23.2 中心对称（15个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第23章《旋转》】 23.2 中心对称 （15个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 目录 考点讲练1：成中心对称 1 考点讲练2：画已知图形关于某点对称的图形 3 考点讲练3：画两个图形的对称中心 4 考点讲练4：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 5 考点讲练5：中心对称图形的识别 6 考点讲练6：判断中心对称图形的对称中心 7 考点讲练7：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 8 考点讲练8：中心对称图形规律问题 10 考点讲练9：求关于原点对称的点的坐标 11 考点讲练10：已知两点关于原点对称求参数 12 考点讲练11：判断两个点是否关于原点对称 13 考点讲练12：说出一个图形到另一个图形的运动过程 13 考点讲练13：按图形的变换要求画出另一个图形 15 考点讲练14：分析图案的形成过程 16 考点讲练15：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 17 中等题真题汇编练 18 培优题真题汇编练 21 考点讲练1：成中心对称 【精讲题】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三练1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【举一反三练2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 考点讲练2：画已知图形关于某点对称的图形 【精讲题】（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【举一反三练1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． (2)请画出关于原点O对称的． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·单元测试）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的． (2)点的坐标为　　，点的坐标为　　． 考点讲练3：画两个图形的对称中心 【精讲题】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______； (4)若第二象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 【举一反三练1】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的； (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 【举一反三练2】（2022九年级上·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 考点讲练4：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【精讲题】（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    【举一反三练1】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示的图形是中心对称图形，是它的对称中心，，是两个对称点，则点，到点的距离，的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 考点讲练5：中心对称图形的识别 【精讲题】（22-23九年级上·全国·单元测试）线段与线段关于点成中心对称，则与的位置关系是 ． 【举一反三练1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（22-23八年级上·河北沧州·期末）中国“一十四节气”已被利入联合国教科文组织人类非物质文化读产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 考点讲练6：判断中心对称图形的对称中心 【精讲题】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形的中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ． (1)图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？ (2)工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明．       【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形与正方形关于某点中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点，，，的坐标． 考点讲练7：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【精讲题】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，则称为格点三角形． (1)在图1，画出一个与成中心对称的格点三角形 (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【举一反三练2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）图1、图2均为的正方形网格，点A、B、C在格点上． (1)在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可） (2)在图2中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可） (3)写出（2）中四边形的面积． 考点讲练8：中心对称图形规律问题 【精讲题】（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024七年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【举一反三练2】（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 考点讲练9：求关于原点对称的点的坐标 【精讲题】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【举一反三练2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)求出的面积； 考点讲练10：已知两点关于原点对称求参数 【精讲题】（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点和点关于原点对称，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 【举一反三练1】（2024·广东·模拟预测）已知：点与点关于原点成中心对称，则 ． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·单元测试）若点与点关于原点对称，则的值为 ． 考点讲练11：判断两个点是否关于原点对称 【精讲题】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 考点讲练12：说出一个图形到另一个图形的运动过程 【精讲题】（22-23八年级下·四川达州·期中）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．  B． C． D．   【举一反三练1】（2024八年级下·全国·专题练习）以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【举一反三练2】（2021九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 考点讲练13：按图形的变换要求画出另一个图形 【精讲题】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标； (2)求出的面积． 【举一反三练2】（19-20九年级上·广西河池·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，. (1)请画出关于原点对称的； (2)在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 考点讲练14：分析图案的形成过程 【精讲题】（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【举一反三练1】（20-21八年级下·湖北十堰·期末）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 【举一反三练2】（20-21九年级上·北京·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程 ． 考点讲练15：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【精讲题】（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）有一块长方形土地，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·假期作业）分别说出下列四个图形是由左边的基本图形经过怎样的变换形成的． 中等题真题汇编练 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）中国传统纹样产生于民间，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图的四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A．B．C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南大理·单元测试）下列图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）下列图形中，既是轴对称图形．又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）点与关于原点对称，则 ． 6．（22-23九年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）若点，关于原点对称，则 ． 7．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）若点关于原点的对称的点Q的坐标为，则 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）点关于原点的对称点的坐标是 ． 9．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）若点在轴上，则点关于原点对称点的坐标是 ． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与关于原点对称，点A，B，C的对应点分别是点，，． (1)点的坐标为________，画出； (2)直接写出的面积为________． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 12．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图所示的是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据、两点的坐标， ①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置； ②点P的坐标为 ，点关于原点对称的点的坐标为 ； (2)若台阶有k级（每个台阶凸出的角的顶点记作且k为正整数）． ①直接用含k的代数式表示点的坐标； ②判断点是否在台阶上？说明理由； (3) 把台阶上点到x轴的距离与点到y轴距离中的较小值称为的“短距”，若台阶中某一点的“短距”为1，直接写出该点的坐标． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称．    14．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 培优题真题汇编练 15．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B． C． D． 17．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中有一点P． （1）点P的坐标为 ； （2）将点P向下平移 个单位长度后得到的点在x轴上，此时点的坐标为 ；点向左平移2个单位后得到的点的坐标为 ﹔ （3）点P关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 ﹔ （4）点P绕点O顺时针旋转后得到的点的坐标为 ． 20．（24-25九年级上·全国·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有 （填序号）； （2）中心对称图形有 （填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）． 21．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 22．（21-22九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 23．（21-22九年级上·河北·单元测试）如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 ． 24．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标 (4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ． 25．（23-24九年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，，线段绕着某点旋转后与线段重合(点A的对应点为点C)． (1)点A关于原点对称的点的坐标是　　　　　． (2)请直接写出该旋转中心的坐标为　　　　　　　． (3)点O也绕该旋转中心作与线段一样的旋转变换，求旋转后的对应点坐标． 26．（23-24九年级上·安徽·单元测试）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)以原点O为对称中心，画出与关于原点O对称的； (2)再画出C以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形； 27．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习） 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； (2)以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求过点三点的抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第23章《旋转》】 23.2 中心对称 （15个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 目录 考点讲练1：成中心对称 1 考点讲练2：画已知图形关于某点对称的图形 5 考点讲练3：画两个图形的对称中心 8 考点讲练4：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 12 考点讲练5：中心对称图形的识别 15 考点讲练6：判断中心对称图形的对称中心 16 考点讲练7：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 19 考点讲练8：中心对称图形规律问题 24 考点讲练9：求关于原点对称的点的坐标 28 考点讲练10：已知两点关于原点对称求参数 31 考点讲练11：判断两个点是否关于原点对称 33 考点讲练12：说出一个图形到另一个图形的运动过程 34 考点讲练13：按图形的变换要求画出另一个图形 36 考点讲练14：分析图案的形成过程 40 考点讲练15：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 41 中等题真题汇编练 43 培优题真题汇编练 52 考点讲练1：成中心对称 【精讲题】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路点拨】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【规范解答】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①；；；② 【思路点拨】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）设，利用中点坐标公式分别计算出x和y的值即可； （2）①利用中心对称的性质画图可得到点，从而得到它们的坐标． ②观察点坐标的递变规律，可得出点与点的坐标相同． 【规范解答】（1）设， ∵点的对称中心是点A， ∴A点坐标为， 故答案为：； （2）①点的坐标分别为．（见下图） 故答案为：． ②点关于点C的对称点，与点重合，依次类推，点与点重合，点与点重合……， 探索规律可知：设n为正整数，则点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴点与点的坐标相同，即， 故答案为： 【举一反三练2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)中点，E (2)见解析 【思路点拨】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． （1）利用中心对称的性质回答即可， （2）证得，利用等腰三角形的定义即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段的中点，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 考点讲练2：画已知图形关于某点对称的图形 【精讲题】（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路点拨】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【规范解答】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求；． 【举一反三练1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的． (2)请画出关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图—旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，找出对应点位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质找出点B，C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质找出点A，B，C的对应点的位置，顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·单元测试）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的． (2)点的坐标为　　，点的坐标为　　． 【答案】(1)作图见解析； (2)，． 【思路点拨】（）根据旋转的性质和中心对称图形的性质作图即可； （）直接利用（）中所画图形写出坐标即可； 此题考查了旋转变换，作中心对称图形，坐标与图形，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（）图可得，， 故答案为：，． 考点讲练3：画两个图形的对称中心 【精讲题】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______； (4)若第二象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【思路点拨】本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，平行四边形的性质，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可； （2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心（对称中心）； （4）根据平行四边形的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，连接，对应点的交点就是旋转中心（对称中心） ，即点， 故答案是：． （4）解：如图，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形时，，， ∵ ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的； (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，中心对称的定义和性质，图形结合思想是解题的关键． （1）根据图形平移的性质即可求解； （2）根据中心对称图形的定义和性质作图即可，绕旋转中心旋转即可； （3）连接对应点的连线的交点即可求解． 【规范解答】（1）解：分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点、、，再顺次连接、、，如图． （2）解：分别作出点A、B、C关于的对称点、、，再顺次连接、、，如图． （3）解：连接、、，交于点Q，如图． 则，即对称中心坐标为． 【举一反三练2】（2022九年级上·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质解决问题即可． 【规范解答】解：如图所示，的交点即为O，即为所求． 考点讲练4：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【精讲题】（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了线段和最小值中典型的“将军饮马型”，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键． 作P关于的对称点，连接，交于E，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于F，于H，利用勾股定理求出和即可． 【规范解答】解：如图，作P关于的对称点，连接，交于E，连接，    ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为， 作于F，于H， ∵， ∴， ∵点O是矩形的对称中心，经过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解． 本题主要考查了直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵与关于中心对称， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示的图形是中心对称图形，是它的对称中心，，是两个对称点，则点，到点的距离，的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是中心对称图形的性质，根据中心对称图形的一组对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【规范解答】解：如图所示的图形是中心对称图形，是它的对称中心，，是两个对称点，则点，到点的距离，的大小关系是， 故答案为：． 考点讲练5：中心对称图形的识别 【精讲题】（22-23九年级上·全国·单元测试）线段与线段关于点成中心对称，则与的位置关系是 ． 【答案】平行或在同一直线上 【思路点拨】本题考查的是中心对称的含义与性质，全等三角形的判定与性质，两直线的位置关系；熟练的利用数形结合的方法解题是关键．分两种情况分别画图，再根据图形解答即可． 【规范解答】解：当不在直线上时， ∵线段与线段关于点成中心对称， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，当在直线上或直线上时， ∴线段与线段在同一直线上， 故答案为：平行或在同一直线上． 【举一反三练1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【规范解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合； 是中心对称图形的只有B． 故选：B． 【举一反三练2】（22-23八年级上·河北沧州·期末）中国“一十四节气”已被利入联合国教科文组织人类非物质文化读产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A、不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 考点讲练6：判断中心对称图形的对称中心 【精讲题】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【答案】中点（或中点） 【思路点拨】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【规范解答】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形的中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ． (1)图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？ (2)工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明．       【答案】(1)相等，见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、中心对称图形的性质：经过对称中心的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分． （1）圆是中心对称图形，根据圆的性质，过圆心的直线可将圆分成面积相等的两部分，平行四边形为中心对称图形，过对称中心的直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，据此就能得出结论； （2）根据（1）中的结论可知，过中心对称图形的对称中心的直线可将此图形分成面积相等的两部分，将原图形进行分割或补全，将其变成两个中心对称图形．本题中可将木板分成左右两个矩形，连接两个矩形的对称中心即可，注意答案不唯一． 【规范解答】（1）解：图①②中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等． 理由：∵圆是轴对称图形， ∴过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分， ∴图①中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等． 图②： ∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分， ∴， 两式相加即可得到面积Ⅰ与面积Ⅱ相等． （2）解： 答案不唯一，如图③，将木板分成左右两个矩形，过两个矩形的对称中心的直线，把此图形分成面积相等的两部分． 理由：过矩形对称中心的直线可将矩形分成面积相等的两部分． 【举一反三练2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，正方形与正方形关于某点中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点，，，的坐标． 【答案】(1) (2)，，，． 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，求对称中心． （1）求出点D和的中点即可； （2）根据，，求出正方形的边长，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴对称中心的坐标为，即； （2）解：∵，， ∴正方形与正方形边长为2， ∵，， ∴，，，． 考点讲练7：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【精讲题】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③ 【思路点拨】本题考查旋转作图，作中心对称图形，作对称中心． （1）根据网格特点即可作出线段，作出点A，D关于点B的对称点E，F，连接即可； （2）①将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作平行四边形，即可得到所求的点G； ②作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P为所求的对称中心； ③由图直接得到点P的坐标． 【规范解答】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：①如图，点G为所求， 将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则，， 作平行四边形，则，， ∴，且， 即点G为所求． ②如图，点P为所求． 作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则，， ∴点P为所求的旋转中心． ③由题可得，点P的坐标为． 故答案为： 【举一反三练1】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，则称为格点三角形． (1)在图1，画出一个与成中心对称的格点三角形 (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】本题考查了作图-旋转变换，轨迹，作图-轴对称变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型． （1）如图①，以点C为对称中心画出； （2）如图②，以边所在的性质为对称轴画出； （3）如图③，利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点D、E，从而得到； 【规范解答】（1）如图1所示， 为所作． （2）如图，为所作； （3）如图，为所作． 【举一反三练2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）图1、图2均为的正方形网格，点A、B、C在格点上． (1)在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可） (2)在图2中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可） (3)写出（2）中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为8． 【思路点拨】本题考查了作图-轴对称变换，平行四边形的性质，正确把握轴对称图形定义和平行四边形的性质是解题关键． （1）作A点关于直线的对称点D，则四边形满足条件； （2）以为对角线作平行四边形即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，四边形为所作； ； （2）解：如图，四边形为所作． ． （3）解：四边形的面积为． 考点讲练8：中心对称图形规律问题 【精讲题】（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【规范解答】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 【举一反三练1】（2024七年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【规范解答】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 【举一反三练2】（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数． (1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式． (3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)“中心对称”函数的解析式为： (2)抛物线的表达式为： (3) 【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中． （1）由新定义即可求解； （2）求出，得到抛物线的表达式为：，即可求解； （3）由，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 则该函数的顶点坐标为：， 则该顶点关于的对称点为， 则“中心对称”函数的解析式为：； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 则顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的顶点坐标为：， 则“中心对称”函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时， 即， 则抛物线在时，取得最大值为2， 即， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）如下图： 设点、、的横坐标分别为：设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H， 则点的坐标为：，，点H的坐标为：， 根据点关于中心对称，点的横坐标， 由点、的坐标得，， 则， 若， 即， 整理得：， 当四边形为矩形时，则， ， ， 则， 而， 则， 整理得：， 将代入上式得： 解得：（舍去）， 即． 考点讲练9：求关于原点对称的点的坐标 【精讲题】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【思路点拨】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求，． 【举一反三练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】(1)图见解析，点坐标为 (2)见解析 【思路点拨】此题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求，点坐标为； （2）解：如图所示，即为所求． 【举一反三练2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)求出的面积； 【答案】(1)图见解析， (2) 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形变化-中心对称，坐标与图形，解答此类题目的关键是掌握几何变换的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可； （2）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， ∴； （2）解：； 考点讲练10：已知两点关于原点对称求参数 【精讲题】（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点和点关于原点对称，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及代数式求值，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出m与n的值，然后代入式子计算即可． 【规范解答】解：点和点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：B． 【举一反三练1】（2024·广东·模拟预测）已知：点与点关于原点成中心对称，则 ． 【答案】2024 【思路点拨】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可． 【规范解答】解：点与点关于原点对称， ，，即，， ， 故答案为：2024． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·单元测试）若点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】此题主要考查了关于原点对称点的坐标及负整数幂，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而求出，再根据负整数幂的运算法则计算即可． 【规范解答】解：点与点关于原点对称， ， 故答案为：． 考点讲练11：判断两个点是否关于原点对称 【精讲题】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【思路点拨】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【规范解答】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【规范解答】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 【规范解答】（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （2）解：，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 考点讲练12：说出一个图形到另一个图形的运动过程 【精讲题】（22-23八年级下·四川达州·期中）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【思路点拨】根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答． 【规范解答】解：A、不能通过平移得到，故本选项错误； B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项错误； C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项正确； D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项错误． 故选：C． 【举一反三练1】（2024八年级下·全国·专题练习）以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【思路点拨】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【规范解答】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 【举一反三练2】（2021九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的 【思路点拨】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【规范解答】解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示： 所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 考点讲练13：按图形的变换要求画出另一个图形 【精讲题】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键． （1）分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转得到三个短点，连接三个点即可． 【规范解答】（1）解：分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； 如图所示，即为所求； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转90°得到三个短点，连接三个点所得即为所求． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标； (2)求出的面积． 【答案】(1)画图见解析；点，； (2)． 【思路点拨】（）先作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标； （）利用割补法求面积即可； 本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、，连接，，， ， 如图，即为所求，点，； （2）． 【举一反三练2】（19-20九年级上·广西河池·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，. (1)请画出关于原点对称的； (2)在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析，P坐标为 【思路点拨】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可． 【规范解答】（1）如图所示； （2）作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接，则为所求的三角形．此时点P坐标为． 考点讲练14：分析图案的形成过程 【精讲题】（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【思路点拨】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【规范解答】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【举一反三练1】（20-21八年级下·湖北十堰·期末）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 【答案】B 【思路点拨】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可． 【规范解答】解：2021÷2＝1010…1， 所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积， 是：4440＋4﹣π＝4044﹣π． 故选：B． 【举一反三练2】（20-21九年级上·北京·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程 ． 【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度 【思路点拨】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程． 【规范解答】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD， 故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度． 考点讲练15：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【精讲题】（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案的知识．根据轴对称图形及中心对称图形的概念，设计图案即可． 【规范解答】解：所画图形如图所示． ． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·假期作业）有一块长方形土地，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)． 【答案】见解析 【思路点拨】根据“要平分圆，则必须过圆心，要平分矩形，必须过矩形的对角线的交点”，取对角线的交点与圆心相连即可． 【规范解答】解：连接矩形的两条对角线，两线的交点为点P，连接并向两边延长，分别与矩形的两边交于点M、N，即为所求． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·假期作业）分别说出下列四个图形是由左边的基本图形经过怎样的变换形成的． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了平移、旋转、轴对称变换的定义平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形． （1）可以由基本图形进行平移，轴对称（或旋转）变换得到； （2）可以由基本图形进行平移，轴对称 （或旋转） 变换得到： （3）可以由基本图形进行旋转，轴对称变换得到； （4）可以由基本图形进行平移，对称（或旋转） 变换得到．根据平移、旋转、轴对称变换的定义，认真观察，紧扣图形特点解答． 【规范解答】解：（1）可以由基本图形进行平移，轴对称（或旋转） 变换得到； （2）可以由基本图形进行平移，轴对称 （或旋转） 变换得到： （3）可以由基本图形进行旋转，轴对称变换得到： （4）可以由基本图形进行平移，轴对称，或旋转变换得到； 中等题真题汇编练 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）中国传统纹样产生于民间，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图的四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A．B．C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【规范解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了中心对称图形，解答此题的关键是要明确：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的特征逐项判断即可． 【规范解答】解：A、图形不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、图形是中心对称图形，故选项B符合题意； C、图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·云南大理·单元测试）下列图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念进行分析判断即可． 【规范解答】解：A．该图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形不存在绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形不存在绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）下列图形中，既是轴对称图形．又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【规范解答】解：．既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项符合题意； ．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）点与关于原点对称，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握平面直角坐标系内关于原点对称的两点坐标特征成为解题的关键 根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数即可解答． 【规范解答】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（22-23九年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）若点，关于原点对称，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数求出的值，再代入代数式求值即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【规范解答】解：∵点，关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）若点关于原点的对称的点Q的坐标为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查原点对称，关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，由此解答即可． 【规范解答】解：点关于原点的对称的点Q的坐标为， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了关于原点对称点的坐标．根据关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答． 【规范解答】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）若点在轴上，则点关于原点对称点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了坐标轴上点的特点以及原点对称的点的坐标，根据在y轴的对点的坐标特点横坐标为零，可得a的值，然后再根据关于原点对称，横纵坐标都相反可求出答案. 【规范解答】解：点在轴上， ∴， ∴，， ∴, ∴点关于原点对称点的坐标是， 故答案为：. 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与关于原点对称，点A，B，C的对应点分别是点，，． (1)点的坐标为________，画出； (2)直接写出的面积为________． 【答案】(1)，画图见解析 (2)5． 【思路点拨】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特点，坐标与图形： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，点A，B，C的对应点，，的坐标，描出点，，，再顺次连接点，，即可； （2）利用割补法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵与关于原点对称， ∴ （2）解：． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 【答案】画图见解析，两个三角形关于点P成中心对称 【思路点拨】本题主要考查了画位似图形，中心对称图形的识别，如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求；再根据位似图形的性质和中心对称图形的定义即可得到结论． 【规范解答】解：如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 由位似图形的性质可得，且点P是的交点， ∴与关于点P成中心对称． 12．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图所示的是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据、两点的坐标， ①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置； ②点P的坐标为 ，点关于原点对称的点的坐标为 ； (2)若台阶有k级（每个台阶凸出的角的顶点记作且k为正整数）． ①直接用含k的代数式表示点的坐标； ②判断点是否在台阶上？说明理由； (3)把台阶上点到x轴的距离与点到y轴距离中的较小值称为的“短距”，若台阶中某一点的“短距”为1，直接写出该点的坐标． 【答案】(1)①图象见解析；②， (2)①；②不在，理由见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，发现点的坐标规律是关键． （1）①根据点的坐标画出直角坐标系即可； ②根据坐标系直接写出点P和点关于原点对称的点的坐标即可； （2）①根据点的坐标规律，直接写出点P的坐标即可； ②将点坐标代入验证即可； （3）根据点的坐标规律直接写出“短距”为1的点的坐标即可． 【规范解答】（1）①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置如图所示： ②根据坐标系可得， 点关于原点对称的点的坐标为 故答案为：，． （2）① ②当时，解得， 则， 点不在台阶上． （3）点的“短距”为1， 故该点的坐标为． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称．    【答案】见解析 【思路点拨】本题考查作中心对称图形，延长到使，同样作出点，从而得到四边形． 【规范解答】解：如图，四边形为所作．    14．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【思路点拨】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 培优题真题汇编练 15．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】如图所示，过点A作轴于．先求出，，再证明，得到，，则可求出，最后根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点A作轴于．    ∵B、C的坐标分别为，， ∴，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ∴点A关于原点O的对称点的坐标为 故选：C． 16．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【规范解答】A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 17．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【规范解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选不项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故该选项是错误的； C、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项是正确的； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的； 故选：C． 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中有一点P． （1）点P的坐标为 ； （2）将点P向下平移 个单位长度后得到的点在x轴上，此时点的坐标为 ；点向左平移2个单位后得到的点的坐标为 ﹔ （3）点P关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 ﹔ （4）点P绕点O顺时针旋转后得到的点的坐标为 ． 【答案】 2 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系，点的平移规律，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据图形即可解答； （2）根据平面直角坐标系内点的平移规律“上加下减，右加左减”即可解答； （3）根据关于x轴对称的点横坐相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，即可解答； （4）画出点P绕原点旋转90度后的对应点，根据全等三角形的判定和性质，即可得出坐标． 【规范解答】解：（1）由图可知，点P的坐标为， 故答案为∶； （2）∵点P的坐标为， ∴点P向下平移2个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∴点向左平移2个单位后得到的点的坐标为， 故答案为：2，，； （3）∵点P的坐标为， ∴点P关于x轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：，，； （4）设点P绕点O顺时针旋转后得到的点为点Q， 连接， 由旋转可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴点Q的坐标为， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·全国·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有 （填序号）； （2）中心对称图形有 （填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦ 【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此逐一分析判断即可． 【规范解答】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形； ②是轴对称图形，但不是中心对称图形； ③是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形； ⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形． 所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧； （2）中心对称图形有①③⑥⑦； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦． 故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦． 21．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类讨论思想的应用． 根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到，或，由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论． 【规范解答】解：当B点在A点的右边时，如图1， ∵与x轴平行且，， ∴，即， ∵对角线的中点在坐标原点， ∴点A、C关于原点对称， ∵四边形为平行四边形， ∴点B、D关于原点对称， ∴； 当B点在A点的左边，如图2， 同理可得，则． 故点D的坐标为或． 故答案为：或． 22．（21-22九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【规范解答】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 23．（21-22九年级上·河北·单元测试）如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 过点B作轴于点H，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据关于原点对称的点的坐标特征，即可解答． 【规范解答】解：过点B作轴于点H，如图． ∵为等边三角形，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴点的坐标是． 故答案为：． 24．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标 (4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)或或 【思路点拨】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 （1）作出的对应点即可； （2）作出的对应点即可； （3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可； （4）画出点D的位置，写出坐标即可 【规范解答】（1）解：如图，即为所作 （2）解：即为所作 （3）解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 令，得， ∴， 故答案为：； （4）解：如图， 由图得，第四个顶点D的坐标为或或， 故答案为：或或 25．（23-24九年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，，线段绕着某点旋转后与线段重合(点A的对应点为点C)． (1)点A关于原点对称的点的坐标是　　　　　． (2)请直接写出该旋转中心的坐标为　　　　　　　． (3)点O也绕该旋转中心作与线段一样的旋转变换，求旋转后的对应点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了关于原点对称点的特点，确定旋转中心，旋转后点的坐标确定，熟练掌握旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）根据关于原点对称点的特点，关于原点对称的两个点横、纵坐标都互为相反数，进行求解即可； （2）分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点为旋转中心P点，写出点P的坐标即可； （3）以P为旋转中心作出点O旋转后的点，再写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：点A关于原点对称的点的坐标是； （2）解：如图，分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点为旋转中心P点．连接，取的中点， ∵，， ∴点G的坐标为，即， 根据图可知：点P的坐标为， 则，， ， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴垂直平分， 根据图可知垂直平分， ∴点P为线段和线段垂直平分线的交点， ∴旋转中心的坐标为； （3）解：如图：点O绕P点逆时针旋转得到点， 根据旋转可知：，， 根据作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴的横坐标为， ∴的坐标为． 26．（23-24九年级上·安徽·单元测试）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)以原点O为对称中心，画出与关于原点O对称的； (2)再画出C以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形的计算，掌握旋转与中心对称的性质是解题的关键． （1）分别确定，，关于原点对称的，，，再顺次连接，，即可得到答案； （2）分别确定，绕逆时针旋转的对应点，，再顺序连接，，即可得到答案； 【规范解答】（1）解：如图所示，△即为所求； （2）解：如图所示，△即为所求， 27．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习） 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； (2)以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称： （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，在顺次连接，并写出对应点坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； ∴ （2）解：如图所示，即为所求． ∴． 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求过点三点的抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当四边形为菱形时，点的坐标或 【思路点拨】（1）根据直线与坐标系的交点，两直线交点与解二元一次方程组，关于原点对称点的特点分别求值点的坐标，再运用待定系数法即可求解抛物线解析式； （2）当四边形为菱形，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，即，设，可知点在第一、三象限，可得，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：已知直线与轴交于点， ∴令时，， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， ∵点关于原点的对称点为点， ∴， 设过点三点的抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴过点三点的抛物线的解析式为； （2）解：当四边形为菱形，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 设，且， ∴点在第一、三象限， ∴， 解得，，， ∴，； ∵点关于原点的对称点为点，点关于原点的对称点为，即， ∴此时，四边形为菱形， ∴当四边形为菱形时，点的坐标或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$