精品解析： 2023 年广东省东莞市厚街湖景中学中考一模数学试卷

2022-2023学年初三模拟考试 数学 说明：1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔认真填写姓名、班级、座位号．使用机读答题卡的科目，要按要求认真填涂有关信息． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内，超出无效；如需改动，先划掉原来的答案，后在旁边写新答案，不准使用涂改液，不轻易更换答题卡． 一、选择题（本大题共30小题，每小题3分，共30分．） 1. 0，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图是一个正方体的表面展开图，则与“学”字相对的字是（ ） A. 核 B. 心 C. 养 D. 数 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ） A B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转α角度（）得到．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 点，是双曲线上的两点，那么，的大小关系是（　　　） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____． 12. 计算：______． 13. 若，为实数，且满足，则的值为________． 14. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米． 15. 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 16 解不等式组：． 17. 目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三班数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度态度分为：无所谓；基本赞成；赞成；反对并将调查结果绘制成频数折线统计图和扇形统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求出图中扇形所对的圆心角的度数为______ 度，并将图补充完整； （2）根据抽样调查结果，请你估计该校名中学生家长中持反对态度的人数． 18. 如图，中，，于． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写做法）； （2）若，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 20. 如图，为平行四边形的对角线，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是菱形： （2）连接交于点O，若E为中点，，，求的长． 21. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边、分别交于点、点，且． （1）反比例函数的解析式； （2）若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值． 23 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年初三模拟考试 数学 说明：1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔认真填写姓名、班级、座位号．使用机读答题卡的科目，要按要求认真填涂有关信息． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内，超出无效；如需改动，先划掉原来的答案，后在旁边写新答案，不准使用涂改液，不轻易更换答题卡． 一、选择题（本大题共30小题，每小题3分，共30分．） 1. 0，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据实数大小比较的法则进行比较即可求解． 【详解】根据负数正数可知，最小的数在中选， ∵， ∴， ∴最小数是-1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，熟练掌握实数大小比较的法则是解题的关键．正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 如图是一个正方体的表面展开图，则与“学”字相对的字是（ ） A. 核 B. 心 C. 养 D. 数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体的展开图的相对面必定隔一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与“学”字相对的字是“心”， 故选：B． 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 4. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分享】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个红球，3个绿球，每个球被摸到的概率相同， ∴从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】A.，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式等知识点，能正确求出每个式子的值是解答此题的关键． 6. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质．熟练掌握两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．先求出，再根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转α角度（）得到．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转的性质等知识点，据三角形内角和定理求出，根据旋转得出，根据平行线的性质求出即可．能根据旋转得出是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ， ∵将绕点A逆时针旋转α角度（）得到， ， ∵， ， ， ∴旋转角α的度数是， 故选：B． 8. 点，是双曲线上的两点，那么，的大小关系是（　　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， 双曲线在第二、四象限， 在第四象限，随的增大而增大， 点，是双曲线上的两点，且， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标． 【详解】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， ，， 点为的中点， ， 故选：B． 10. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心， ∴直线EO垂直BC， ∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t， ∴S=； 当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心， ∴直线OF∥BC， ∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t， ∴S=； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠3的一切实数 【解析】 【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x-3≠0，解得x的范围． 【详解】解：根据题意，则 x﹣3≠0 解得：x≠3 ∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数； 故答案为：x≠3的一切实数． 【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了零指数幂和负指数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零指数幂的结果为1． 13. 若，为实数，且满足，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，为实数，且满足，，， ，， 解得：，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键． 14. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，由题意得：斜坡的坡度：米，， ， 米， ∴在中， （米） 故答案为：． 【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 15. 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连接OC交圆O于点 ，从而得到当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解 详解】解：∵， ∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示， 连接OC交圆O于点 ， ∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值， 在矩形中，∠ABC=90°， ∵， ∴OA=OB= =1， ∵， ∴ ， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 17. 目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三班数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度态度分为：无所谓；基本赞成；赞成；反对并将调查结果绘制成频数折线统计图和扇形统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求出图中扇形所对的圆心角的度数为______ 度，并将图补充完整； （2）根据抽样调查结果，请你估计该校名中学生家长中持反对态度的人数． 【答案】（1），见解析 （2）名 【解析】 【分析】（1）先求出选择的学生人数及所占比例，所占比例乘以360度即为扇形所对的圆心角的度数； （2）利用样本估计总体思想求解． 【小问1详解】 解：名， 选择的学生有：人， 选择的学生有：（人）， 图中扇形所对的圆心角的度数为：， 补充完整的图如下图所示； 【小问2详解】 解：（名） 即该校名中学生家长中有名家长持反对态度． 【点睛】本题考查折线统计图与扇形统计图的综合、利用样本估计总体等知识点，难度较小，解题的关键是找出折线统计图与扇形统计图的关联信息． 18. 如图，中，，于． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写做法）； （2）若，求度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，根据垂线的定义求出，最后利用对顶角相等得到． 【小问1详解】 解：如图，点P和点Q即为所求； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，垂线的定义，角平分线的定义，三角形内角和，对顶角相等，解题的关键是合理利用定理得出角的关系，通过准确计算得到角的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【解析】 【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案； （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元， ∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元， ∴， 解得：， 答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元． （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件， ∵需甲、乙两种奖品共60件， ∴购买乙种奖品为（60-m）件， ∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元， ∴w=20m+10（60-m）=10m+600， ∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的， ∴m≥（60-m）， ∴20≤m≤60， ∵10>0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元）， ∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 20. 如图，为平行四边形的对角线，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是菱形： （2）连接交于点O，若E为中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明为等腰三角形，得到，即可得证； （2）根据菱形的性质，得到，求出的长，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为等腰三角形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， 若为中点， 则． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角是三角形，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识．熟练掌握相关性质，以及锐角三角函数的定义，是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边、分别交于点、点，且． （1）反比例函数的解析式； （2）若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在要求的点，坐标为或 【解析】 【分析】(1)由矩形$OABC$中，，可得，即可求得$AD$的长，然后求得点的坐标，即可求得的值； (2)首先假设存在要求的点坐标为，由，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，继而求得此时点的坐标． 【小问1详解】 ，， ， ， 又， ， 点在双曲线上， ， ； 【小问2详解】 假设存在要求的点坐标为，，． ， ， 又， ， 又， ∽， ， ， 解得：或， 存在要求的点，坐标为或． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得是解此题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠G＝∠ACG，再根据圆周角定理可得∠CEF＝∠ACG，即∠G＝∠CEF，然后根据三角形相似的判定即可得证； （2）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∠OAE＝∠OEA，根据题意可得∠AFH+∠FAH＝90°，即∠GEF+∠AEO＝90°，然后切线的判定即可得证； （3）如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r，在Rt△AHC中，利用三角形函数求得HC=4，在Rt△HOC中，利用勾股定理列出关于r的方程，求解方程得到r=，然后根据平行线的性质得到∠CAH＝∠M，进而证明△AHC∽△MEO，再利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：如图1中， ∵AC∥EG， ∴∠G＝∠ACG， ∵AB⊥CD， ∴＝， ∴∠CEF＝∠ACG， ∴∠G＝∠CEF， ∵∠ECF＝∠ECG， ∴△ECF∽△GCE． （2）证明：如图2中，连接OE， ∵GF＝GE， ∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵∠AFH+∠FAH＝90°， ∴∠GEF+∠AEO＝90°， ∴∠GEO＝90°， ∴GE⊥OE， ∴EG是⊙O的切线． （3）解：如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r， 在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G═， ∵AH＝3， ∴HC＝4， 在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4， ∴（r﹣3）2+42＝r2， ∴r＝ ∵GM∥AC， ∴∠CAH＝∠M， ∵∠OEM＝∠AHC， ∴△AHC∽△MEO， ∴， ∴， 解得：. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质和三角形函数等，综合性强，难度较大，属于中考压轴题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）找到点关于对称轴对称的点A，连接交对称轴于一点即为，求所在直线解析式，即可求解； （3）当与相似时，则或，故分分类讨论即可：①若，则，可推出点的纵坐标与点的纵坐标相同，由点为上方抛物线上的动点，得关于的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若，则，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，判定，，由相似三角形的性质得比例式，解得点的坐标，从而可得直线的解析式，求得直线与抛物线的交点横坐标，再代入直线的解析式求得其纵坐标，即为此时点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； 小问2详解】 存在，如图：∵，关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴与对称轴的交点即为所求： 由（1）可知，对称轴为：，， ，， 所在直线解析式为：， 令，， ，； 【小问3详解】 点，， ，， 抛物线中，当时，， ， ， ． ， ， 当与相似时，则或， ①若，则， ， ， 点的纵坐标为2， 点为上方抛物线上的动点， ， 解得：（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②若，则，， ， 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图： ，， ， ， ， ， ，轴， ， ，， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 设直线的解析式为， 令， 解得：（不合题意，舍去），， 把代入得：， 此时点的坐标为，， 综上所述，符合条件的点的坐标为或，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $