第7单元 导数在研究函数中的应用 周测训练卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学８—２　 第七单元 　导数在研究函数中的应用 周测训练卷 考试时间４５分钟 测试内容:利用导数研究函数单调性、极值和最值 　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的． １．(２０２４􀅰安徽省百校大联考)已知函数f(x)＝１６x ３＋sinx,f′(x)为 f(x)的导函数,则y＝f′(x)的大致图象是 (　　) ２．(２０２４􀅰河南郑州外国语学校三调)已知函数f(x)＝(２－x)ex,则 下列说法正确的是 (　　) A．f′(x)＝(３－x)ex B．f(x)的图象在x＝２处的切线斜率大于０ C．f(x)在(１,＋∞)上单调递增 D．f(x)的最大值为e ３．(２０２４􀅰湖北省孝感市新高考联考协作体联考)对于问题“求证方程 ３x＋４x＝５x 只有一个解”,可采用如下方法进行证明“将方程３x＋ ４x＝５x 化为 (３５ ) x ＋ (４５ ) x ＝１,设f(x)＝ (３５) x ＋ (４５) x －１,因为 f(x)在R上单调递减,且f(２)＝０,所以原方程只有一个解x＝２”． 类比上述解题思路,则不等式x６－(２x＋３)＞(２x＋３)３－x２ 的解集 是 (　　) A．(－∞,－１)∪(３,＋∞) B．(－１,３) C．(－３,１) D．(－∞,－３)∪(１,＋∞) ４．(２０２４􀅰四川省成都市石室中学期中)若函数f(x)＝２alnx－１３x ３＋ ３x在区间(０,２]上单调递减,则实数a的最大值是 (　　) A．１ B．－１ C．０ D．－２ ５．(２０２４􀅰广西南宁摸底测试)若函数f(x)＝２x３－ax２＋１(a∈R)在 (０,＋∞)内有且仅有一个零点,则f(x)在[－１,１]上的最大值与最 小值的和为 (　　) A．１ B．－４ C．－３ D．５ ６．(２０２４􀅰安徽皖东名校联盟体二检)如图,正方形 EFGH 的中心与正方形ABCD 的中心重合,正方 形ABCD 的面积为２,截去如图所示的阴影部分 后,将剩下的部分翻折得到正四棱锥 M－EFGH (A,B,C,D 四点重合于点M),当四棱锥体积达 到最大值时,图中阴影部分面积为 (　　) A．２５ B． ４ ５ C． ４ ３ D． ２ ３ ７．(２０２４􀅰江西南昌新建区二中检测)已知函数f(x)＝x３－ax２－２x, 下列命题中,是假命题的为 (　　) A．若f(x)在(１,２)上单调递减,则a≥５２ B．若x＝１是函数f(x)的极值点,则f(x)在x∈[０,２]上的最小值 为－３２ C．若x＝１是函数f(x)的极值点,则a＝１２ D．若x２lnx≥f(x)在x∈[１,２]上恒成立,则a≥－１ ８．(２０２４􀅰江苏省南京市六校联考)已知x＝x１ 和x＝x２ 分别是函数 f(x)＝ex－１２ax ２ 的两个极值点,且x２＝２x１,则实数a的值为(　　) A．２ e B．e２ C． ２ ln２ D． ln２ ２ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分 分,有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰河北邯郸市涉县二中等校检测)已知a＞０,b∈R,e是自然 对数的底,若b＋eb＝a＋lna,则a－b的值可以是 (　　) A．－１ B．１ C．２ D．３ １０．(２０２４􀅰江西南昌高中联考)对于函数f(x)＝x３－３x,下列结论中 正确的是 (　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)在区间(－∞,－１)和(１,＋∞)上单调递增 C．在x＝－１处取得极大值２ D．函数f(x)的值域是[－２,２] １１．(２０２４􀅰安徽皖东智校协作联盟联考)已知函数f(x)＝xex 和g(x) ＝lnxx ＋b 有相同的极大值,若存在x１∈R,x２∈(０,＋∞)使得 f(x１)＝g(x２)＝k成立,则 (　　) A．b＝０ B．k∈ ( －∞,１e) C．当k＜０时,x１＋x２＜１ D．若f(x)＝k的根记为x１,x２,g(x)＝k的根记为x３,x４,且x１＜ x２＜x３＜x４,则ex１＋x２＝x３􀅰x４ 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰湘豫名校联考一轮复习诊断(二))已知函数f(x)满足下列 条 件:①f(x)的 导 函 数 f′(x)为 偶 函 数;②f(x)在 区 间 (－∞,－２),(２,＋∞)上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)＝ 　　　　．(答案不唯一) １３．(２０２４􀅰福建莆田莆田二中月考)若函数f(x)＝ax＋xe－ax－lnx －１的最小值为０,则实数a的最大值为　　　　． １４．(２０２４􀅰湖南省郴州市高中联考)函数f(x)＝aex ＋lnx＋b(a∈R,b ∈R)的两个极值点x１,x２满足x１＜x２≤２x１,则２x１＋x２ 的最小 值为　　　　． 四、解答题:本题共１小题,共１３分．解答应写出文字说明．证明过程 或演算步骤． １５．(２０２４􀅰皖豫名校联盟第二次联考)已知函数f(x)＝２lnx＋ (k－１)(x２－１) x ,k∈R． (１)讨论f(x)的单调性; (２)当k＝０时,证明:ln(n＋１)＜１２＋ １ ３＋ 􀆺＋１n＋ n＋２ ２(n＋１) (n∈ N∗,n≥２)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学８—１ 总故选C 因为了(x0)=3.x8-3a.x0, 3.[解题思路]由fx)=lnx,g(x)-e,有了(x)=1, ·g'(x)= 所以切线方程为y一（信-子)=（后-3a-. 代入点(a,b),得b- 3 e,f()在点(c1,lnr)处的切线方程为y-ln=上(x-x), (国-2a）-(3r号-3uo)(a-xo,整 理得：2-受46+30+6-0： 9 g(x)在点(x2ee)处的切线方程为y一e=e2(x一x),则有 L=e… 因为过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线， 得lnx1-1=ne2-1=-x2-1= lnr1-1=e(1-xg), 所以方程2-名+3x十6=0有三个不同根 c1-),所以e=1=二二=二十1-2=1-1亡 2 1一x: 令ga0-2-号ar2+x+6 x11-2 与可得1一2 =1+2 g'(x)=6.x2-9ax+3a2=3(x-a)(2x-a) -1=1, [参考答案]1 则g(r)在(-o,兰）(a,十∞)上单调递增，在（受a）上单 4.[解题思路]由y=lnr,得y=上，所以曲线在点(1,0)处的切线 调递减. 斜率k=1,所以切线方程为y=x一1.由题意知在x=1附近， 因为方程22-号a+3a2x十6=0有三个不同根， lnr≈r-l,所以lhn22E≈2E-1,所以e应≈ne血+1- 所以g(x)的图象与x轴有三个交点， 22+1-28器pwe*名82器 s(受）=2（受）-号（受）+w2x号+6>0 则 [参考答案]y=r-1 2025 ga)-2a-号axa+3Xa+h0 202 5.[证明]设过点(a,b)与曲线y-f(x)相切的直线与曲线y= 故 <--u). )的切点为(。-受a） 第七单元 导数在研究函数中的应用 周测训练卷 <0,当x>1时，h'(x)>0,所以西数h(x)在(0,1)上单调违 减，在(1，十o∞)上单调说增，所以h(x)m=h(1)=3,又当x 1.C[解题思路]个高教m()=了x)=+c0,m(-一) +0时，h(x)→十o⊙，当x·十oa时，h(x)）→十@，如图，作出 通数h(x)=2x十二(x>0)的大救图象，由图可知a=3,所 之+osr,定义域为R:m()=m(一，画数m) 以f(x)=2x2-3x2+1,则f(x)=6x2-6.x=6x(x-1),当 为偶函数，又：m(0)=1,且m'(x)=x-sinr,当x>0时， -1<x<0时，f(x)>0.当0<x<1时，f(x)<0,所以函 m'(x)=1(x).1'(x)=1一c08x≥0，t(x)在(0.十oo)上单調 数f(x)在（一1,0）上单调递增，在(0,1)上单调递减，又 递增，期t(x)>(0)=0-sin0=0,m'(x)>0,∴.函数m(x) f(一1)=-4，/(0)=1，f(1)=0,所以f(x)在[-1,1]上的 在(0，十∞)上单调遗增，故选C 最大值为1.最小值为一4，所有f(x)在[-1.1门上的最大值 2.D[解题思路]对于A.求导得(x)=-e+(2-x)e=(1 与最小值之和为1一4一一3.故选C x)e.故入错误：对于B,f(x)的图象在x=2处的切线针率 y=hix) k=(2)=一e<0,故B错误：对于C,当x1时，(x)> 0,故f(x)在（一，1）上单调递增，故C错误：对于D,可知 f(,x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，十0)上单调递减，故 v=a f(x)在r=1处取得最大值为f(1)=e,故D正确，故选D. 3.A[解题思路]由不等式x5一(2x+3)>(2x+3)2一x2,得 (.x2)产+x2>(2x+3)3+(2x+3).设函数f(t)=t3+1,则 f(1)=32+1>0.所以f(1)在R上单调递增.因为f八x2) 0 >f(2x+3),所以x2>2x+3.解得x>3或x<-1.数 选A. 4.B[解题思路]因为高教)-2alm-子2+3r在区间(0， 2]上单调递减，所以了(x)-24-x2+3≤0在区间(0,2]上6.A [解题思路]取正方形中心为(O, 恒成立，即2u≤x-3x在区间(0.2]上恒成立.令h(x)=x 连接BD交EF于点T,正方形 G -3x,则'(x)=3.x2-3=3(x十1)(x-1).所以h(x)=x ABCD的面积为2，故正方形 一3x在(0,1门上单调递减，(1,2门上单调递增，故h(x)mn ABCD的边长为2，OB=OD= 1,设EF=2x,则OT-t,所得 0 h(1)=一2，则2a≤h(x)nim=一2.即a≤-1.经检验，当a= 一1时，满足题意，所以实数a的最大值是一1.故选B. 的棱维倒面的高TB=OB一OT 5.C[解题思路]函数f(x)=2x2-ax2+1(a∈R)在(0，十o∞)内 =1一c,故枚维的高为h= 有且仅有一个零点，即方程f(x)=2x1-a.r”十1=0在(0， √(1-x)-x=√1-2，四 十e∞)内有且仅有一个实根，分离参敏可得a一2x十二(r> 校维体积为V-言×(2)× 0.令)=2+宁（>0.对函教y=Ay=a只有 -2a=冬2-2a-音0-2，令fx)= -个变点，h《)=2-名=2r卫，当0<<1时，h'(x) 新高考数学答案一24 1-2x)(0<<）则f)=2(2-5.当0<< 为=21，所以4=22，故1=2，解得1=1n2. e'1e21 号时.f(x)>0,当号<<号时f()<0f)在 故4=2 n2>e,满足要求，故选C, 0号)上举调笼增，在（号·号）上单调莲浅当 9,BCD[解题思路]设函数f(.x)=x十e,则f(x)在R上单调递 增，所以f(b)-f(lna)=b十e-(na+em)=a十lna 号时，体积最大，北时FT-号，TB=1- 3 (1na十a)=0,所以b=lna,即a=e,所以a一b=e一b, ,由勾股定 令g(x)=e-x,则g'(.r)=e-1,当r<0时，g(x)< 卫可得F()中()=平点F到连c的 0,g(x)单调递减：当x>0时，g(x)>0g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(0)=1,从而口一b≥1.结合选项，选项 BCD符合题意，故选BCD. 距离d 1O.ABC[解题思路]因为对Vx∈R,f x)=一x+3x=-f(x),故A S=45四=号故选A 正确：(x)=3x2一3=3(x- 7.D[解题思路]根据题意可知f(.x)=3x2-2ax-2.若f(x)在 1)(x+1),令f(x)>0可得x <-1或x>1,令f(x)<0可 (1.2)上单调递减，剥了(x)=3x2-2ux-2≤0在(1,2)上 得一1<x<1,所以函敏f(x) 极成立，即0>号-士在x1,2)根成立：易知高款y 的单调递增区间为（一，一1） fix)=x-3x 和(1，十o),函较f(x)的单调 冬一子在1,2)上单调递增，所以可得≥是×2-合= 3 递减区间为(-1,1)，敢B正确：由了(.x)=3x2一3=0 得x一士1，结合选项B可知，x一一1是函数f(x)的规 ?,故A正确：若x=1是画数fx)的极值点，则广(1)=3 5 大值，点.此时函数f(x)的极大值为f(-1)=一1十3= 2,故C正确：由B可知，函数f(x)在（一o⊙，一1）和(1， -24-2-0,可得a-合，经检脸a-立满足超意，故C正 十0)上单调递增，函数f(x)在（一1,1）上单调递减，所 确：此时了(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x一1)，若x∈[0. 以「(x)无最大值，无最小值，如图，故D错误.故 2].可得当x∈[0,1)时，f(r)<0,x∈(1,2]时，f(x)>0: 选ABC. 即∫(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调运增，所以 山.ACD[解题思路]r)=号，◆ f在x=1处取得枚小值，也是最小值D=-号，故B f(x)>0,解得x<1,令(x)= 1= 正确：若x2lnx≥f(x)在xe[1.2]上恒成立，即a≥x-lnu <0,解得x>1,f(x)在 2 (一∞，1)上单调递增，(1， - 在x∈[1,2]上t成立，令gx)=x- ,x∈[1 十o∞)上单调递减，.f(x)在 x一1处取得极大值f(1)= 2.则g)-1-+是-2 )+ x- x 8x)-匹，◆g 1 易知g'(x)>0恒成主，所以函数g(x)在[1,2]上单调递增， <0.解得x>e,令g'(x)>0,解得0<x<e.g(x)在 则g(x)m=2-n2-1=1-ln2,即a≥g(x）m=1-ln2, (0,e)上单调递增，(e,十o)上单调地减，∴g(x)在x= 故D错误.故选D e处取得板大值g(e)=+,依据通意，代x)和g(z) e 8.C[解题思路]fx=e-之ar的定义城为R,f(x)=e 有相同的极大值，故f(1)=g(e),解得b=0,故A正 确：作出函数图象如下图所示，若f(1)=g(x2)=k,则 a,要想函数x)=e心-之ar有两个板值点，期了) k≤。，故B错送：由因象可知，当<0时函<0< 心一x要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，令e 1,∴1十x<1,C正确：对于D,若x1<<xs<x ar-0,得是-子令g)-号定义接为R,对) 时，则0<<1,1<x<<e,x>e.则有=2 el e2 1时，g)>0,当E>1g'(x)<0 =n=n=k,-n2=k,可得x=n,同 e'l elny 兰在（一01D上单调通增，在(1，十四）上单润递减，故 理可得x2=lnr,e=x8·x,故D正确.故 选ACD. g(x)=上在x=1取得极大值，也是最大值，g(x)=12.[解题思路]因为f(x)在区问(-e,-2),(2,十)上单调递 g0)= 增.所以，当x∈(-∞，一2)U(2.+6∞)，(x)>0,因为f(x) 的导函数了(x)为偶函数，所以，令了(x)一x2一4，满足题意， 且当x>0时，g(.x)>0恒成立，当x<0时，g(x)<0恒成 所以x)-言-（答案不唯- 立，画出图象如下： [参考答案]子x-4x(答案不唯-) 13.[解题思路]由题意知f(,x)=a.r十xe时一lnr一1=ea一#十 a.x-lnr-1,令1=lnx一ar,原函数变为y=e-t-l.令g(x) =e-x-1.剥g'(x)=e-1,易如当x<0,g'(.x)<0,当x 0时，g'(x)>0.所以g(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0. 十oo)上单调递增，即对于xER,g(.x)≥g(0)=0.即g(x)mm =0,当且仅当1=0时取最小值，所以当1=1nr一a.x=0,f(x) 取得最小值0，即只需方程a=严有解即可：也即函数y=a与 函数y=亚困象有交点即可：令h(x)=,则h'（x)= 新高考数学答案一25 -m,当r∈e(0.e)时，h'(x)>0:当r∈(e,+o)时.'(x)< .子(x)<0,f(x)在区间 0,二1+W(2- k一1 0,故h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减，所以 Ax）m=(e)=。,在同一多标系下画出两面数国象知下因 -1-2E,+ 上单调递减： k一1 所示： 当x∈(1+2=瓦，-1-2五)时，g'(r)>0, k-1 k-1 f(r)>0. y=h(用 f(x)在区间 /-1+压(2包，-1-√2=E)上单调 k一1 k一1 y=a 递增。 综上所述，当≥1时，八x)在区间(0，十∞)上单髑递增： 当k≤0时，f(x)在区间(0，十∞)上单调递减： 即a≤上满足题意.所以am 1 e e 当0<k<1时，f(x)在区间(0.二1+2=五)和 k一1 [参考答案]日 1五+)上单递减，在区 1.[解题思路]由品袋/r)=兰+hr十6aER,6∈R)f() -1+2-E,1-√2)上单调递增. 十上了x)=0,则ar=心，周为画数/)-兰+r十 k-1 k一1 er (2)证明：由(1)可知，当k=0时，f(x)=21nr-1在(0. b(a∈R,b∈R)的两个极值点为E1,,则e1=ax1①，e1 十∞)上单调递减， ar,@,得e-=兰③，设2=1，则1长(1,2]且=1m1,代 ∴对任意的x∈1，+o0),有f代x)=21nr--1<1)=0. 入@释-当-告+=晋+告 Int 即当x∈4，+0)时，2n<=E一}恒成立， +2l,设K(x)=中21g(1<x≤2).则Rx)= -1 x一1 ∴2n是<2- x-3nx-2+ (.x-1)9 -(1<r≤2)，设h(x)=r-3nr-2+101< ≤2，别=1-是+是-2<0a在 x2 (1,2]上单调遵减，h(x)<h(1)=0,从而g'(x)<0,∴g(x） 在(1,2]上单调递减，g(x)≥g(2)=4n2..2x1+xr2=g(1) ≥4ln2故2.x1十x2的最小值为4ln2. [参考答案]4ln2 2In1+1 n +(neNn≥2). 15.[解](1)由已知/(x)的定义域为(0，十)， f(x)=2+2k-1)r·x-(k-10x2-1D 上式相加，有 -(k-10x2+2x+(k-1D 54 ①当k一1≥0时，对任意x∈(0，+∞)，都有了(x)>0,此时 f(x)在区间(0，十∞)上单调递增： 2ha+0<2+号+号++…+号 ②当k-1<0.即<1时，令g(x)=(k-1)x+2x十(-1)， 则x(x)的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=一气 ina+D<1++号+++ n2(n+15' .In+D<2 1 >0. 1++年+…+m+120n+D 当x(0，)时，)单调递增， h++号+++女+aeN 当x∈（厂+）时g单调递诚， 2),原不等式得证. gG的最大值为s(白)。 周测复盘卷 1)当区0时，对任意x∈(0，十∞)，都有g(x)≤四 k-1 复盘1由函数单调性求参数问题 ≤0， ∴了(x)≤0，f(.x)在区间(0，十∞)上单调递减： 1当0<<1时（白）20， [变式1-1C[解题思路]个函款g)=兰A()=华委满 足条件，必须g(x)在(0，a)上单调逼减，h(x)在(a,十oo)上单调 六令g（x)=0,解得五=1十2包 递减，且g(a)≥h(a).易知g(.x)在(0，十∞)上单调递减.h'(x) k一1 ,今'()>0，即1-n>0.解得0<x<e,今() D且rK 0.即1一nx<0,解得x>e,可得h(x)在(0.e)上单调递增，在 k-1 (e,+∞)上单调递减，所以a≥eg(x)-h(x)=2=nr,令 时，g'(x)<0, 2-lm>≥0，即2-1nr≥0，解得0<r≤e,令2=lm<0,即2 新高考数学答案一26