小 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，对通项与前n项和的基本量进行计算. 【详解】根据题意，数列是等差数列，设公差为， 若，得，， ，所以选项A正确； ， 如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小； 如果，则，由，时，则没有最小值，所以选项B错误； ，得，所以选项C正确； ，所以选项D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______ 【答案】 【解析】 【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可. 【详解】由题意知：直线的方程为，即， 所以在轴上的截距为. 故答案为：. 13. 若正项数列满足（，），且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得数列是首项为，公差的等差数列，从而可求得，进而可求解. 【详解】因为（，），所以， 所以数列是首项为，公差的等差数列， 所以，又因为，所以. 故答案为： 14. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像，求出的斜率即可得到结果. 【详解】 ，， 在射线逆时针旋转至射线时斜率逐渐变大， 直线与线段总有公共点， 所以的取值范围为． 故答案为: 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 求倾斜角为直线的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程． （1）经过点； （2）在y轴上的截距为. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的倾斜角得到所求直线的倾斜角，故所求直线的斜率为，由点斜式写出直线方程； （2）在（1）的基础上由斜截式求出直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率为，可知此直线的倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为， 因为直线过点，所以由直线的点斜式方程得，整理得到． 【小问2详解】 因为直线在y轴上的截距为，所以由直线的斜截式方程得，整理得. 16. 在等比数列中. （1）已知，，求前4项和； （2）已知公比，前6项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出公比，再利用求和公式求解； （2）直接利用求和公式解方程即可. 【小问1详解】 设公比为q，由，，得， 所以， 所以； 【小问2详解】 由得，. 17. 已知等差数列的前 项和为，正项等比数列的前 项和为. （1）若，求数列的通项公式; （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立方程组求解等差与等比数列的基本量，再求通项； （2）由题意建立方程组求解等差与等比数列的基本量，再求. 【小问1详解】 设 的公差为的公比为， 由，得①， 又，得②， 联立①②解得 (舍去)，或， 因此数列的通项公式为； 【小问2详解】 由，得， 解得(舍)或， 当时，由， 得解得， 则. 18. 直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【解析】 【分析】设直线的方程为，由直线过点且的面积为6，求出，检验的周长为12即可． 【详解】设直线的方程为， 因为直线过点，所以．① 又，② 联立①②，解得或， 当，时， ，，，，符合条件（2）； 当，时， ，，，，不符合条件（2）． 所以存在这样的直线同时满足（1），（2），且直线方程为， 即． 19. 已知数列中，，，，且满足. （1）证明：数列为等比数列.并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：由，有， 可得， 可化为，有， 又由， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 有，可得； （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系证明数列是为公比的等比数列，结合等比数列通项公式求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和； 【小问1详解】 证明略；； 【小问2详解】 由（1）可得，. 有， 等式两边同乘2，有， 两式作差，有， 有， 有， 可得； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期第一次月考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第1章~第2章2.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 3. 等比数列,…的第四项等于(     ) A. -24 B. 0 C. 12 D. 24 4. 已知直线的倾斜角分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. 已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则数列的公比（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 8. 《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（ ） A. 170里 B. 180里 C. 185里 D. 176里 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. 最小 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______ 13. 若正项数列满足（，），且，则________． 14. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 求倾斜角为直线的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程． （1）经过点； （2）在y轴上的截距为. 16. 在等比数列中. （1）已知，，求前4项和； （2）已知公比，前6项和，求. 17. 已知等差数列的前 项和为，正项等比数列的前 项和为. （1）若，求数列的通项公式; （2）若，求. 18. 直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列中，，，，且满足. （1）证明：数列为等比数列.并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $