第二十四章 圆 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十四章 圆 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 2．（23-24九年级上·四川广安·期中）在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）下列命题①长度相等的两条弧是等弧②三角形的内心是三角形三个角平分线的交点③相等的圆心角所对的弦相等④平分弦的直径垂直于弦⑤不共线的三点确定一个圆；其中真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2024九年级上·贵州·专题练习）将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 5．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（     ）．    A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 9．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（     ） A．7 B．3 C． D． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是 ． 12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 13．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，则的度数是 ． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 17．（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 20．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长． 21．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 22．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出图中点A和点C的坐标； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后的； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 23．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 24．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 25．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 26．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川广安·期中）在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆周角定理解答即可．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理． 【详解】解：如图： 一弦所对的圆心角为，即， ∴ ∴ 该弦所对的圆周角为或， 故选：C 3．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）下列命题①长度相等的两条弧是等弧②三角形的内心是三角形三个角平分线的交点③相等的圆心角所对的弦相等④平分弦的直径垂直于弦⑤不共线的三点确定一个圆；其中真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理知识，掌握内切圆的圆心、圆周角定理、垂径定理等知识是解题的关键．据此逐一分析即可作出判断． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题； ②三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，故原命题为真命题； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题为假命题； ④平分弦的直径不一定垂直弦，例如：两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为假命题； ⑤不共线的三点确定一个圆，故原命题为真命题； ∴真命题的有个． 故选：C． 4．（2024九年级上·贵州·专题练习）将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为， 所以虚线①所对的圆弧长． 故选：A． 5．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（     ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由垂径定理得出的长． 【详解】连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：C． 8．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，，，根据正六边形的性质证明，得到，，即可得到B，I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且，然后在三角形中计算即可． 【详解】连接，，，，过作于， ∵正六边形和正六边形均以点O为中心， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵A，G，H三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴B，I，H三点共线， 同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边长为， 故选：C． 9．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（     ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴，是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，依次判断，，，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解:连接， ∵且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 而交于, 则为的重心 连接， ∵ ∴， ∵，，        ∴， ∴， ∵ ∵ ∴ ， ∴ ， ∴， 则，， ∴，    ∵， ∴，， ，       ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴   ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在上 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若点与圆心的距离，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：点P在上， 故答案为：点P在上． 12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 13．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 【答案】35 【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ； ， ， 故答案为：35 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键．根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可． 【详解】解：圆心O运动路径如图：    ∵；弧的长度为；， ∴圆心O运动的路程是． 故答案为：． 17．（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 【答案】 二 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用圆面积，等边三角形的面积，即可得出答案． 【详解】如图1中，圆的半径为3cm， 底面积为． 如图2中，连接，． ，，， ， ， 等边三角形的边长， 底面积， 等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为， 两种方案底面积差为， 故答案为：方案二，． 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 【答案】，， 【分析】根据题意画出图形，分三种情况讨论：当点P在x轴上，，，当点P是切点时，，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，当P的坐标为，，时，是等腰三角形．理由如下： 连接， ∵，的半径为1， ∴， ∴， ∵切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接交x轴于点H， ∵切于点A， ∴切于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当P的坐标为，，时，是等腰三角形． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，解决本题的关键是得到是等边三角形． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长． 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理得到，根据求出的长，根据求出的长，利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 21．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 22．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出图中点A和点C的坐标； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后的； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 【答案】(1)、 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的读取、平面图形的旋转变换．属于基本题型，掌握基本概念是解题关键． （1）根据平面直角坐标系写出点A、C的坐标即可； （2）根据网格结构先找出点A、B、C绕点C顺时针旋转的对应点的位置，然后再找出旋转后的三角形绕点B逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据勾股定理求出的长度，然后根据弧长公式列式求出点A所经过的路线长． 【详解】（1）、； （2）如图，即为所求， （3）， ． 23．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键． （1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径长为r， ∵， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， 解得， 即的半径长为5； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即的长为．    24．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、勾股定理、扇形面积的计算等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据题意可得出，从而可判断出直线与的位置关系； （2）根据图中阴影部分的面积等于的面积-扇形的面积”即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又∵点A在上， ∴与相切； （2）解：∵的半径为2， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 【答案】（1）4；无数个；（2）（3）见解析 【分析】（1）根据定义判断即可；经过圆上的任意一点，作圆的切线，经过圆上另外一点，作切线的平行线，与圆有一个交点，过这两个点作切线的垂线，构造的矩形符合题意，这样的点有无数个，故新定义矩形有无数个； （2）设与切点为E，连接并延长交于F，连接，设，则，，由勾股定理，得解答即可． （3）根据新定义，结合圆的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，根据定义，判定有4个“友好圆”； 已知，如图，根据圆上有无数个点，故它有无数个“友好矩形”， 故答案为：4，无数． （2）解：如图，，，矩形， 则，，， 设与切点为E，连接并延长交于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 连接，设， 则，， 根据勾股定理，得， 故， 解得 （3）解：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 以点Q为圆心，以为半径作， 则即为所求． 证明：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 则，，， 故， ， 故点B，C都在上，且是的切线， 故是过点B、C的“友好圆”． 【点睛】本题考查了新定义，切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线，基本作图，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键． 26．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）①；② 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）作图如下： 由图知，；同理． （4）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$