第3章 圆的基本性质 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（圆的基本性质）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 2．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．如图，A，B，C三点在上，，则为（    ） A． B． C． D． 4．若将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为（   ）  A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 8．如图，直角梯形中，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连接，，的面积为，则长（ ） A． B． C． D． 9．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为 ． 12．如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为 ． 13．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 14．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 cm． 15．如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则四边形的面积为 ． 16．如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离． 18．在平面直角坐标系中的位置如图所示: (1)画出关于原点对称的,并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的． 19．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 20．中，，，将绕点A逆时针旋转后至． (1)求的度数； (2)若，线段与，分别交于、，求的长． 21．如图，内接于⊙O，，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个的顶点在上且角度为的圆周角； (2)在图2中的上找一点，作过点的直线平行AC． 22．如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 23．阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（圆的基本性质）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据题意得出，从而即可得出答案． 【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上， 故选：B． 2．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：B． 3．如图，A，B，C三点在上，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：． 4．若将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的性质，旋转角的理解，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图，设O的是图形的中心，    ∴至少将它绕中心旋转，才能与自身重合． 故选A． 5．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 6．如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理．根据题意补全图形，可得，，由圆周角定理可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点为外圈所对的圆心，连接、、，    由题意得，， 由圆周角定理可知，，， ∴， 故选：C． 7．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8．如图，直角梯形中，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连接，，的面积为，则长（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键． 如图，过作于，作于， 由旋转的性质可得，，，证明，则，由题意知，，可求，则，证明四边形是矩形，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，作于， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由题意知，， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点每秒运动一周，即得第秒时与第秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明可得，可得，，再根据点的坐标即可求解，由题意判断出点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，点沿逆时针方向运动，每秒走个单位长度，每秒运动一周， ， ∴第秒时与第秒时的位置相同， 过点作轴，垂足为点，则， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式：是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 12．如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 【答案】B点 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，点即为旋转中心．    故答案为：点． 14．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 cm． 【答案】3 【分析】此题主要考查了垂径定理和勾股定理． 根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理及其逆定理，连接，过点P作于点D，先证是等边三角形，求出的面积，再证，求出的面积，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点P作于点D， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ， 的最小值为12， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，配方法的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离． 【答案】 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的直径， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中的位置如图所示: (1)画出关于原点对称的,并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的． 【答案】(1)画图见解析; (2)画图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点坐标求法,画旋转图形． （1）根据题意知,,,关于原点对称点坐标均互为相反数,先求出,,,最后连接三点即是所得图形及点的坐标； （2）先求出点绕点旋转后的点,同理求出,最后连接三个点即可得到. 【详解】（1）解:∵,,, ∴关于原点对称的点为:,,, 将三点连接,如下图所示: , ∴； （2）解:∵,,, ∴将三点绕点B旋转后的坐标为,, 将三点连接,如下图所示: ． 19．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)弧的长为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 20．中，，，将绕点A逆时针旋转后至． (1)求的度数； (2)若，线段与，分别交于、，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握特殊角度的直角三角形的三边关系是解题的关键． （1）利用旋转的性质和三角形内角和直接求解即可； （2）过点作于点，作于点，利用等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质得出，，，结合，求出，得，再利用和分别是等腰直角三角形和含角的直角三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转知：， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点， 由旋转知，，， ∴，， ∴，，， ∴， 得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．如图，内接于⊙O，，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个的顶点在上且角度为的圆周角； (2)在图2中的上找一点，作过点的直线平行AC． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角、垂径定理． （1）过点作直径可得平分，即，在根据同弧所对圆周角相等即可作图； （2）作直径，，作直线MN，可得四边形是平行四边形，故. 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示． 22．如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． （2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图，过点作于点，连接， 由（1）知： ∴， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴圆心在的垂直平分线上， ∴， 设的半径为r， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 23．阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①；②2；（2）2；（3）①；② 【分析】（1）①点B、C、D都在上，根据，得；②； （2）连接，求出，由轴对称知，根据，得到的值最小为2； （3）①根据正方形性质，结合．证明，得到，推出，即得；②根据，知在点E运动时，点P从点D开始运动到正方形对角线交点O，得点P是在以为直径的上运动，路径长为的周长，为． 【详解】（1）①∵，， ∴点B、C、D都在上， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， ∴当点，，三点共线时，的长最小 ， ∴， ∴长的最小值为； （2）连接， ∵矩形中，，， ∴， 由轴对称知， ∵， ∴当点M在上时，的值最小， 最小值为：； 故答案为：2； （3）①．理由： ∵正方形中，，且． ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 当点E从点D开始运动到点C时， 点P也随之从点D开始运动到正方形对角线交点O， ∴由对称性知，点P运动的路径长为的圆周长， ∴． 故点P的运动路径长为：． 【点睛】本题主要考查了圆和三角形、四边形综合．熟练掌握圆周角定理及其推论，矩形、正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，轴对称性质，三角形外角性质，三角形三边关系，圆周长（或弧长）公式，是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$