第6单元 导数与导数的几何意义 周测训练卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学７—２　 第六单元 　导数与导数的几何意义 周测训练卷 考试时间４５分钟 测试内容:导数的概念、导数的几何意义、导数运算 　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的． １．(２０２４􀅰河北省九师联盟１０月月考)如图是一个装 满水的圆台形容器,若在底部开一个孔,并且任意相 等时间间隔内所流出的水的体积相等,记容器内水 面的高度h随时间t变化的函数为h＝f(t),定义域 为D,设t０∈D,t０±Δt∈D,k１,k２ 分别表示f(t)在 区间[t０－Δt,t０],[t０,t０＋Δt](Δt＞０)上的平均变化 率,则 (　　) A．k１＞k２ B．k１＜k２ C．k１＝k２ D．无法确定k１,k２ 的大小关系 ２．(２０２４􀅰河北衡水武强中学期中)函数f(x)＝log２x＋２x－ x ln２ 的图 象在x＝１处切线的斜率为 (　　) A．ln２ B．２ln２ C．２ D．２－１ln２ ３．(２０２４􀅰河南省睢县高级中学９月考试)设函数f(x)在点(１,f(１)) 处的切线方程为y＝２x＋１,则lim Δx→０ f(１＋Δx)－f(１) ２Δx ＝ (　　) A．４ B．２ C．１ D．１２ ４．(２０２４􀅰河南TOP二十名校调研)德国数学家莱布尼茨是微积分的 创立者之一,他从几何问题出发,引进微积分的概念．在研究切线 时,他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线 上距离无穷小的两个点”,这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线 y＝２ax＋lnx在点(１,２a)处的切线与直线y＝１２x＋２ 垂直,则常数 a的值是 (　　) A．－１２ B． １ ２ C．－ ３ ２ D． ３ ２ ５．(２０２４􀅰河北保定唐县一中二模)已知函数f(x)＝(x２＋２x－１)ex 的图象在x＝０处的切线与g(x)＝alnx－１的图象交于A(x１,y１), B(x２,y２)两点,且x２＝２x１,则a＝ (　　) A．ln２２ B． ２ ln２ C． ln３ ３ D． ３ ln３ ６．(２０２４􀅰陕西省咸阳市高中质量监测)函数f(x)＝x－alnx在区间 (１,６)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围为 (　　) A．(１,６) B．(１,３) C．(３,４) D．(４,６) ７．若 x２１－lnx１ y１ ＝１,y２＝x２－２,则(x１－x２)２＋(y１－y２)２ 的最小值是 (　　) A．１２ B． ２ ２ C．２ D．２ ８．(２０２４􀅰陕西咸阳永寿县中学第二次考试)已知幂函数f(x)＝(２m２ －m)xm－ １ ２在区间(０,＋∞)上单调递增,曲线y＝f(x)在点P 处的 切线与x 轴、y轴分别相交于A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为２,则点P 的坐标为 (　　) A．(２,２) B．(４,２) C．(４,１４) D．(２,８) 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分 分,有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰吉林长春吉大附中实验学校摸底)为了评估某治疗新冠肺 炎药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行 测量．已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变 化,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t变化的关系 如图所示．则下列结论正确的是 (　　) A．在t１ 时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t２ 时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在[t２,t３]这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化 率相同 D．在[t１,t２]和[t２,t３]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化 率相同 １０．(２０２４􀅰河北邢台四校联考)关于x的不等式２x２－３x－xlnx＋１ ≥ax＋b＋(x－２)２≥０在[１,＋∞)上恒成立,则 (　　) A．a＝－２ B．a＝２ C．b＝－３ D．b＝３ １１．(２０２４􀅰重庆巴蜀中学适应性月考)“牛顿切线法”是结合导函数求 零点近似值的方法,是牛顿在１７世纪首先提出的．具体方法是:设 r是f(x)的零点,选取x１ 作为r的初始近似值,在(x１,f(x１))处 作曲线f(x)的切线,交x轴于点(x２,０);在(x２,f(x２))处作曲线 f(x)的切线,交x 轴于点(x３,０);􀆺􀆺在(xn,f(xn))处作曲线 f(x)的切线,交x轴于点(xn＋１,０);可以得到一个数列{xn},它的 各项都是f(x)不同程度的零点近似值．其中数列{xn}称为函数 f(x)的牛顿数列．则下列说法正确的是 (　　) A．数列{xn}为函数f(x)＝lnx＋２x－４的牛顿数列,则xn＋１ ＝ xnlnxn＋５xn ２xn＋１ B．数列{xn}为函数f(x)＝lnx＋２x－２的牛顿数列,且x１∈(０, １),则对任意的n∈N∗,均有xn∈(０,１) C．数列{xn}为函数f(x)＝lnx＋２x－２的牛顿数列,且x１∈(０, １),则{xn}为递增数列 D．数列{xn}为f(x)＝x２－４的牛顿数列,设an＝ln xn＋２ xn－２ ,且a１＝ １,xn＞２,则数列{an}为等比数列 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．写出一个导函数恒大于等于２的函数f(x)＝　　　　． １３．(２０２４􀅰河南省一轮复习摸底)已知直线y＝kx＋b(k∈R,b≠０)是 曲线f(x)＝ex－１与g(x)＝１＋lnx的公切线,则k＋b＝　　　． １４．过点P(２,m)(m∈R)有３条直线与函数f(x)＝xex 的图象相切, 则m 的取值范围为　　　　． 四、解答题:本题共１小题,共１５分．解答应写出文字说明．证明过程 或演算步骤． １５．(２０２４􀅰江苏省淮安市五校第一次联考)已知函数f(x)＝cosxx , g(x)＝１x－ax． (１)若函数f(x)在点A(π２,０) 处的切线与函数g(x)的图象有公共 点,求实数a的取值范围; (２)若函数f(x)和函数g(x)的图象没有公共点,求实数a的取值 范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学７—１ 第六单元 导数与导数的几何意义 周测训练卷 9.AC[解题思路]在1时刻，两图象相交，说明甲，乙两人血管 中的药物浓度相同，故A正确：在2时刻，两图象的切线 1,A[解题思路]由容器的形状可如，在相同的变化时间内，高度 件率不相等，即两人的「(，)不相等，说明甲，乙两人血管 的减小量越来她大，且高度h的变化率小于0，所以f()在 中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B错误：由平均变化 区间[t。一△1，t],[tato十/]（△1>0）上的平均变化率由大 率公式知，甲、乙两人在[21]内，血管中药物浓度的平均 变小，即k>k.故选A 变化率均为)二，故C正确：在[]和[，s 2.B[解题思路]因为fx)-logr+2r-点f(x)-x2+2 两个时问段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为 ·n2-所以k=fa)=品+2·h2- =21n2,故 f)一2和f)-2,显然不相同，故D错误.故 12-11 1a-t2 选B 选AC. 3.C[解题思路]，函数f(,x)在点(1，f(1))处的初线方程为y=10.BC[解题思路]由2z2一3.x一xnx十1≥ax十b十(x一2)≥ 2x+l.f(1)-2,则1im1+A)-四 0.可得2.r2-3.r-xln.x十1(x-2)≥ax十b≥-(x 2△x 2)2,即x2+x-xlnr-3a.x+b2-x2+4x-4,记f(x) ==+①=f=1:选C =x2+x-xnx-3,s(x)=-x2 y=f6) △x +4.x-4,令h(x)=f(x)一g(x) 4.C[解题思路]由y=2ar十nx,得y=2a十，所以切线的针 =2x2-3x-xlnx+1,x≥1，则 r=kx+h h'(r)=4x-Inr-4,()= 率为k-2a+1,又曲线y=2ax+ln.r在点(1,2a)处的切线 4r-lx-4,则k(x)=4- 下=Sx 与直线y=之+2垂直，所以2a+1=一2，得a=一号.故 >0位成立，所以h'(x)在[1. 选C. 十∞)上单调递增且h'(1)=0, 5.B[解题思路]因为f(.x)=(x2+4x十1)心，所以f(0)=1. 所以当x≥1时，h(x)≥h(1)■0，所以f(x)≥g(x),当且 f(0)=一1，所以切线方程为y=x-1.由题意可知，aln.1 仅当x=1时，等号成立，即知图所示： 1=x1-1,aln(2c1)-1=2x1-1,两式相减，解得x1=aln2, 又(x)=2x-lnx,g(x)=-2.x+4,且广(1)=g'(1)= 2 所以aln=aln2,即西1=2，所以a=2故选B 2,从而y=ax十b为f(x)与g(,x)在x=1处的公切线时. 才能使原不等式幢成立，f(1)=一1，(1)=2，则在x 6.C[解题思路]设切点横坐标为x,所作切线针率为k,则k一 1处的切线方程为y十1=2(x一1)，即y=2r一3，得4= 广(x)=14,当4≤0时，k=1-4>0,救不存在1妇 2.b=一3.故选BC. 1-d0, 1.BCD[解题思路]记f(x)=lnx+2x-6,则/(x)=上+2， 1- =一1：当a>0时，满足 6 所以3< 所以f(x)在（工，八工）)处的切线斜率为k。=元十2， 1-a) 1 则f八x)在(。f(xn)处的切线方程为y-f(x) 44,故选C f)(x-).即y=1+2x+i.-6-1.今y=0.得x 2.D[解题思路]由=1=-2得：=后- -乙+运，即1=n+五，对 1+2x 1+2x y=x-2,则(1一x2)+(y1一y)”表示曲线f(.x)=x 一nx上的点与直线x一y一2=0上的点之间距离的平方： 于A,当b=4时，xa+1= 一工，l,十5五，故A错误：对 1+2x. 设)=-lru>0).:f()=2x-子(r>0,令 于B,当=2时x,+1=乙n十3还-，(3-n) 2.x.+1 2x.+1 (x》=1得：x=1,又f(1)=1,f(x)在(1，f(1))处的切 线方程为：x一y=0,∴.曲线f(x)=x2-lnr上的点与直线x 一y一2一0上的点之间距离的最小值即为直线x一y=0与 w+1一1= x一y-2=0之间的距离，.[(r1一x:)2+(y1一y)2]m 2x十1 10+2 =2.故选D. 2 ◆g-r-+1>0.则gu)-士-1-号， 所以当0x1时，g(x)>0,g(x)单调运增：当x>1 8.B[解题思路]依题意，2m2-m=1,解得m=1或m=一子，当 时·g'(x)<0,g(x)单调递减.则g(x)m=g(1)=0,即 当x>1时，g(x)<0.1∈(0,1)，假设x∈(0,1)，则有 m=-专时，八)=，画教f八)在(0，十∞)上单调递 L>1,所以1+1n1-人<0，所以+1-1= 减，不合题意：当m=1时，f(x)=x7,西数f(x)在(0， 1 十)上单调递增，符合题意，于是f(x)=x立，求导得广(x) =】设点P的坐标为（√厅），南线在点P处的切线 +n】<0.聊1<1小又1 2xA+1 2 (3-一>0，所以4+1∈(0.1)，剥由数学归纳法可 2.x十1 方程为y2元（江，整理为y 知，对任意n∈N·,均有x,∈(0,1)，故B正骑：对于C, 是V国镇切线在y轴上的我班分鞘为一士区，则 1 +1-,-2n22.又，∈01).则1n 2.xm+1 有宁，×寸国=十。国=2，解得=4，所以点P的 <0,2-2xm>0,即2-lnr。-2xw>0,则xw+1-xn>0, 则{x}为递增数列，故C正确：对于D,了(x)=2x 坐标为(1,2).故远B f(x)在(xm,f(x,)处的切线方程为y-f(x.)=f(xn) 新高考数学答案一21 (x二)令y=0.得1=1，一Gx, 则f(x)在点 受0）处的切线斜率为了（受）一号 -4_+4,所以正1+2= +4+2=x,+2) 2x2r 2n 所以切线方程为y=一（一受）即y=-是+1 41-2-4-2-。-2 2.x 2x. ,所以+1十2 2w+1-2 (x.+2) 得 (xm+2)9 -aa (z。-2)2 (x。-2)7 ,所以aw+1 -1=0. 2x 号-a 1n+2 因为函数定义为红≠01，所以方程(。一)十x一1 0有非零实数根， 2am,又a1=1.所以数列{u.》是以1为首项，2为公比的 等比数列，故D正确.故选BCD. 当u=二时x=1,符合题意，当a≠是时，则△=1+4(0 12.[解题思路]可设f(x)=x十2x,则f(x)=3.x2+2≥2.（答案 2 不唯一) ≥0，即≥2-1 元，且u≠2 [参考答案]x3+2x(答案不唯一) 13.[解题思路]对于函数f(x)=e一1，则'(x)=e,设(t,e一1) 所以实数：的取值范围是4≥2-1 π4 是曲线f(x)上的一点，切线率k=心，所以f(x)在点(t,d (2)因为函数f(x)和函数g(x)的图象没有公共点，所以(x) 1)处的切线方程为y-e+1=e(x一t),即y=ex+(1-t)e 一1，对于画数g(x)=1+lnx,则g(x)=】,根据斜率关系可 =g(,即=士-ar无实根，所以当x≠0时，A() cox十a.x2一1=0无实根， 得：g(r)=上=化，解得r=e,可得g(e)=1一1，可知切 因为h(一x)=h(x),即h(x)是偶函数，所以h(x)=cosx十a.x 一1=0在(0，十∞)上无实根. 点坐标为(e',1-1),则切线方程为y一(1-1)=C(x一e). h'(x)=2a.x-sinx,i记m(x)=h'(x）=-2ax-sinx 即y-cx-t,可得(1-1)d-1一一1，整理得(1-1)(d一1)- 则m'(x）-2a-cosx,r∈(0，+∞). 0,解得1-0或1一1，当1-0时，切线方程为y一x,此时-0， ①当a<0时，a.x2<0,又-1≤cosx≤1，则cosx一1≤0，所以 不符合题意，会去：当t=1时，切线方程为y=ex一I,故k=e, h(x)=cox十a.x2-1<0.满足h(x)=0在(0，+∞)上无 b=一1：综上所述：十b=e一1. 实根. [参考答案]e一】 ②当a=0时，h(x)=cosx-1=0在(0，+o∞)上有实根，不合 14.[解题思路]设切点为(1,1e),对函数f(.x)求导得(x)=(x十 题意，舍去. 1)e,切线斜率为(1)=(t十1)e,所以，曲线y=f(x)在点 (t,te)处的切线方程为y-te=(1+1)e(x一t),将点P的坐 ③当a≥之时.m'(r)=2a-eo≥0.所以(x)=2ar-sin 标代入切线方程可得m一te=(1十1)e(2-t).所以，m=(-产 在(0，十∞)上单调递增， 十21+2)e,令gt)=(-+21+2)e,其中1∈R. 则h'(x)>h'(0)=0.所以h(x)=cosx十a.x2-1=0在(0. 所以，g'(t)=(4-)c,列表如下： 十∞)上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,满足h(x)=0在(0，十∞)上无实根. -2 (-2.2) 2 (2,+00) g'(t) 0 0 ①当0Ka<号时，因为m')=2u-cox在(0，受)上单调 g(1) 减 板小值一6 增 极大值2e 减 递增，且m(0)=20-1<0,m( =2a>0 由g(1)<0可得t一21一2>0，解得1<1一V3或1>1十3，如 则存在唯一的∈(0，受）使m(x)=2a一co=0.列 下图所示： 表得 (0,x0 r m'(x） 0 m(x)=h'(x) 极小值 所以当x∈(0，xo)时，h(x)<h'(0)=0,则h(x)在(0，xo)单调 递减，则h(x)h(0)-0, 又因为h(2x)=4r2>0,且h(x)在(0，十oo)上连续， 所以h(x)=cosx十a.x2-1=0在(0,2π)上有实根.不合题意. 6 综上可知，实数a的取值范围是（一o,0) +o 由图可知，当一 。<m<0时，直线y=m与画数g()的图象 e 周测复盘卷 有三个交点 复盘1导数定义中极限的计算问题 [变式1一1]B[解题思路]依题意，令函数f(x)-lnx,求导得 [参考答案]-。<m<0 e fx)=1,所以ime+2A)-c=2me+2A）-fe x Ar-0 △r 息SrD 24x 15.[解](1)因为fx)-o.所以/(x)=二sinco型 x 2(e)=三.故透B, e 新高考数学答案一22