精品解析：重庆市杨家坪中学教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次定时作业（模拟二）数学试题

2024-2025学年杨家坪中学教育集团第一次定时作业（初中） 九年级 （上）数学试题（模拟二） （全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项: 1 ．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2 ．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3 ．作图 (包括作辅助线) 请一律用黑色签字笔完成； 4 ．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲时用. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象可由抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：A、∵二次函数， ∴，图象的开口方向向上，故选项不符合题意； B、二次函数，函数的最小值为，故选项不符合题意； C、二次函数的对称轴为，当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； D、抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得，故选项符合题意； 故选：D． 4. 估计的值应该在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算得到结果为，再估算结果的大小即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２ 6. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（　　） A. 36 B. 40 C. 49 D. 53 【答案】D 【解析】 【分析】仔细观察图形的变化，找到变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第①个图形有颗棋子， 第②个图形一共有颗棋子， 第③个图形一共有颗棋子， 第④个图形有颗棋子， ……， 第个图形一共有（颗）． 第⑦个图形一共有（颗）． 故选：D． 【点睛】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 7. 某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架 ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架， ∴ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架 ∴ 联立可得： 故选：D． 【点睛】本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式． 8. 如图，某小区计划在一块长为18m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分长为m,宽为m的矩形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：道路的宽为x m， 种植草坪的部分长为m,宽为m的矩形． 根据题意得：， 故选：A． 9. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断②，根据当时，，即可判断③，根据函数图象即可判断④,根据抛物线与直线的交点关于对称即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间， ∴当时， 又 ∴ ∴，故③错误 根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误， ∵抛物线与直线的交点关于对称， 设的两根为,根据对称性可得，则， 同理的两根和为， ∴若方程有四个根， 这四个根的和为．故⑤正确 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 10. 已知四个多项式，，，，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，则 ②若，则 ③若x为正整数，且为整数，则 ④若对任意x都有，则当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】运用解一元一次方程，解一元二次方程，整除的性质，不等式的性质，恒等式的变形等知识逐个判断即可． 【详解】解：①∵，，， ∴ 解得：， 故①错误； ②∵，，，，， ∴ 化简得：， 因式分解得： ∴， ∴， 故②错误； ③∵，，， ∴， ∵x为正整数，且为整数， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，，， ∴， 化简得：， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即， 故④正确． 故正确的有：③④，共两个， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元二次方程，整除的性质，不等式的性质，恒等式的变形等知识，综合性较大，要求知识全面，掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先算零次幂、绝对值、负整数次幂，然后再算有理数加法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了零次幂、负整数次幂以及算有理数加法运算，掌握零次幂、负整数次幂的运算法则是解答本题的关键． 12. 已知关于x的方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ____． 【答案】±6 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 =k2-4×9=0 解得k=±6 故答案为：±6． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根时，；一元二次方程有两个不相等的实数根时，；一元二次方程没有实数根时，． 13. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 14. 卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若3人患了流感，经过两轮传染后共有108人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了______人． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，再解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 依题意得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：5． 15. 实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为______W． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点 ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴抛物线有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故答案为：220 16. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识．设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得，根据相似比可得最终结果． 【详解】解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ∵， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 17. 若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】关于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜ 且a≠-1，再解分式方程得到，接着利用分式方程的解为整数得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和． 【详解】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根， ∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0， 解得a＜且a≠﹣1． 把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3， 解得 ∵x≠﹣1， ∴，解得a≠﹣3， ∵ (a≠﹣3)为整数， ∴a﹣1＝±1，±2，±4， ∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3， 而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3， ∴a的值为0，2， ∴满足条件的所有整数a的和是2． 故答案是：2． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 18. 对于各个数位上的数字均不相同的四位正整数，若千位数字的两倍与十位数字的和为7，百位数字与个位数字的和为9，则称之为“七九数”．一个“七九数”，若为整数，则称m为“整型七九数”，则所有“整型七九数”m的和为________，若“整型七九数”m可以分解为（x，y均是自然数），规定，当最小时．则的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可得：，可推出，，，根据为整数，推出为整数，则，结合各个数位上的数字均不相同，即可得出符合条件的“整型七九数”；将所得的“整型七九数”分解为的形式，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴，，， ∵是偶数，， ∴为奇数， ∴，，， ∵为整数， ∴为整数，则为整数， ∴ ∴，，，， ∴，（舍去），（舍去），， ∴符合条件的“整型七九数”为3217，1059， ∴所有“整型七九数”m的和为， ∵， ， ∴当时，取最小值， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、解题的关键是掌握“七九数”和“整型七九数”的定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）根据公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项得， 因式分解得， 所以或， 解得：； 【小问2详解】 解：去括号得， 移项合并同类项得， ， 根据求根公式得， 解得． 20. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 【答案】 作图如下： ①；②；③；④两交点到顶点的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明全等是解题的关键．用尺规作图作出过A与垂直的垂线；由菱形的性质易证，则可得；由此可归纳出结论． 【详解】解：证明：四边形是菱形， ，，； ， ； ， ， ， ； 由上证明知：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等． 故答案为：①；②；③；④两交点到顶点的距离相等． 21. 为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）88，87，35 （2）八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分 （3）共有960人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，求扇形统计图中的项目，求中位数与众数． （1）由抽取的七年级学生成绩可得众数，即得a的值；根据八年级抽取的学生成绩可分别求得A、B两个等级的人数，从而可确定中位数，即得b的值；由C等级的人数及抽取的总人数即可求得C等级的占比，从而确定m的值； （2）两班平均成绩相同，根据中位数即可判断； （3）利用样本估计总体的思想，分别计算两个年级D等级的人数的和，即可求解． 【小问1详解】 解：由抽取的七年级学生成绩知，88出现的次数最多，故众数为88，即； 八年级抽取的学生成绩中，A等级的人数为（人），B等级的人数为（人），八年级等级C的学生有7个，按高低排列为： 81，82， 83，86，87，87， 89，则中位数； 而，故； 故答案为：88；87；35； 【小问2详解】 解：八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分． 【小问3详解】 解：两个年级D等级人数为：（人）， 答：两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有960人． 22. 草莓是深受人们喜爱的明星水果，世界范围内共有2080多个不同品种的草莓，某水果超市近期有“春旭”和“星都2号”两种品种的草莓正在销售．已知这两种草莓每千克的进价之和为150元，“春旭”草莓每千克的利润率为50%，“星都2号”草莓每千克的售价比进价的2倍少50元．某顾客购买了2千克“春旭”草莓和3千克“星都2号”草莓，共支付了570元． （1）求该水果超市“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为每千克多少元？ （2）若按照原售价销售，该水果超市平均每天可售出“春旭”草莓50千克和“星都2号”草莓30千克．经调查发现，“春旭”草莓售价每降低1元，每天可多销售10千克，“星都2号”草莓售价每降低2元，每天可多销售10千克；该水果超市某天计划将两种草莓都降低相同价格出售，为尽最大可能让消费者获得实惠，且当天销售这两种草莓的利润之和为5580元，则这两种草莓每千克都降低了多少元？ 【答案】（1）“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为每千克60元和90元 （2）两种草莓每千克都降低了16元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为每千克x元和y元，由题意则可分别表示出两种草莓的售价，进而列出方程组，即可求解； （2）设两种草莓每千克都降低了m元，由两种草莓利润和为5580元可得关于m的一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为每千克x元和y元，则“春旭”草莓每千克的售价为元， “星都2号”草莓每千克的售价为元； 由题意得：， 解得：； 答：“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为每千克60元和90元； 【小问2详解】 解：设两种草莓每千克都降低了m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：； 为尽最大可能让消费者获得实惠，则取， 答：两种草莓每千克都降低了16元． 23. 如图1．矩形中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点时，点也停止运动，在整个运动过程中，记，记点到点的距离为，设运动时间为秒． （1）直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 【答案】（1）， （2） 作图如下， 当 时， 随的增大而增大； （3）当时， 【解析】 【分析】（1）根据矩形，勾股定理可得，结合点的运动可得的取值范围，运用元一次方程，线段的和差运算，相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论即可求解； （2）根据函数图象的作图方法即可求解； （3）图形结合分析，根据两直线交点求不等式解集的方法即可求解 【小问1详解】 解：如图所示，四边形是矩形，， ∴，， ∴点从的运动时间为（秒），点从的运动时间为（秒），运动时间为秒， ∴当时，即点在上时，如图所示， ∴，； 当时，即点在上时，如图所示，过点作于点，且， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上所述， ，； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：根据题意，如图所示，函数、的图象， ∴， 解得，， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，根据图形求不等式的解集等知识，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 24. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 【答案】（1） 解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）购物车把手到的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新拋物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：点的坐标为或， 设原拋物线向右平移个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式过点， ，解得，（不符合题意的根舍去） 平移后的拋物线解析式为，，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）设原拋物线向右平移个单位，利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【小问1详解】 解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与反比例函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 26. 中，，D为边的中点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； （3）如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：连接，，如图所示： ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵绕点D顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由三线合一可得：为的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）作于点，由得到，利用比例关系设设，，用含的式子表达出长度求解即可； （2）连接，，利用等边三角形的判断方法判定出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到，推出，利用，，，四点共圆，证出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到为等腰直角三角形后即可解答； （3）寻找出点的运动轨迹后，推导出最大时候的位置，再利用中线平分面积和三角形的面积公式进行比较即可． 【小问1详解】 解：作于点， 解：∵， ∴， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵D为边的中点， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）同理可得：， ∴， ∴点在直线上运动，如图所示： ∴当时取最小值，此时为的中点， ∴，为的中点， 由翻折的性质可得，即点的运动轨迹为， ∴当弦为直径的时候，最大，此时为中点， 过做于的延长线于点，于点，连接，如图所示： ∵为为中点， ∴， ∵和分别是，的中点， ∴，且， ∴． 【点睛】本题为几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转变换、折叠性质、圆周角定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年杨家坪中学教育集团第一次定时作业（初中） 九年级 （上）数学试题（模拟二） （全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项: 1 ．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2 ．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3 ．作图 (包括作辅助线) 请一律用黑色签字笔完成； 4 ．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲时用. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象可由抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得 4. 估计的值应该在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 5. 如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（　　） A. 36 B. 40 C. 49 D. 53 7. 某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某小区计划在一块长为18m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 10. 已知四个多项式，，，，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，则 ②若，则 ③若x为正整数，且为整数，则 ④若对任意x都有，则当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝__________． 12. 已知关于x的方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ____． 13. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 14. 卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若3人患了流感，经过两轮传染后共有108人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了______人． 15. 实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为______W． 16. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 17. 若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____． 18. 对于各个数位上的数字均不相同的四位正整数，若千位数字的两倍与十位数字的和为7，百位数字与个位数字的和为9，则称之为“七九数”．一个“七九数”，若为整数，则称m为“整型七九数”，则所有“整型七九数”m的和为________，若“整型七九数”m可以分解为（x，y均是自然数），规定，当最小时．则的值为________． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 21. 为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 22. 草莓是深受人们喜爱的明星水果，世界范围内共有2080多个不同品种的草莓，某水果超市近期有“春旭”和“星都2号”两种品种的草莓正在销售．已知这两种草莓每千克的进价之和为150元，“春旭”草莓每千克的利润率为50%，“星都2号”草莓每千克的售价比进价的2倍少50元．某顾客购买了2千克“春旭”草莓和3千克“星都2号”草莓，共支付了570元． （1）求该水果超市“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为每千克多少元？ （2）若按照原售价销售，该水果超市平均每天可售出“春旭”草莓50千克和“星都2号”草莓30千克．经调查发现，“春旭”草莓售价每降低1元，每天可多销售10千克，“星都2号”草莓售价每降低2元，每天可多销售10千克；该水果超市某天计划将两种草莓都降低相同价格出售，为尽最大可能让消费者获得实惠，且当天销售这两种草莓的利润之和为5580元，则这两种草莓每千克都降低了多少元？ 23. 如图1．矩形中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点时，点也停止运动，在整个运动过程中，记，记点到点的距离为，设运动时间为秒． （1）直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 24. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新拋物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 26. 中，，D为边的中点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； （3）如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $