广东省汕头市龙湖区2026年中考模拟考九年级数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试——九年级数学科答题卡 　　注意事项： 1．答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名和准考证号。 2．用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须用橡皮擦干净。 3．作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 4．保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 学　校 姓　名 考场号 座位号 监考员填涂缺考　[　] 准 考 证 号 填 涂 区 域 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 　选择题答题区 1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 以下为非选择题答题区，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内按题号顺序作答，否则答案无效。17．解： （2）连接AE，则△ABE的面积为　 　 ． 17．解： （1）如图 （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接DC，若，则AB的长为________________． 题17图 三、解答题（一） 16．计算：． 解： 二、填空题 11．___________　12．___________　13．___________　14．___________　15．___________ 18．解： （1） （2） 请勿在此处作任何标记或作答 2026年初中学业水平模拟考试——九年级数学科答题卡 　　注意事项： 1．答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名和准考证号。 2．用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须用橡皮擦干净。 3．作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 4．保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 学　校 姓　名 考场号 座位号 监考员填涂缺考　[　] 准 考 证 号 填 涂 区 域 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 20．解： （1） （2） 四、解答题（二） 19．解：（1）本次调查的样本容量是_______________，_______________； （2） （3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为_______________； （4） 题21图 21．解： （1） （2） 请勿在此处作任何标记或作答 2026年初中学业水平模拟考试——九年级数学科答题卡 　　注意事项： 1．答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名和准考证号。 2．用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须用橡皮擦干净。 3．作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 4．保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 学　校 姓　名 考场号 座位号 监考员填涂缺考　[　] 准 考 证 号 填 涂 区 域 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 五、解答题（三） 22．解： （1） （2） 22．解： （3） （4）的最大距离是________________________________（用含a的式子表示，保留根号） 请勿在此处作任何标记或作答 2026年初中学业水平模拟考试——九年级数学科答题卡 　　注意事项： 1．答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名和准考证号。 2．用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须用橡皮擦干净。 3．作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 4．保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 学　校 姓　名 考场号 座位号 监考员填涂缺考　[　] 准 考 证 号 填 涂 区 域 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] 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答：估计每周阅读时长不少于3小时的学生有1040人.…9分 20.解：(1)设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，…1分 根据题意，得 1600700 =50,…2分 2x 解得x=2,…3分 经检验，x=2是所列方程的根，且符合题意， .2x=2X2=4, 答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元：…4分 (2)设售价定为t元，利润为y元，根据题意得， y=(t-4)[200-40G6]…6分 2 第2页（共9页） =-20(t-10)2+720,…8分 ,-20<0, ∴.当t=10时，y的最大值是720， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元.…9分 21.解：(1)证明：连接OE,如图1所示： y N B 图1 …1分 PN=PE, ∴.∠PEN=∠PNE=∠BNF, .OF=OB, ∴∠OEB=∠OBE.…2分 ,'AB⊥CD, ∴∠OBE+∠BNF=90°， ∴.∠OEB+∠PEN=90°， 即∠OEP=90°，…3分 PE⊥OE, ,OE是半径， ∴PE是⊙O的切线.…4分 (2)解：连接CE,如图所示： E D B …5分 ,DE∥AB,AB⊥CD, 第3页（共9页） ∴.∠EDC=90 ∴CE为⊙0的直径.…6分 ,AB⊥CD ∴.CF=DF, .DE=20F=12. ,OF=6,BF=4, .OC=0B=10,CE=20, .CD=VCE2-DE2=√202-122=16，…7分 由(1)知PE LCE.设PD=x,则PC=x+16. 在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD+DE2=PE2=PC2-CE2, 即x2+122=(x+16)2-202, 解得：x=9, PD=9.…8分 ∴.PE=VPD2+DEZ=V92+122=15, ∴PW=PE=15.…9分 五、解答题（三)（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 【解答】(1)解：如图1中，设AB=x. ,AE=ED=a,矩形EABF∽矩形ABCD, EA AB AB AD …1分 x2=22, ,x>0, x=√2a,…2分 2=20=V2: =2a …3分 (2)证明：如图2中，，四边形ABCD是矩形， ∠A=∠D=90°， EG⊥BE, ∴.∠BEG=90°， 第4页（共9页） ∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEG=90°， ∴，∠ABE=∠DEG, .△ABE∽△DEG,…4分 AB AE : a a DG DG 22, …5分 .AB=CD=V2a, DG=CG=2 …6分 (3)结论：MN∥AC, MN 3 AC4 …7分 理由：如图3中，连接BE交AC于点O. A D M ⊙ N C 图3 由翻折变换的性质可知BM=EM,MN⊥BE, 设BM=EM=y, 在Rt△AME中，AF+AE2=EP, .(V2a-y)2+a=y2, 解得=32 40, -3。 …8分 ,∠BAE=∠D=90°， AB AEV2 AD-CD—2 .△ABE∽△ADC,∴.∠ABE=∠DAC, ,∠ABE+∠AEB=90°， .∠DAC+∠AEB=90°， ∠AOE=90°， BE⊥AC 第5页（共9页） ,MN⊥BE, MN∥AC,…9分 3V2 MN BM 3 …10分 Ac BA V2a41 (4)B'H的最大距离是」 VGa 2a ·(用含a的式子表示，保留根号)…13分 【解答】解：(1).P(3V3,3),0=60°， ÷8ww+3 6-6 .p(0,6);…2分 .9(-2,23),0=60°， int 形4 g(-4,0);…4分 如图所示，即为所求 y P' 图1 …5分 (2)线段P0绕点O逆时针旋转60°得到线段PQ.…6分 或者：旋转中心是点O,旋转方向是逆时针，旋转角度是60°.…6分 (3)解法一：设直线上任意一点P为(x,y), 第6页（共9页） 点P的“0变换”点P'(x',y'),0=45°， 女-竖e+列 …7分 “-竖(-x+叨 :P在直线y=-x-2的函数图象上， 2比+-2，…8分 y=-Z2.…吗分 解法二：在直线y=-x-2的函数图象上取两点P0,-2),Q(-6,0), 将直线PQ绕点0逆时针旋转45°，得到点P'(W2,-V2),0'(-3V2,-3√2)，…7分 则设直线P'Q'的解析式为：y=x+b 24e3 …8分 解 - lo--v2 y=2-22.…9分 (4)解法一：设曲线1上任意一点P为(x,y),点P的“0变换”点P(x',y), 0=45°， x'= 号x+叨 2 (y=受(-x+叨 P在反比例函数图象上， )=2 y=-Vx2+4, ………10分 设直线BC的解析式为y=ux+n, :32m+n=-3v2 (v2m+n=-V2 1 解得 m=2 n=-2v2 y=2-Z2 ，…11分 当-V+4=-V2时，解得=-V反-6或=-V2+子6， 第7页（共9页） M(-V2-6,-2W2-3v6),N(-V2+V6,-22+36,…12分 23o 3 ,四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥OB, ,A(-V2,V2),B(-3V2,-3V2,C(W2,-V2) .BO=6,AC=4, .△ABC的面积=12， △BOC的面积=6，…13分 设O点到BC的距离为h, .BC=2V10, ∴6-7×2⑩m, 解得h=3 5 △MoN的面积=7×3×2-25 ∴.△BOM的面积+△NOC的面积=6-2V3, △AOF的面积=△NOC的面积，△BOM的面积=△EOD的面积， .S1+S+S3+S4=12-4V3.…14分 (4)解法二：将点B(-3V2,-3V②，C(√2，-√2)，绕点0顺时针方向旋转45°， 得到点B'(-6,0),C(0,-2), 设直线B’C’的解析式为y=x+n, mn=0 m- 解得 (n=-2 y=-写x-2…10分 y=-x-2 x1=-3+3x2=-3-V3 解得： -1-号-1+号 ∴直线B’C’与反比例函数图像的交点为 第8页（共9页） M(-3+5,-1-9,w'(-3-V3,-1+号) …11分 绕点0旋转45°得到点 M(-V2-6,-2V2-3V6),w(-2+号6，-2W2+V6,…12分 ∴W23o 3 ,四边形ABCD是菱形， .∴.AC⊥OB, A(-V2,V2),B(-3V2,-3V②，C(2,-V②)， .BO=6,AC=4, ∴.△ABC的面积=12， ∴△BOC的面积=6，…13分 设O点到BC的距离为h, ,BC=2V10, :6=2×2oh, 解得h=3V0 5 △M0N的面积=×3g×2Y0-25 5 3 ∴.△BOM的面积+△NOC的面积=6-2V3, ,△AOF的面积=△NOC的面积，△BOM的面积=△EOD的面积， .1+StS3tS4=12-4V5.…14分 第9页（共9页）口口▣ 2026年初中学业水平模拟考试一九年级数学科答题卡 注意事项： 准 考证号填涂区域 学 校 1.答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔 填写学校、姓名和准考证号。 姓 名 [0] 0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][0] [0] 2.用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信 [ [1 [1] [1 [1 [1 [1 [1] [1 [1 [ [ 息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改 考场号 图 [3 3 3 时须用橡皮擦干净。 岛 3.作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 座位号 3 保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 监考员填涂缺考[ [8 [8 [8 [8 [8 8 [8] [9] [9] 9] [9 [9 [9] 9] [9] [9] 选 1[A][B][c]D 6[A][B][c][D] 2[A][B][c】[D 7 CA][B][c][D] 题答题区 3[A][B][c][D] 8[AJ[B][c][D] 4 [A][B][c][D] 9[A][BJ[C][D] 5[A][B][c][D] 10[A][B][C[D] 以下为非选择题答题区，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内按题号顺序作答，否则答案无效。 二、 填空题 11. 12 14 15, 三、解答题（一） 16.计算：1-5+(2026-列°+(2-12. 解： 17.解： B (1)如图 题17图 (2)应用与计算：在(1)的条件下，连接DC,若BC=3,则AB的长为 第1面（共8面） 请勿在此处作任何标记或作答 18.解： B 图1 图2 图3 (1) (2) 第2面（共8面） 2026年初中学业水平模拟考试一九年级数学科答题卡 注意事项： 准 考证号填涂区域 学 校 1.答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔 填写学校、姓名和准考证号。 姓 名 [0] [0] [0] 0] [0] 0] [0] 0] [0] [0] 2.用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信 [ [1 [1 [1 [1 [1 [1 [1 图 2] 息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改 考场号 图 时须用橡皮擦干净。 离 离 高 3.作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 座位号 保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 监考员填涂缺考[ [8 [81 [8 [81 竹 [8] 9] [9] [9 [9 [9] 9] [9] [9] [9 [9] 四、解答题（二） 19.解： (1)本次调查的样本容量是 n= (2) 人数 16 6 12 22% D B n% 6 C 4 A 0 16% A B C D 每周阅 读时长 (3)扇形统计图中“℃”部分对应扇形的圆心角为 (4) 20.解： (1) (2) 第3面（共8面） 请勿在此处作任何标记或作答 21.解： (1) 题21图 (2) 第4面（共8面） 口口■口 2026年初中学业水平模拟考试一九年级数学科答题卡 注意事项： 准 考证号填 涂区 学 校 1.答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔 填写学校、姓名和准考证号。 姓 名 [0] [0] [0] 0] [0] [0] [0] 0] 0] [0] 2.用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信 [ [1 [1] [1 [1 [1 [1 [1 [1 [1 [ [2] ] 息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改 考场号 图 [31 [3 [37 [2] [3 时须用橡皮擦干净。 岛 岛 3.作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 座位号 岛 4. 保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 监考员填涂缺考[ [8 [81 [8] 9] [9] [9 [9] [9] L9] [9] [9 [9] E D 五、解答题（三） 22.解： (1) B F 图1 E (2) B 图2 E D ℉ 图3 H 图4 第5面（共8面） 请勿在此处作任何标记或作答 22.解： (3) (4)BH的最大距离是 (用含α的式子表示，保留根号) 第6面（共8面） 2026年初中学业水平模拟考试一九年级数学科答题卡 注意事项： 准 考证号填 涂区 学 校 1.答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔 填写学校、姓名和准考证号。 姓 女 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] 0] [o] [0] 2.用2B铅笔填涂信息点，正确方法是■。信 [ [ [1 [1] [1 [10 [1 [1 [1 [ 息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改 考场号 图 [31 [31 图 时须用橡皮擦干净。 离 哥 墙 高 3.作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 座位号 保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 监考员填涂缺考[ [81 [9] [9] L9] 8 [8] [9] [9 [9] 23.解： (1) 5 4 ●P 2 1 43210 12 3 45 -3 图1 (2) D F (3) R 图2 第7面（共8面） 请勿在此处作任何标记或作答 23.解： (4) 第8面（共8面）2026年初中学业水平模拟考试 九年级数学 说明：1.本试卷共6页，23小题，答题卡8面，满分为120分，考试用时为120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写相关项目，用2B铅笔填涂对应 号码。 3.选择题必须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦千净再进行选涂。 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区 域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不准使用 涂改液，不按要求作答的答案无效。 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正 确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1.比-2026大1的数是() A.-2027 B.2027 C.-2025 D.2025 2.下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( A. 禁止驶入 B. 两侧变窄 环岛行驶 D.两侧通行 3.2026年春节假期，汕头全市累计实现旅游收入约71.56亿元。这一亮眼成绩得益于汕头 以非遗民俗点燃年味，用潮汕美食征服味蕾，通过全域联动汇聚人气，强势跻身全国最 热门旅游目的地之一。71.56亿用科学记数法表示为（) A.71.56×108 B.7.156×10° C.0.7156×1010 D.7.156×1010 4.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠A等于（) 60 A.45° B.60° C.105 D.120° 5.下列运算正确的是（) 45 题4图 A.a2·a3=a B.（-2a2月=-6a6C.a4÷=a D.2a+3a=5a2 6.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”， 小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“冬至”有两张，“小寒”和“大寒” 各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“冬至”的概率是() A月 B.月 c.} D.3 4 7.完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是() A.2 B.5 C.10 D.20 2026年初中学业水平模拟考试九年级数学第1页（共6页) 8.若点（←1），4，)，(2，)都在反比例函数y=2的图象上，则（)】 1 A.y3>y3> B.y2>y1>y3 C.>y3>y2 D.y>y3>y 9.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10, 水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是() A.9 B.8 C.7 题9图 D.6 10.已知抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)如图所示，那么下列各式中 不成立的是() A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.a+b+c<0 题10图 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上. 11.古语有言“渔一时，误一世”，其意是教导青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春， 其数字谐音为1,1,4,5,1,4.有关这一组数，众数是 12.计算： 2L+2 1+m1+ 13.一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示 01234 如图，则该不等式组的解集是 题13图 14.已知关于x的一元二次方程x2-4x+=0有两个实数根，则的取值范围是 15.如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M,N, M 2,已知∠ABC=90°，CM=2,AM=3,则⊙O的 半径为」 B 题15图 2026年初中学业水平模拟考试九年级数学第2页（共6页) 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16.计算：1-51+2026-网+（为2-反. 17.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=22.5°. (1)实践与操作：用尺规作图法作线段AC的垂直平分线，交AB于点D,交AC于点E (保留作图痕迹，不要求写作法)； B (2)应用与计算：在(1)的条件下，连接DC, 若BC=3,则AB的长为 A 题17图 18.综合与实践 【主题】制作圆锥. 【素材】直径为40cm的圆形卡纸、剪刀、透明胶， 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为40c的圆形卡纸剪出一个圆心角为60°的最大扇形ABC(图2). 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接 合处 B B 人60 图1 图2 图3 【实践探索】 (1)求剪下的扇形ABC的半径. (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径r· 2026年初中学业水平模拟考试九年级数学第3页（共6页) 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19.每年的4月23日是世界读书日.某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随 机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外 阅读小于1小时，B:每周课外阅读1~3小时，C:每周课外阅读35小时，D:每周课外 阅读5小时以上·将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条 形图和扇形图. 人数 16 16 14 8 22% D 6 B n% 2 0 A A B C D 每周阅 16% 读时长 请根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ,n= (2)直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中“℃”部分对应扇形的圆心角为 度 (4)若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人· 20.中秋节是我国的传统节日.月饼是中秋节的一种美食，月饼寓意着团圆和完美.“豆沙 饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱.某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼 家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销.已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼 单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个. (1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ (2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个，根据销售经 验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个.将售价定为多少元时， 才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 21.在OO中，已知AB为直径，点E是弧AD上一点，弦DE/AB,且DE⊥弦CD,连BE 交CD于点N,点P在CD的延长线上，PW=PE. (1)求证：PE是OO的切线； (2)若OF=6,BF=4,求PN的长. B 题21图 2026年初中学业水平模拟考试九年级数学第4页（共6页) 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22.综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘.某数学学习小组围绕“神奇的A4纸”开展主 题学习. 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性.A4纸是我们常见的矩形打印纸，将A4 纸ABCD沿它的一条对称轴折叠（如图1），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸， 它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形EABF∽矩形ABCD;将A5纸类似地 对折，得到与之相似的A6纸·，A4纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放 打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感. 【初探结论】 (1)如图1，设AD=2a,求A4纸的长AD与宽AB的比值； 【作图再探】 (2)如图2，在(1)的条件下，连接BE,过点E作EG⊥BE交CD于点G.试说明点 G为边CD的中点； 【拓展应用】 (3)如图3，在(1)的条件下，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN, 连接AC.试探究线段N与AC的数量关系与位置关系， (4)如图4，在(1)的条件下，动点P,Q分别在边AD,BC上运动，连接P,Q, 将四边形ABOP沿PQ翻折得到四边形AB'QP,调整点P和点Q的位置使得线段A'B'始终经 过顶点D,BH是点B到CD的距离，则BH的最大距离是 (用含a的式 子表示，保留根号) B B 图1 图2 H B B 图3 图4 2026年初中学业水平模拟考试九年级数学第5页（共6页） 23.请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务. “日变换” x'=x.cose-y.sine 提出 已知点P(x,y),如果点P(x',y)满足 y'=x-sin0+ycos6’ 那么称点 概念 P是点P的“0变换”点。 理解 (1)如图1，已知点P35,3)和点Q(-2,2W3),当6=60°时，求点P, 概念 Q对应的“6变换”点P',Q并在图1中画出线段P'Q'. (2)研究发现：线段P'Q可由线段PQ通过一次图形变换得到； 请描述这种图形变换（如果是平移请说明平移方向，距离；如果是轴对 探究 称请说明对称轴，如果是旋转请说明旋转中心，旋转方向，旋转角度)· 性质 (3)线段P'Q'是线段P9的“日变换”线，0=60°，请你求出直线 y=- 3-2的“0变换”线，0=45. 研 究 5 y D 内 4 2● 3 ●P 2 1 42012 43x -1 图1 图2 (4)如图2，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B,C的 坐标分别为4A(-V2,V2),B(3V2,-3W2),C(W2,-√2)，曲线1是反比例函 运用 性质 数y=2x<0)图象的“阳变换”线，日=45°，1交边BC于点M,N,直线 OM,ON分别交边AD于点E,F,记△BOM,△CON,△DOE,△AOF 的面积分别为S,S,S3,S4,求S,+S+S3+S4的值. 2026年初中学业水平模拟考试九年级数学第6页（共6页）