15.1.1从分数到分式 导学案 2024—2025学年人教版数学八年级上册

人教版初中数学　八年级上册 15.1.1从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系． 2．掌握分式有意义的条件，并能进行计算． 3．掌握分式取特殊值的条件，并能进行计算． 教学重点 分式的概念，分式有意义或无意义的条件． 教学难点 熟练地求出分式有意义的条件、分式取特殊值的条件． 教学过程 新知探究 一、新课导入 【例】1．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 【师生活动】学生先独立思考，教师提出问题引导学生列出代数式． 　　【问题1】顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？ 　　【答案】顺流航行的速度＝轮船在静水中的速度＋水流速度； 　　逆流航行的速度＝轮船在静水中的速度－水流速度． 【问题2】这个问题的等量关系是什么？ 【答案】顺流航行90 km所用时间＝逆流航行60 km所用时间． 【问题3】如果设江水流速为v km/h，如何列出方程？ 【答案】 【设计意图】本章引例从实际问题引出代数式，体会分式的实际需要． 【例】2．长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为_____cm；长方形的面积为S cm2，长为a cm，宽为_____cm． 3．把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为_____cm；把体积为V cm3的水倒入底面积为S cm2的圆柱形容器中，水面高度为_____cm． 【答案】　　　　　　 【设计意图】通过具体的实际问题列出式子，形成对比，自然过渡到分式的探索和分式学习的必要性，让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程． 二、新知精讲 【思考】式子，，，有什么相同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 【师生活动】学生通过观察、类比、归纳，得出这些式子的共同点，以及与分数的区别．教师对学生的回答进行点拨，引导学生观察和归纳分式的特点，从而形成分式的概念． 【答案】相同点：都是（即A÷B）的形式． 不同点：分数的分子A与分母B都是整数； 　　而这些式子中的A与B都是整式，并且分母B中含有字母． 【新知】定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【设计意图】培养学生观察的能力，渗透由特殊到一般的研究方法，体会类比的数学思想，进一步提高分析解决问题的能力． 【练习】下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【师生活动】学生独立完成，教师巡视批改，及时辅导学困生． 【答案】整式：（1）（6）；分式：（2）（3）（4）（5）． 【归纳】1．分式满足的形式，且B中一定要有字母． 2．π是圆周率，它代表的是一个常数而不是字母． 【设计意图】通过简单的练习题让学生热身，熟悉刚刚学过的分式的概念，增强他们的自信心． 【思考】我们知道要使分数有意义，分数中的分母不能为0．那么要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 【师生活动】学生总结分式有意义的条件，教师给予指导． 【答案】∵分式的分母表示除数， ∴分母不能为0，即B不能为0， ∴当B≠0时，分式才有意义． 【设计意图】通过类比分数的分母不能为0，得出分式有意义的条件． 三、典例精讲 【例1】下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0； （2）要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1； （3）要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠； （4）要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y． 【设计意图】通过例题，培养学生解决问题的能力，掌握分式有意义的条件． 【例2】当x取何值时，分式的值为0？ 【答案】解：由分子x2－1＝0，得x＝1或x＝－1， 当x＝1时，分母x－1＝1－1＝0； 当x＝－1时，分母x－1＝－1－1＝－2； 故当x＝－1时，原分式的值为0． 【例3】（1）当x取何值时，分式的值为正？ （2）当b取何值时，分式的值为负？ 【答案】解：（1）当分子x＞0，分母x－1＞0，即x＞1时，的值为正； 当分子x＜0，分母x－1＜0，即x＜0时，的值为正． （2）当分子b＞0，分母5－b＜0，即b＞5时，的值为负； 当分子b＜0时，分母5－b＞0，即b＜0时，的值为负． 【归纳】分式取特殊值的条件 分式的值为0：分子为0，且分母不为0； 分式的值为正：分子、分母符号相同； 分式的值为负：分子、分母符号不同． 注意：必须在分式有意义的前提下才能讨论分式的值等于或者不等于0的条件． 【设计意图】通过例2和例3，在分式有意义的基础上，归纳出分式值为0、为正、为负等特殊情况的条件，培养学生解决问题的能力． 课堂小结 板书设计 一、分式的概念 二、分式有意义的条件 三、分式取特殊值的条件 课后任务 完成教材第128页练习1～3题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$