第8单元 导数在不等式、函数零点的综合应用 周测复盘卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学９—４　 第八单元 　导数在不等式、函数零点的综合应用 周测复盘卷 复盘１　嵌套函数问题 典例１ 第４题 错因 对嵌套函数结构不理解 复盘 要点 在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的 函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数． 解题 关键 利用 导 数 分 析f(x)的 单 调 性,求 F (x)的 零 点,即 f(x)[f(x)＋a]＝０的根,结合函数是奇函数,数形结合即 可求得参数的范围． 反思 提高 嵌套函数的问题都能借助“一个拆两个,方程根生根”这一 诀窍加以完成．即这类问题在求解时通常先“换元解套”,将 复合函数拆解为两个相对简单的函数,同时,在问题解决的 过程 中,体 现 了 数 形 结 合、函 数 与 方 程 的 重 要 数 学 思 想 方法． [变式１－１]　(２０２４􀅰山东德州夏津育中万隆中英文高级中学月考) 已知函数f(x)＝ ２x－１＋１,x≤２, |log２(x－２)|,x＞２,{ 若关于x的方程f ２(x)－(a ＋３)f(x)－a＝０有６个不同的实数根,则实数a的取值范围为 (　　) A．⌀ B．[－１,０) C．(－２,０) D．(－２,－１) [变式１－２]　(２０２４􀅰辽宁名校联盟联考)已 知 函 数 f(x)＝ |lgx|,x＞０, －x２－２x＋１,x≤０,{ 且关于x的方程[f(x)] ２－(２m＋１)f(x)＋ m２＋m＝０有７个不同实数解,则实数m 的取值范围为　　　　． 复盘２　由零点求参数问题 典例２ 第５题 错因 对目标式子的变形处理不明所致 复盘 要点 导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起．解决 函数的零点或方程的根的问题,要注意转化与化归、函数与 方程、数形结合、分类讨论思想的应用． 解题 关键 第５题,根据题意列出关于x０ 和a的等式,然后分离参数, 转化为两个函数有交点后数形结合可解决． 反思 提高 解决此类问题常用方法: １．直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确 定参数范围; ２．分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加 以解决; ３．数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合 的方法求解． [变式２－１]　(２０２４􀅰海南海南中学检测)设函数f(x)＝xlnx－(a＋ １)x＋a＋１,a∈R．若f(x)在区间[１,e]上有且只有一个零点,则实 数a的取值范围是　　　　． [变式２－２]　(２０２４􀅰福建龙岩上杭一中月考)已知λ＞０,若关于x的 方程e x－１ x －λx＋λln (λx)＝０存在正零点,则实数λ 的取值范 围　　　　． 复盘３　双变量中的不等式证明问题 典例３ 第１５题 错因 不知如何转化变形 复盘 要点 双变量问题主要表现为双变量不等式问题,一般包括中点 型、极值和差商积问题、剪刀模型及主元法,是导数综合问 题中的常见题型之一． 解题 关键 本题解决的关键是将所证不等式分割为两个部分:ln x１ x２ 􀅰 x１ x２ ＋１ x１ x２ －１ ＞２和ln(x１＋x２)＜ex１＋x２－２,采用构造函数的方式 进一步将问题转化为函数最值的求解问题． 反思 提高 破解双变量不等式的方法: 一是转化,即由已知条件入手,寻找双参数满足的关系式, 并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式; 二是巧构函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其 最值; 三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参 不等式,即可证得结果． [变式３－１]　已知函数f(x)＝lnx－１２ax－ １ x æ è ç ö ø ÷． 若f(x)存在两个极值点x１,x２,证明: f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜１－a２ ． 复盘４　提高综合练 １．(多选)(２０２４􀅰山西大学附中学与东北师大附中联考)已知函数 f(x)＝x(ex＋１),g(x)＝(x＋１)lnx,则 (　　) A．函数f(x)在R上无极值点 B．函数g(x)在(０,＋∞)上存在极值点 C．若对任意x＞０,不等式f(ax)≥f(lnx２)恒成立,则实数a的最小 值２ e D．若f(x１)＝g(x２)＝t(t＞０),则 lnt x１(x２＋１) 的最大值为１ e ２．(２０２４􀅰四川省成都市树德中学阶段性测试)已知函数f(x)＝ax－ logax(a＞０,a≠１),f(x)恰有２个不同零点,则a 的取值范围是 　　　　． ３．已知函数f(x)＝lnx＋a２x ２－(a＋１)x(a∈R),g(x)＝f(x)－a２x ２ ＋(a＋１)x． 任取 两 个 正 数 x１,x２,当 x１＜x２ 时,求 证:g(x１)－g(x２) ＜ ２(x１－x２) x１＋x２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学９—３ #,则当#(o)时.f(c)>→o; &.(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+o)上单调递减, 'e(r)e(1)-0. 当({)#() &.lnrx-1(当且仅当x-1时取等号): '.lnr e?即ln(r+z)<e'!}; 十1 ##2)在(0.) )上单调递减; 五1 综上所述:当a<0时,/(x)在(0,+oo)上单调递增;当a>0时, #)在(o)上单调递增:,在(丁,)上单调递减。 1 (2)证明:不妨设x。xo,则o<<1. 2 2lnr-axi+br.=0. &./(r+r)<4sin(x,+x)+2e成立 12lnr-ar+b.=0. 两式作差整理得:2ln-a(c^x}-)-6(x-xo), 周测复盘卷 T2 复盘1 2ln 嵌套函数问题 [变式1一1]A [解题思路]作函数f(x)的图象如下: 21n(+) ) .-..3 __ '.a(+x)-(r+z) 1一r 1 2 -) r: 由函数图象可知:要使关于x的方程/②(r)一(a十3)f(x)-a r2 0有6个不同的实数根,设/(x)一t.则关于1的方程!一(a十 fr +x)=2ln(r+x-a(x+x)+b(+x)=2ln 3)1-a一0在(1,3]内有两个不同的实数根,因此 1+1 r[-(a+3)]-4×1x(-a)0. 133, 2 1-1 解得a巨,所以实数a的取 1-(a+3)-a>0. 要证f(r+x)<4sin(r+xo)+2e+?. 9-3(a+3)-a0. 1 值范围为,故选A. 1<4sin(x:+x)+ [变式1一2][解题思路]由题意,/(x)的图象如图所示,因为 只需证2hn(x.+x。)-2ln. -1 [/()?-(2m十1)/(x)+m+m-0有7个不同实数解,设 : f(x)-1,则方程r?*-(2m+1)+m{}+n-0有2个不等实根 2e-?,4sin(r.+x-)-4.则只需证2ln(r:+r)一 =m =n+1且0 .1l2或1.<2\=2.当1 l$$ 1 <2.t.=2时,m=1,满足题意;当0 t.<1<t2时,0 m$ <m+1<2,解得m(0,1).综上,m(0.1]. 二五-1 。 ”: x1 即证ln(z+x。)-ln :1 _ [参考答案](0.1] 2(r-1(o<c<1). 令g(x)-lnr- 复盘2 由零点求参数问题 十1 (-1)2 4 [变式2-1][解题思路]由于f(1)一0,即f(x)在区间(1,e]上没 则'(x)-1 x(+1){→0. r(r十1) 有零点.因为/(x)-1+lnr-(a+1)-lnx-a,当x(1, '.g(x)在(0.1)上单调递增..'.g(x) g(1)-0. 时,lnr(0.1],①当a0时,f(x)在区间(1,e]上单调递增, (l.e]时,f(x)/(1)-0,符合题意;②当a1时,f(x)在区 :当0<<1时,1nr-2(-1). r1” 间(l,e]上单调递减,x(1,e]时,f(x) /(1)一0,符合题意; 1 ③当0<a l时,令/(x)>0,解得xe”,令(x)<0,解得x ._2; e,故f(r)在(1,e)上单调递减,在(e,e)上单调递增,只需 1一1 f(e)-a+1-ae<o即可,所以 -1 <<1,综上,a的取值范围 _r。 令h(x)-e-(x+1),则h'(r)=-1. 是(-,0(1). ·当x(一oo.0)时,r(r)0; 当r(0.+oo)时,h(x)0: [参考答案](-。0.0](.+~) '.h(x)在(一oo,0)上单调递减,在(0,十)上单调递增, 'h(x)h(0)-0.则ex十1. [变式2-2][解题思路]依题意, .r-1(当且仅当r-2时取等号): _n)~r4 ln($x)--lrn-1-r-ln(e)]-0,令(--ln(c),因此 .当x(0.1)时'(x)0: 当x(1.+)时.(x)0 - -0有解,设h(t)=1-t.则h(t)=1-1,故当 新高考数学答案-31 (-c,1)时,h'(t) 0,h(t)单调递减,当/(1,+o)时,h() .2即a的最小值为2C正确;对于D.若/(c) >0.h(t)单调递增,于是(x)h(1),而h(1)=0,则h(1)存在 唯一零点i-1.即1-x-ln(入x)在(0,+oo)内有解,即1+ln =g(x)=t(0),则xr.(e1+1)=(:+1)lnr=1. ·f(0)-0.g(1)-0./0,由AB知;f(x).g(x)均为定 义域上的增函数,.x0.r→1,由x.(eì+1)-(x (0.1)时,'(x)<0,当x(1,十o-)时,p(x)一0,则函数(x) +1)lnx:得:r(ei+1)-(et+1)lne1=(x+1)· 在(0,1)上单调递减,在(1,十)上单调递增,因此1十ln^一p lnr(e十)] (1)一1,解得入一1,所以实数入的取值范围为[1,十0). .x(r+1) :令三 □(十1) [参考答案][1,十o) (e{+1),则→o,令p(k)-ln,则()-1-lnk。 复盘3 双变量中的不等式证明问题 #2 &当(0,e)时,p()0;当k(e.+)时,'() )_-a*-十2x-1 0;(b)在(0,e)上单调递增,在(e.十oo)上单调递减, .p()-e)一 若存在两个极值点,则a二0, (4-4a>。,解得0<a<1.由韦达定 正确,故选ACD 2.[解题思路]由/(x)-0可得a-log.r,又因为画数y-a”与y -logr互为反函数,这两个函数的图象关于直线y一工对称, /(x)一f(r) 若函数y一a与直线y一x有公共点(x,x。),则a一x,可得 -r x。=logx。.所以,点(x。,x。)也在函数y-logx的图象上,所 以,画数y=a*与y-log工图象的公共点必在直线y一工上,所 以,直线y一x与函数y-a的图象有两个公共点,由x-a>0 一文: 可得xlna=lnz,则lna=lnr,共中x→o,令h(x)-ln,其中x 毕-r o.h'(c)-1-lnr,当0<x<e时,h'(c)>o,此时画数h(c) 原命题即证:一 ln.r-lnx1 2r2. 不妨设,原命题即证:1n二_二,由(*) 单调递增,当xe时,h(x){0,此时函数h(x)单调递减,则 #(x) (e)-士.且当0<<1时,n(cx)<o;当→>1时。 12r12 知,12. (r)0. xrr。 如下图所示: x2十x。 2 1-1. =) .r2 3=n 2:(_1) 由图可知,当0{lna<一时,即当1<a<e时,直线y-lna与 11--1)(*1 则'()二 函数h(x)的图象有两个公共点。 7(十1)44? 4(十1){ 因此,实数a的取值范围是(1.e). 当/1时,g(1)<0,g(1)在(1,十)上单调递减, [参考答案](1,e) g(1)<g(1)-0.原命题得证. 3.[证明]由题意得,g(x)一ln.x. 复盘4 0 提高综合练 要证g()-g(x:)2(-) 十r 1.ACD [解题思路]对于A.f(x)定义域为R,/(x)一e十1+ 2(r一r。) xe-(x+1)e+1.令m(x)-/(x).则n'(x)-(x十 只需证lnr-lnx. +x 2)e...当x(-o.-2)时.m(x)<0;当x后(-2. +)时,m(x)>0;.m(x),即/(r)在(一oo,-2)上 即证n12(-) r #2) 十 单调递减,在(一2,十一)上单调递增,/(x)二/(一2) --*+1=1-→o.v./(x)在R上单调递增,无极 即证n2{ 1 空1 值点,A正确;对于B,g(x)定义域为(0,十).g'(x)一 lnr+1-1nr+1+1.令n()-(2),则n(-)-一 7 令1-i(0.1). , 1-1-1.:当x(0.1)时n'(r)<o;当x(1. 所以只需证lnr-2(-1)在1e(0.1)上恒成立, 文1 计1 十co)时,n(x)0;n(x).即g(x)在(0,1)上单调递 即证(+1)ln-2(t-1)<0在((0.1)上恒成立. 减,在(1,十o)上单调递增,.g(x)一g(1)-2>0. 令()-(t+1)lnt-2(1-1),则r'(i)-ln+1-1. &g(x)在(0.十)上单调递增,无极值点,B错误;对于 C.由A知:f(x)在R上单调递增,由f(ax)f(lnr*) 得:ar>ln*,则当x>o时,aln2}2lnr,令h(x)- 1 t 2lnx,则n'(c)2(1-lnr).当ve(0.e)时,h'(c)> 所以n(t)在(0,1)上单调递减,即/’(7)在(0,1)上单调递减, 所以'(1)>h(1)一0,所以h(7)在(0.1)上单调递增, 0:当x(e.+oo)时,h'(r)0;.,h(r)在(0,e)上单调 所以()h(1)-0. 所以g(c)一(r#2(-) 递增,在(e,十o)上单调递减,.h(c)mx-hi(e)-2. 1十2 。 新高考数学答案-32