第7单元 导数在研究函数中的应用 周测复盘卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学８—４　 第七单元 　导数在研究函数中的应用 周测复盘卷 复盘１　由函数单调性求参数问题 典例１ 第４题 错因 对要不要带等号不清楚 复盘 要点 由函数的单调性求参数是利用导数研究函数单调性的一个 重要内容,解决这类问题的方法一般有两种,分别是最值法 和参变分离法,但是遇到该类问题学生很难有条理、有层次 地选择这两种方法． 解题 关键 由函数f(x)＝２alnx－１３x ３＋３x在区间(０,２]上单调递减, 等价于f′(x)＝２ax －x ２＋３≤０在区间(０,２]上恒成立,分离 参数后得到２a≤x３－３x,令h(x)＝x３－３x,通 过２a≤ h(x)min即可求出a的最大值． 反思 提高 此类问题根据条件,若f(x)在某个区间上单调递增,则在该 区间上有f′(x)≥０恒成立(但不恒等于０);若f(x)在某个 区间上单调递减,则在该区间上有f′(x)≤０恒成立(但不 恒等于０)． [变式１－１]　已知函数f(x)＝ ２ x ,０＜x＜a, lnx x ,x≥a, ì î í ï ï ï ï 若f(x)在(０,＋∞)上单 调递减,则实数a的取值范围是 (　　) A．[１,e２] B．[e,２e] C．[e,e２] D．[e,＋∞) [变式１－２]　(２０２４􀅰江苏苏州新草桥中学月考)已知f(x)＝－１２x ２ ＋６x－８lnx在[m,m＋１]上不单调,则实数m 的取值范围是 (　　) A．(１,２) B．(３,４) C．(１,２]∪[３,４) D．(１,２)∪(３,４) 复盘２　根据函数极值点求参数问题 典例２ 第８题 错因 没有验证单调性 复盘 要点 已知x＝x０ 为函数f(x)的极值点,且f′(x０)＝０,求函数 f(x)中的参数的取值范围问题是最近几年全国和各省市高 考的热点问题,也是难点问题．而这类问题的核心还是单调 性问题． 解题 关键 先求导,将极值点问题转化为f′(x)＝ex－ax有两个零点, 且在零点两侧,单调性相反,参变分离后得到１ a＝ x ex ,构造 g(x)＝xex ,求导后得到单调性,极值最值情况,得到a∈(e, ＋∞),由x２＝２x１得到 x１ ex１ ＝ ２x１ e２x１ 求出x１＝ln２,求出a＝ ex１ x１ ＝２ln２． 反思 提高 根据函数极值点求参数的方法为:(１)参数讨论法;(２)极值 点性质法．参数讨论法的关键是确定参数的分类标准,极值 点性质法需要从必要性、充分性两方面论证． [变式２－１]　(２０２４􀅰江西赣州兴国联考)已知函数f(x)＝２ex－ax２ ＋２存在两个极值点x１,x２(x１＜x２),则以下结论正确的为 (　　) A．０＜a＜e B．０＜x１＜x２＜１ C．若x２＝２x１,则a＝２ln２ D．lnx１＋x２＞０ [变式２－２]　(２０２４􀅰江西南昌高中联考)已知函数f(x)＝１２x ２－(a ＋２)x＋２alnx＋１在(４,６)上存在极值点,则正整数a的值是　　 　　． 复盘３　含参函数单调性的讨论问题 典例３ A第１５(１)题 错因 找不到分类讨论的标准 复盘 要点 含参函数单调性的讨论问题是导数单调性问题的重难点问 题,表现在求导之后导函数结构多从而所带来的类型就多, 每一种类型的方法不同,要总结归类才容易掌握． 解题 关键 先求得f′(x)＝ (k－１)x２＋２x＋(k－１) x２ ,再根据k－１≥０与 k－１＜０分类讨论即可,同时一定要注意函数的定义域． 反思 提高 关于含参函数单调性的讨论问题,要根据导函数的情况来 作出选择,通过对新函数零点个数的讨论,从而得到原函数 对应导数的正负,最终判断原函数的增减(注意定义域的间 断情况)．另外,需要求二阶导的题目,往往通过二阶导的正 负来判断一阶导函数的单调性,结合一阶导函数端点处的 函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段． [变式３－１]　(２０２４􀅰广西南宁摸底)已知函数f(x)＝e２x＋(a－２)ex －ax－１． (１)讨论f(x)的单调性; (２)若g(x)＝f(x)＋(２－a)ex 在区间(０,＋∞)上存在唯一零点 x０,求证:x０＜a－２． 复盘４　提高综合练 １．(２０２４􀅰山东枣庄三中月考)若函数f(x)＝x２－１２lnx＋１ 在其定义 域内的一个子区间(k－１,k＋１)内不是单调函数,则实数k的取值 范围为 (　　) A．[１,＋∞) B．[１,３２) C．(－ １ ２ ,３ ２) D．(１, ３ ２) ２．(２０２４􀅰四川广安广安友谊中学月考)函数f(x)＝xex－mx在区间 (０,１)内有极值点,则实数m 的取值范围为 (　　) A．(－∞,２e) B．(－∞,１) C．(１,２e) D．[１,２e] ３．(２０２４􀅰湖北省十一校１２月第一次联考)若函数f(x)＝e x x３ － a ３x＋lnx æ è ç ö ø ÷只有一个极值点,则a的取值范围是　　　　． ４．(２０２４􀅰海南农垦中学全真模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax ２ ２ 在(０, ＋∞)上既有极大值也有极小值,则实数a的取值范围为　　　　． ５．(２０２４􀅰江苏南通监测)已知函数f(x)＝x２－x－alnx存在两个极 值点x１,x２,且x１＜x２． (１)求a的取值范围; (２)若f(x１)－f(x２)＜mx１x２,求m 的最小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学８—３ -lm,当xe(0.心)时，h'(x)>0:当r∈(e,+∞)时.'(x)< .子(x)<0,f(x)在区间 0,1+(2-k) 0,故h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减，所以 Ax)m=(e)=。,在同一多标系下画出两画数国象知下因 (-1-2=，+ 上单调递减： k一1 所示： 当x∈(1+2=E,-1-2=五)时，g')>0, k-1 k-1 f(r)>0. y=h(0 f(x)在区间 -1+(2厄，-1-√2=E）上单调 k一1 k一1 Y=a 递增。 综上所述，当k≥1时，/(x)在区间(0，+©)上单调递增： 当k≤0时，f(x)在区间(0，十∞)上单调递减： 即a≤上满足题意.所以anm 1 e e 当0<k<1时，f(x)在区间(0，二1+2=包)和 k一1 [参考答案]日 1五+)上单递，在区 1.[解题思路]由通袋/x)=兰+hr十6a∈R.6∈R).f()= 一1十2一E,1-√压(2)上单调递增. +上寸e)=0,则ar=心，因为函数/)=兰+i+ k-1 k-1 er (2)证明：由(1)可知，当k=0时，f(x)=21nr-在（0， b(a∈R,bER)的两个极值点为E1,,则e1=ax1①，e 十∞)上单调递减， ar,@,得e-有=是③，设2=1，则1∈(1,2]且=11，代 ∴对任意的x∈1，+o0),有f代x)=2nr--1<1)=0. 入@释=兴-告“+=汽+告 Int 即当x4,+0)时，2<=E一l成立， +2l.设g(x)=+21nr1<x≤2).则k'x) -1 x-l 2m<2- x-3nx-2+ (x-1) -(1<r≤2，设h(r)=r-3nr-2+101< ≤2.则=1-是+是--2<0h在 x2 (1,2]上单调遵减，h(x)<h(1)=0,从而g'(x)<0,∴.g(x) 在(1,2]上单调递减，g(x)≥g(2)=4ln2..2r1+x2=g(1) ≥4ln2故2.x1十x2的最小值为4ln2. [参考答案]4ln2 2In1+1 n+(n∈N”m≥2). 15.[解](1)由已知/(x)的定义域为(0，十∞)， 上式相加，有 f(x)=2+2k-1)r·x-(k-10(x2-1D -(k-10.x2+2x+(k-1D 54 n十 ①当k一1≥0时，对任意x∈(0，+∞)，都有了(，x)>0,此时 f(x)在区间(0，十o∞)上单调递增： 2ha+02+号+号+++号 n十1 ②当k-1<0.即<1时，令g(x)=(k-1)x2+2x十(-1) 则g()的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=一 ina+D1++号+++日 2(n+1) >0. .In+D<2 ,1 1++年++前+1-20m+7元 当x∈（0，)时g)单调递增， +K号+++++aeN 当x∈（厂+）时g)单调递诚， 2),原不等式得证 gG)的最大位为s(古)。 周测复盘卷 1)当≤0时，对任意x∈(0，十∞)，都有g(r)≤-四 k-1 复盘1由函数单调性求参数问题 0, ∴了(x)≤0，f(.x)在区间(0，十∞)上单调递减： 1当0<<1时（白）20， [变式1-C[解题思路]个函载g)=兰A()=华美满 足条件，必须g(x)在(0，a)上单调逼减，h(x)在(a,十o)上单调 六令g（x)=0,解得五=1+2包 递减，且g(a)≥h(a).易知g(x)在(0，十∞)上单调递减.h'(z) k一1 .◆'(x)>0,即1->0.解得0<x<e,今N(x)< -1-,且x<x< 1 0.即1一lnx<0,解得x>e,可得h(x)在(0.e)上单调递增，在 k-1 当(，)(1+ （e,十∞)上单调递减，所以a≥eg(x)-h(r)=2=l血r,令 时，g'(x)<0, 2-1m>≥0.即2-lnr≥0.解得0<r≤e,令2=lm<0,即2 新高考数学答案一26 ln.x<0,解得x>e2,则当0<x≤e2时，g(x)≥h(x),当x>e2 f(x) 时，g(x)<h(x),要使g(a)≥h(a),则0<a≤c2.所以a的取值 范国是[e,e].故选C. f(r) [变式1一2]D[解题思路]由于fx)=-子r+6x-8r,可 由上表可知x)在(-0)和((-号）+∞） 上单调递 得f(x)=-x+6-8=-2二D,可得函数fx) 合2+6x一8r的极值点为：=2=4，由)=一合 增，在(0.(-号)）上单调递诚： 十6.r-8lnx在[m,m十1门上不单调，可得m<2<m十1或m<4 情形(2：当a=一2时，有=0==n-受）此时f(x) m十1.解得m∈(1,2)U(3,4).故选D. =(e一1)2≥0，所以此时f(x)在R上单调递增： 复盘2根据函数极值点求参数问题 情形3)：当一2<a<0时，有=0>=n一受 ,此时2e [变式2-I]D[解题思路]函数f(x)的定义域为R.求导得 十a,e一1，(.x).f(r)随r的变化情况如下表： f(x)=2e-2ax,由f(x)=0,得e-a.x=0,显然x≠0，由函 数f(x)=2e一ax2+2存在两个权值点x1·x(x1<x),得方 .In (0.+) 程心一=0，甲a=兰两个不相等的实数根1，于是面教 2e'+d 火)=兰的圈泉与直线y-a有两个变点，且横坐标分刚为 (<),求导得g(x)=D,由gx)<0得r∈ e-1 (-0.0)U(0,1),由g'(x)>0得x∈(1，十∞).因此函数g(x) f了(x) 在（一⊙∞，0），(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，且当x <0时，g(x)<0,当>0时，g(x)>0,对于A,要使函数f(x) =2e-a.x2+2存在两个极值点为(x1<),则a>g(1) f(r) 4 》 =e,A错误：对于B.当a>e时，由函数g(x)的图象知，0<< 1<2,B精误：对子C,若，=21，则a=兰=臣=爱，得西 由上表可知f在(-.(-受)） 和(0，+)上单调递 =ln2,期a一显品C错误：对于D.由要=要，得 增，在(（兰）上单调递减 x2e1,又0x1<1,则e>1,x>1,有x2e1>1,即x1e:> 1,周此lnr十x>0.D正确.故进D. 综上所述：当a<-2时f(在(-o,o)和(h(号) [变式2-2][解题思路]由通设厂(x)=x-(a+2)+2a=0在(4. 上单调递增，在(0，(-受)）上单调递减： 6)内有解，且此解左右两侧厂(x)异号，即x-(a+2)+2丛-0. 当a=一2时，f(x)在R上单调递增： 整理得(x-2)(x一a)=0在x∈(1,6)有解，得x=a∈(4,6)，故 当-2<a<0时，f(x)在 -,-)】 和(0，十∞)上单 a=5. [参考答案]5 调递增，在（血-兰）0上单调递战： 复盘3含参函数单调性的讨论问题 当a≥0时，f(x)在（一e,0)上单调递减，在(0，+∞）上单调 递增. [变式3-1][解](1)对f(x)=e一+(a-2)e'-a.x一1求导得， (2)证明：因为f(.x)=e+(a一2)e-ax一1，所以由题意g(x) f(.x)=2e2r+(a-2)e2-a=(2e+a)(c-1),分以下两大情 =f(x)+(2-a)e=e2-a.x-1, 形来讨论f(.x)的单调性： 又因为g(x)-f(x)十(2-a)c'在区间(0，+o)上存在唯一零 情形一：当a≥0时，有2e十a>0,令广(x)=(2e+a)(e-1) 点x0, 一0，解得x=0, 所以存在唯一的x。∈(0，十∞).有g(a)=e0一a.cu一1=0， 所以当x<0时，有了(x)=(2e'+a)(e'-1)<0,此时f(x)单 调递减， 化简得a一，-1 当x>0时.有f(x)=(2e+a)(e-1)>0,此时f(x)单调 递增： 若要证明<山一2，则只需x<一1-2.即只需斗，一（x To 所以f(x)在（一心，0）上单调递减，在(0，十o©)上单调递增： +1)2>0,(xo>0), 情形二：当a<0时，令f(x)=(2e十a)(e-1)=0.解得x1= 不妨设h(.x)=e2-(x+1)2.x>0.求导得h'(x)=2e2-2(x 0=n(- 十1)x>0, 令u(x)=h'(x)=2er一2(x十1)，x>0,继续求导得4'(x)= 接下来又分三种小情形来讨论f(.x)的单调性： 4er-2>4-2=2>0,x>0, 情形()：当a<-2时，有=0<=n-分 】,此时2e+ 所以当x>0时，h'(x)=2er-2(x十1)单调递增， 所以h'(x)=2e2+一2(x十1)>h'(0)=0, a,e一1，广(x),f(x)随x的变化情况如下表： 所以当x>0时，h(x)=e一(x十1)2单调递增 所以h(x)=e-(x+1)>h(0)=0, 即当x。>0时，有不等式eu-(x+1)>0成立， 综上所述：若g(x)=f(.x)+(2-a)c在区间(0，十∞)上存在 2e+a 唯一零点x0,则工o<a一2. 新高考数学答案一27 复盘4提高综合练 上一号rE(0十o),即直线y=a与函数h(r)的国象在y 1.B[解题思商]：f)-2一去-2>0.所以0< 右例有2个不同的交点.'(x)=卫.由6(x>0.得0< <号时了x)<0x)递减>时f)>0.)递 x<1,f(x)单调递增：由h'(x)<0,得x>1,f(x)单调道减，故 h(x）mn=h(1)=-e,又x→0，h(x)→-∞tx→十e,h(x)→ 增=号是极位点，闲为画数八)=子-号nr+1在共 一oo,故a<一e,即实数a的取值范围为（一∞，一e). [参考答案]（一∞，一e) 定义城内的一个子区间(k一1，k十1)内不是单调函数，所以 5.[解](1)函数f(x)的定义域为(0，+)， 0<-1K号<+1，即1<<多，故选B 且了(r)=2r2-x-@ 2.C[解题思路]由f(x)=xe一mx可得其定义城为R,易知 因为函数f(x)存在两个极值点x1工，且x<x2, 广(x)=e十xe一m,因为西教/(x)=xe一mr在区间(0， 所以方程2.x一x一a=0在区间(0，+)上有两个不等实根 1)内有极值点，所以方程了(x)=e'十xe'一m=0在区间 (4=1+8a>0, (0.1)内有实根，即m=e+re在(0,1)内有实根：令g(x) 1 =e+xe',x∈(0,1)，则g'(x)=(x+2)e显然g'(x)在 所以有 +=>0…解得-<a<0, (0,1)上满足g'(x)>0成立，所以西数g(x)在(0,1)上单 调递增，因此g(0)<g(,x)<g(1),可得1<g(x)<2e.因为 2>0. m=e十re在(0,1)内有实根，所以1<m<2e,即实数m 的取值范国为(1,2e).故选C. 所以u的取值范国为（一名0 3.[解题思路]因为x)=号 (2)由(1)知x1x2=一 x >0，pa=-2a1… +h>0.以r=学 所以)-f()<m可化为m>》一fx 1 (小 因为十=20<<4： 因为(x)只有一个极值点.所以若 所以0<，<4<名 3是位点，国为（）子。，片以当0<<2时（侣） 所以f）-f2_--alnr-x+十alnz r1x生 TLT2 <0,当x>2时 ()广>0则y-号在02上单在 （xgx)(x+1-1)-2xlh (2,十∞)上单调递增，故y= 三≥。：则工子·“ (仔)=号：喜x趋向于0时心楚向于1F楚向千0，则 2rir:In 士1x2 二趋向于正无穷，当工趋的正无穷时，心楚向正无穷的造率运 (-x:)-2rn 1 2 远大于：趋向正无穷的追率，则号趋向于正无穷，若3不是极 T1-T2 值点，期3是 号-0=0脚a=号的一个根，且存在另一个根0 =x1-x+-2n4=4-2-2n tIZ2 2 T:I 1 <m<2,此时a=号：当a-号时f)-(侣-号) x2(x2-9 令=1=三 =1-1e010 2 令了(x)<0,解得0<x<m:令了(x)>0,解得x>m:所以 f(x)在(0，m)上单调递减，在(m,十o)上单调递增，满足题意， 设e0-1--m0<1<. 上a<号我a-号，即a∈(，号]U{} 则)=1+-子=>0， 2 [参考答案(-∞，号]U{号} 所以函数g()在(0,1)上单调递增 因为g(1)=0,所以g(t)<0, 4.[解题思路]根据题意得，了(x)一e十ax,x∈(0，十∞).由函数 所以若m>）二)恒成立，则m≥0，即实数m的最小值 f(x)在(0，+©)上既有极大位也有极小值，可得了(x)在(0， TIT: 十o)止有2个不同的家点，◆)=0：得a=一兰◆) 为0. 第八单元 导数在不等式、函数零点的综合应用 周测训练卷 由以上结论得g(4)>g(2).即八型>2，即f(4)> e 1,A[解题思路]当r>0时，令g(x)=巴，所以g'(x) ef(2),故B错误：对于C.因为f(-4)=f(4),f(-3)= e f(3),故只用判断f(4)>ef(3),由A逃项知f(4)> c-fxe)_)-f>0,所以g(x)=八巴 ef(3),但f(4)>e2f(3)无法判断是否成立，故C错误：对 (e)2 e e 于D,只用判断(4)<ef(2)是否成立，根据题设条件，无法 在(0，+∞)上单调递增，对于A,由以上结论得g(4)> 判断f(4)<ef(2)是否成立，故D错误，故进A, g3.即/@>得.40>e3.故A正确：时十B 2.A[解题思路]由xlny=ye=x,得rlny=r,则=lny,得y 新高考数学答案一28