第4单元 指数函数与对数函数 周测训练卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学４—２　 第四单元 　指数函数与对数函数 周测训练卷 考试时间４５分钟 测试内容:指数、指数函数、对数、对数函数、函数应用 　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的． １．(２０２４􀅰云南昆明一中检测)函数y＝f(x)的图象与函数y＝３x 的 图象关于直线y＝x对称,则f(１３) ＋f(９)＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．(２０２４􀅰山东济南一中阶段测试)函数f(x)＝３x２－e|x|的部分图象 大致为 (　　) ３．(２０２４􀅰广东花都区调研)天文学上用绝对星等衡量天体的发光强 度,用目视星等衡量观测者看到的天体亮度．可用 M＝m－５lgdd０ (其中d０ 为常数)近似表示绝对星等 M,目视星等m 和观测距离d 之间的关系．若１号天体的绝对星等为０􀆰５４,目视星等为０􀆰０４,２ 号天体的绝对星等为－０􀆰３６,目视星等为－０􀆰０６,则观测者与１号 天体和２号天体的距离的比值约为 (　　) A．１０－ ５ ３ B．１０－０．１６ C．１０－０．０４ D．１０ ５ ３ ４．(２０２４􀅰湖北部分学校联考)设f(x)是定义域为 R的奇函数,且 f(x＋２)＝－f(x),当１＜x＜２时,f(x)＝log２x＋１,则f(２０２３２ ) ＝ (　　) A．log２３ B．log２３－１ C．－log２３ D．－log２３－１ ５．(２０２４􀅰江西上饶一中月考)已知函数f(x)＝log２(x２－ax＋３a)在 区间[２,＋∞)上递增,则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞,４) B．(－４,４) C．(－４,４] D．[－４,＋∞) ６．(２０２４􀅰山东滨州新高考联合质量测评)已知实数a,b满足lg(３a) ＋lgb＝lg(２a＋b),则a＋２b的最小值是 (　　) A．９ B．３ C．２ D．６ ７．(２０２４􀅰陕西西安中学月考)设a,b,c都是正数,且４a＝６b＝９c,则下 列结论错误的是 (　　) A．ab＋bc＝２ac B．ab＋bc＝ac C．４b􀅰９b＝４a􀅰９c D．１c＝ ２ b－ １ a ８．(２０２４􀅰江苏南通期中)已知正实数a,b,c满足ec＋e－２a＝ea＋e－c, b＝log２３＋log８６,c＋log２c＝２,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分 分,有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰广西壮族自治区桂林跨市检测)若函数f(x)的定义域与值 域相同,则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝２lnx B．f(x)＝log２(x＋１) C．f(x)＝１x２ D．f(x)＝７x＋１x－７ １０．(２０２４􀅰重庆市二检)已知实数a＞b＞０＞c＞d,则下列不等式中 一定正确的有 (　　) A．ln(a－c)＞０ B．ad＜bc C．ca＞ c＋b a＋b D．a ３＋b３＞a２b＋ab２ １１．(２０２４􀅰湖北宜都二中期中)已知函数f(x)＝ ax＋１,x≤０, －|log３x|,x＞０,{ 若g(x)＝f(f(x))＋１,则下说法正确的是 (　　) A．当a＞０时,g(x)有４个零点 B．当a＞０时,g(x)有５个零点 C．当a＜０时,g(x)有１个零点 D．当a＜０时,g(x)有２个零点 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰辽宁部分学校月考)若函数f(x)＝x＋２x＋１ ,f(lgm)＝６, f(lg２＋lgn)＝４,则f(lg１m ) ＝　　　　,n的值为　　　　． １３．(２０２４􀅰广东四校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意 x,y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且当x＞０时,f(x)＞０,f(k􀅰 ２x)＋f(４x＋１－８x－２x)＞０对任意x∈[－１,２]恒成立,则实数k的 取值范围是　　　　． １４．(２０２４􀅰 江苏省连云港市东海二中调研)已 知 函 数 f(x)＝ ２x２＋４x,x＜０, ２－x－１,x≥０,{ 若关于x的方程４f ２(x)－４a􀅰f(x)＋２a＋３＝０ 有５个不同的实根,则实数a的取值范围是　　　　． 四、解答题:本题共１小题,共１５分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． １５．(２０２４􀅰安徽皖江名校联盟第二次联考)已知对应关系f(x)＝４x －a􀅰２x＋３,a∈R． (１)若a＝２,求f(log２３)的值; (２)若对于区间[－２,２]内的任意一个数x,在区间[１,＋∞)内都存 在唯一确定的数f(x)和它对应,求实数a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学４—１ 新高考数学答案 — ９　 ２．ACD　[解题思路]由f(x)＝f(８－x)＋f(４),得f(４)＝f(８－ ４)＋f(４),f(４)＝０,所以f(x)＝f(８－x),f(x)关于直 线x＝４对称．由于f(x＋π)的图象关于点(－π,０)对 称,所以f(x)的图象关于(０,０)对称,所以f(x)是奇函 数,所以f(x＋１６)＝f(８－(－８－x))＝f(－８－x)＝ －f(８－(－x))＝－f(－x)＝f(x),所以f(x)的周期为 １６,A选项正确． f(２０２３)＝f(１２６×１６＋７)＝f(７)＝f(１)＝２０２２,B选 项不正确． 结合上述分析可知,f(x)的图象关于直线x＝４＋８k(k∈ Z)对称,故 C选项正确; f(x)关于点(８k,０)(k∈Z)对称,所以f(２x－１)关于点 (８k＋１２ ,０) (k∈Z)对 称,所 以f(２x－１)＋π 关 于 点 (８k＋１２ ,π) (k∈Z)对称,令k＝０,得f(２x－１)＋π关于 点 ( １２ ,π) 对称,D选项正确．故选 ACD． ３．[解题思路]当x≤１时,不等式f(x)＜f(x－１)为１－x２＜１－ (x－１)２,解得 １２ ＜x≤１ ;当１＜x≤２时,不等式f(x)＜f(x－ １)为log１ ２ x＜１－(x－１)２,易知log１ ２ x＜log１ ２ １＝０,１－(x－１)２ ≥０,解得１＜x≤２; 当x＞２时,不等式f(x)＜f(x－１)为log１ ２ x＜log１ ２ (x－１),解 得x＞２．综上,解集为:{x x＞ １２ } ． [参考答案]{x x＞ １２ } ４．[解题思路]①当x≤２时,x－１≤１,∵f(x)＝１０x－２－１０２－x在 (－∞,２]上单调递增,∴f(x)≤f(２)＝０,又f(x－１)≤f(１)＜ f(２)＝０,∴f(x)＋f(x－１)＜０恒成立; ②当２＜x≤３时,１＜x－１≤２,f(x)＝|x－３|－１＝２－x＜０,又 f(x－１)≤f(２)＝０,∴f(x)＋f(x－１)＜０恒成立; ③当３＜x≤４时,２＜x－１≤３,f(x)＝|x－３|－１＝x－４,f(x －１)＝|x－４|－１＝３－x;∴f(x)＋f(x－１)＝－１＜０恒成立; ④当x＞４时,x－１＞３,f(x)＝|x－３|－１＝x－４,f(x－１)＝ |x－４|－１＝x－５,∴f(x)＋f(x－１)＝２x－９＜０,解得:x＜ ９ ２ ,∴４＜x＜ ９２ ． 综上所述:不等式f(x)＋f(x－１)＜０的解集 为 ( －∞,９２ ) ． [参考答案]( －∞,９２ ) ５．[解题思路]若f(x)是“理想函数”,则满足:①对于定义域上的 任意x,恒有f(x)＋f(－x)＝０,即f(－x)＝－f(x),则函数 f(x)是奇函数;②对于定义域上的任意x１,x２,当x１≠x２ 时,恒 有f (x１)－f(x２) x１－x２ ＜０,即(x１－x２)􀅰[f(x１)－f(x２)]＜０,所以 x１＜x２ 时,f(x１)＞f(x２),或x１＞x２ 时,f(x１)＜f(x２),即函 数f(x)是单调递减函数,故f(x)为定义域上的单调递减的奇 函数．①f(x)＝ １x 是定义域为{x|x≠０}的奇函数,但在定义域 上不单调,所以不是单调递减函数,即f(x)不是“理想函数”; ②f(x)＝ln x２＋x＋１＝ln (x＋ １２ ) ２ ＋ ３４ ,定义域为 R,当 x≥－ １２ 时,f(x)＝ln x２＋x＋１单调递增,所以f(x)不是 “理想函数”;③f(x)＝１－２ x １＋２x ＝－１＋ ２ １＋２x 在定义域 R上为减 函数,且f(－x)＝１－２ －x １＋２－x ＝２ x－１ ２x＋１ ＝－f(x),所以f(x)是“理 想函数”;④f(x)＝ －x２,x≥０, x２,x＜０,{ 图象如下,在定义域 R上既是 奇函数,又是减函数,所以f(x)是“理想函数”． [参考答案]③④ ６．[解题思路]在f(x＋y)＋f(x－y)＝２f(x)􀅰f(y)中,令x＝y ＝０,则有２f(０)＝２[f(０)]２⇒f(０)＝０,或f(０)＝１,当f(０)＝０ 时,在f(x＋y)＋f(x－y)＝２f(x)􀅰f(y)中,令y＝０,则 有 f(x)＋f(x)＝２f(０)f(x)＝０⇒f(x)＝０,所以函数f′(x)是既 是奇函数又是偶函数;当f(０)＝１时,在f(x＋y)＋f(x－y)＝ ２f(x)􀅰f(y)中,令x＝０,则有f(y)＋f(－y)＝２f(０)f(y)＝ ２f(y)⇒f(y)＝f(－y)⇒f(x)＝f(－x)⇒f′(x)＝－f′(－x), 所以函数f′(x)是奇函数,因此函数f′(x)必为奇函数;若f(１) ＝ １２ ,在f(x＋y)＋f(x－y)＝２f(x)􀅰f(y)中,令x＝１,y＝ ０,得f(１)＋f(１)＝２f(１)f(０)⇒f(０)＝１,令x＝y＝１,得f(２) ＋f(０)＝２f(１)f(１)⇒f(２)＝－ １２ ,令x＝２,y＝１,得f(３)＋ f(１)＝２f(２)f(１)⇒f(３)＝－１,令x＝３,y＝１,得f(４)＋f(２) ＝２f(３)f(１)⇒f(４)＝－ １２ ,令x＝４,y＝１,得f(５)＋f(３)＝ ２f(４)f(１)⇒f(５)＝ １２ ,令x＝５,y＝１,得f(６)＋f(４)＝ ２f(５)f(１)⇒f(６)＝１,令 x＝６,y＝１,得 f(７)＋f(５)＝ ２f(６)f(１)⇒f(７)＝ １２ ,所以f(n)(n∈N∗ )具有周期性,周期 为６,且f(１)＋f(２)＋􀆺＋f(６)＝０,∑ ２０２７ i＝１ f(i)＝f(１)＋f(２)＋ 􀆺＋f(２０２７)＝３３７×[f(１)＋f(２)＋􀆺＋f(６)]＋f(１)＋f(２) ＋􀆺＋f(５)＝０＋ １２ － １ ２ －１－ １ ２ ＋ １ ２ ＝－１． [参考答案]奇　－１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四单元　指数函数与对数函数 周测训练卷 １．A　[解题思路]因为函数y＝f(x)的图象与函数y＝３x 的图象 关于直线y＝x 对称,所以f(x)＝log３x,所以f( １３ ) ＋ f(９)＝log３ １ ３ ＋log３９＝－１＋２＝１． 故选 A． ２．A　[解题思路]因为f(x)的定义域为 R,又f(－x)＝３(－x)２ －e|－x|＝３x２－e|x|＝f(x),所以f(x)是偶函数,因为f(０) ＝－１＜０,排除 BC选项,当x≥０时,f(x)＝３x２－e|x|＝ ３x２－ex,所以f′(x)＝６x－ex,令g(x)＝f′(x),所以g′(x) ＝６－ex,所以当０＜x＜ln６时,g′(x)＞０,当x＞ln６时, g′(x)＜０,所以g(x)在(０,ln６)上单调递增,在(ln６,＋∞) 上单调递减,即f′(x)在(０,ln６)上单调递增,在(ln６,＋∞) 上单调递减,又f′(０)＝－１,f′(ln６)＝６ln６－６＞０,f′(４)＝ ２４－e４＜０,所 以 存 在 x１∈(０,ln６),x２∈(ln６,４),使 得 f′(x１)＝０,f′(x２)＝０,所以当x∈(０,x１)时,f′(x)＜０,当 x∈(x１,x２)时,f′(x)＞０,当x∈(x２,＋∞)时,f′(x)＜０, 所以f(x)在(０,x１)上单调递减,在(x１,x２)上单调递增,在 (x２,＋∞)上单调递减,故 A符合,D不符合．故选 A． ３．B　[解题思路]设观测者与１号天体和２号天体的距离分别为 d１,d２,因为１号天体的绝对星等为０􀆰５４,目视星等为０􀆰０４, 所以０􀆰５４＝０􀆰０４－５lg d１ d０ ,解得d１＝１０－０．１d０,因为２号天 体的绝对星等为－０􀆰３６,目视星等为－０􀆰０６,所以－０􀆰３６＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —１０　 －０􀆰０６－５lg d２ d０ ,解得d２＝１００􀆰０６d０,所以 d１ d２ ＝ １０－０．１d０ １００．０６d０ ＝ １０－０．１６,故选B． ４．C　[解题思路]因为f(x＋２)＝－f(x),则f(x＋４)＝－f(x＋ ２)＝－[－f(x)]＝f(x),可知４为f(x)的周期,且２０２３２ ＝ ４×２５３－ １２ ,可得f(２０２３２ ) ＝f( － １ ２ ) ＝－f( ３ ２ ) ＝ － (log２ ３２ ＋１) ＝－log２３．故选 C． ５．C　[解题思路]令t(x)＝x２－ax＋３a,由题意知:t(x)在区间 [２,＋∞)上单调递增且t(x)＞０, a ２ ≤２ , t(２)＝４－２a＋３a＞０,{ 解 得－４＜a≤４,则实数a的取值范围是(－４,４]．故选 C． ６．B　[解题思路]由lg３a＋lgb＝lg(２a＋b)得３ab＝２a＋b,变形得 １ a ＋ ２ b ＝３． 因为 ( １a ＋ ２ b ) (a＋２b)＝５＋ ２b a ＋ ２a b ≥５＋２ ２b a × ２a b ＝９ ,所以a＋２b≥３,故选B． ７．B　[解题思路]设４a＝６b＝９c＝t＞１,则a＝log４t,b＝log６t,c＝ log９t,所以 b c ＋ b a ＝ log６t log９t ＋ log６t log４t ＝ lgt lg６ lgt lg９ ＋ lgt lg６ lgt lg４ ＝lg９lg６＋ lg４ lg６＝ lg９＋lg４ lg６ ＝ lg(９×４) lg６ ＝ lg６２ lg６＝２ ,即 b c ＋ b a ＝２ ,所 以 １ c ＋ １ a ＝ ２ b ,所以 １ c ＝ ２ b － １ a ,故 D正确; 由b c ＋ b a ＝２ ,所以ab＋bc＝２ac,故 A正确,B错误; 因为４a􀅰９c＝４a􀅰４a＝(４a)２,４b􀅰９b＝(４×９)b＝(６２)b＝ (６b)２,又４a＝６b＝９c,所以(４a)２＝(６b)２,即４b􀅰９b＝４a􀅰 ９c,故 C正确．故选B． ８．B　[解题思路]ec＋e－２a＝ea＋e－c⇒ec－e－c＝ea－e－２a,故令 f(x)＝ex－e－x,则f(c)＝ec－e－c,f(a)＝ea－e－a． 易知y＝－e－x＝－ １ex 和y＝ex 均为(０,＋∞)上的增函数, 故f(x)在(０,＋∞)上为增函数． ∵e－２a＜e－a,故由题可知,ec－e－c＝ea－e－２a＞ea－e－a,即 f(c)＞f(a),则c＞a＞０． 易知b＝log２３＋log２ ３６＝log２３ ３６＞２,log２c＝２－c,作出函 数y＝log２x与函数y＝２－x的图象,如图所示, 则两图象交点横坐标在(１,２)内,即１＜c＜２, ∴c＜b,∴a＜c＜b．故选B． ９．ABD　[解题思路]对于 A:因为lnx∈(－∞,＋∞),所以２lnx＞ ０,所以f(x)＝２lnx的定义域与值域均为(０,＋∞);对于 B:f(x)的 定 义 域 为[０,＋∞),因 为 x＋１≥１,所 以 log２(x＋１)≥log２１＝０,即f(x)＝log２(x＋１)的定义 域与值域均为[０,＋∞);对于 C:f(x)＝ １x２ 的定义域为 (－∞,０)∪(０,＋∞),值域为(０,＋∞);对于 D:f(x)＝ ７x＋１ x－７ 的定义域(－∞,７)∪(７,＋∞),f(x)＝７＋ ５０x－７ ≠７,即值域为(－∞,７)∪(７,＋∞)．故选 ABD． １０．BD　[解题思路]A选项,当a＝０􀆰５,c＝－０􀆰５时,ln(a－c)＝ ln１＝０,A错误;B选项,因为a＞b＞０,d＜０,所以ad＜ bd,又b＞０,d＜c＜０,故bd＜bc,从而ad＜bd＜bc,B正 确;C选项,ca － c＋b a＋b＝ ac＋bc－ac－ab a(a＋b) ＝ b(c－a) a(a＋b) ,因为 a＞b＞０＞c＞d,所以c－a＜０,a＋b＞０,故 ca － c＋b a＋b＝ b(c－a) a(a＋b)＜０ ,故c a ＜ c＋b a＋b ,C错误;D选项,a３＋b３－(a２b ＋ab２)＝(a３－a２b)＋(b３－ab２)＝a２(a－b)＋b２(b－a)＝ (a－b)(a２－b２)＝(a－b)２(a＋b),因为a＞b＞０,故a＋b ＞０,(a－b)２＞０,所以a３＋b３－(a２b＋ab２)＝(a－b)２(a ＋b)＞０,即a３＋b３＞a２b＋ab２,D正确．故选BD． １１．AC　[解题思路]当a＞０时,令f(x)＝t,由f(t)＋１＝０,解得 t＝ １３ 或t＝３或t＝－ ２a ． 作出函数f(x)的图象,如图１ 所示,易得f(x)＝t有４个不同的实数解,即当a＞０时, g(x)有４个零点．故 A正确,B错误;当a＜０时,令f(x) ＝t,所以f(t)＋１＝０,解得t＝ １３ 或t＝３或t＝－ ２a (舍),作出函数f(x)的图象,如图２所示,易得f(x)＝t 有１个实数解,即当a＜０时,g(x)有１个零点．故 C正 确,D错误．故选 AC． １２．[解题思路]因为f(x)＝x＋ ２x ＋１ ,所以f(－x)＝－x－ ２x ＋ １,所以f(x)＋f(－x)＝２,所以f(lg １m ) ＝f(－lgm)＝２－ f(lgm)＝２－６＝－４．由f(x)＝x＋ ２x ＋１＝４ ,解得x＝１或 ２,所以lg２＋lgn＝lg(２n)＝１或lg２＋lgn＝lg(２n)＝２,所以２n ＝１０或２n＝１００,所以n的值为５或５０． [参考答案]－４　５或５０ １３．[解题思路]对任意x,y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),令x ＝y＝０,得f(０)＝f(０)＋f(０),即 f(０)＝０,∀x１,x２∈R,x１ ＜x２,则x２－x１＞０,有f(x２－x１)＞０,f(x２)＝f[(x２－x１)＋ x１]＝f(x２－x１)＋f(x１)＞f(x１),因此函数f(x)在 R上单调 递增,由f(k􀅰２x)＋f(４x＋１－８x－２x)＞０,得f(k􀅰２x＋４x＋１ －８x－２x)＞f(０),于是k􀅰２x＋４x＋１－８x－２x＞０,整理得k＞ ２２x－４􀅰２x＋１,依题意,k＞２２x－４􀅰２x＋１对任意x∈[－１, ２]恒成立,令２x＝t,t∈ [ １２ ,４] ,函数g(t)＝t２－４t＋１,当t＝ ４时,g(t)max＝g(４)＝１６－１６＋１＝１,从而k＞１,所以实数k 的取值范围是k＞１． [参考答案]k＞１ １４．[解题思路]作出函数f(x)＝ ２x２＋４x,x＜０, ２－x－１,x≥０{ 的图象如下图 所示, 令t＝f(x),∵关于x的方程４f２(x)－４a􀅰f(x)＋２a＋３＝０ 有５个不同的实根,∴方程４t２－４at＋２a＋３＝０有２个不同的 实根t１,t２,∴Δ＝１６a２－１６(２a＋３)＞０,解得:a＜－１或a＞３; ∵y＝t１ 与y＝t２ 与f(x)共有５个交点,∴不妨令t１＜t２,又 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —１１　 ２x２＋４x＝２(x＋１)２－２≥－２,∴－２＜t１≤－１＜t２＜０或－１ ＜t１＜０＝t２,设g(t)＝４t２－４at＋２a＋３,当－２＜t１≤－１＜t２ ＜０时, g(－２)＝１９＋１０a＞０, g(－１)＝６a＋７≤０, g(０)＝２a＋３＞０, Δ＞０, { 解得:－ ３２ ＜a≤－ ７６ ;当－１ ＜t１＜０＝t２ 时, g(－１)＝６a＋７＞０, g(０)＝２a＋３＝０, －１＜－－４a８ ＜０ , Δ＞０, ì î í ï ï ïï 不等式组无解．综上所 述:实数a的取值范围为 ( － ３２ ,－ ７ ６ ] ． [参考答案]( － ３２ ,－ ７ ６ ] １５．[解](１)若a＝２,则f(x)＝４x－２􀅰２x＋３, 所以f(log２３)＝４log２３－２×２log２３＋３＝３２－２×３＋３＝６． (２)依题意,f(x)＝４x－a􀅰２x＋３为从区间[－２,２]到区间[１, ＋∞)的一个函数,其定义域为[－２,２],值域为[１,＋∞)的 子集, 因此问题转化为x∈[－２,２]时,有f(x)＝４x－a􀅰２x＋３∈ [１,＋∞)恒成立, 令t＝２x∈ [ １４ ,４] ,即当t∈ [ １ ４ ,４] 时,t２－a􀅰t＋３≥１恒 成立,于是a≤t＋ ２t 对一切t∈ [ １４ ,４] 恒成立, 而当t∈ [ １４ ,４] 时,t＋ ２ t ≥２ t 􀅰 ２ t ＝２ ２ ,当且仅当t＝ ２ t ,即t＝ ２时取等号,从而a≤２ ２, 所以实数a的取值范围是(－∞,２ ２]． 周测复盘卷 复盘１　指、对数运算转化问题 [变式１－１]ABD　[解题思路]由３a＝４b＝１２,得a＝log３１２,b＝ log４１２,对于 A,因为a＝log３１２,b＝log４１２,所以 １ a ＝ １ log３１２ ＝ log１２３, １ b ＝ １ log４１２ ＝log１２４,所以 １ a ＋ １ b ＝log１２３＋log１２４＝ log１２１２＝１,所以a＋b＝ab,所以 A 正确;对于 B,由选项 A 知 １ a ＋ １ b ＝１ ,a＞０,b＞０,所以a＋４b＝(a＋４b)( １a ＋ １ b ) ＝５ ＋４ba ＋ a b ≥５＋２ ４b a 􀅰a b ＝９ ,当且仅当４b a ＝ a b ,即a＝２b 时取等号,因为a＝log３１２,b＝log４１２,所以a≠２b,所以等号不 成立,所以a＋４b＞９,所以B正确;对于 C,由选项 A 知a＋b＝ ab,所以(a－１)２＋(b－１)２＝a２＋b２－２(a＋b)＋２＝a２＋b２－ ２ab＋２＝(a－b)２＋２＞２,所以 C错误;对于 D,因为a＋b＝ab,a ＞０,b＞０,所以ab＝a＋b≥２ ab,所以ab≥４,当且仅当a＝b时 取等号,因为a≠b,所以ab＞４,所以a２＋b２＞２ab＞８,所以 D正 确．故选 ABD． [变式１－２]D　[解题思路]２x＝３,则x＝log２３,log４ ８ ３ ＝y ,故x ＋２y＝log２３＋２log４ ８ ３ ＝log２３＋log２ ８ ３ ＝log２８＝３． 故选 D． [变式１－３][解题思路]因为２a＝３２＝２５,所以a＝５,所以loga２􀅰 log４x＝log５２􀅰log２２x＝ １ ２log５２ 􀅰log２x＝ １ ２ × lg２ lg５× lgx lg２＝ １ ２log５x＝ ２ ５ ×５ ,即log５x＝４,所以x＝５４,所以log５x＋logx５ ＝log５５４＋log５４５＝４＋ １ ４ ＝ １７ ４ ． [参考答案]１７ ４ 复盘２　指、对数比较大小问题 [变式２－１]A　[解题思路]已知α∈ ( π４ , π ２ ) ,则０＜cosα＜sinα ＜１,因为y＝(cosα)x 在(０,１)上是减函数,故c＝(cosα)cosα＞ (cosα)sinα＝a;因为幂函数y＝xcosα在(０,１)上是增函数,故c＝ (cosα)cosα＜(sinα)cosα＝b,故b＞c＞a．故选 A． [变式２－２]D　[解题思路]由题意得,a＝log５２,b＝log８３,３c＝２, 所以c＝log３２,b＝log８３＝log２３３＝ １ ３log２３ ,又因为log３２＝ lg２ lg３ ≈０．３０１００．４７７１≈０􀆰６３１ ,所以３(log３２)２≈１􀆰１９,所以 c b ＝ log３２ log８３ ＝ log３２ １ ３log２３ ＝ ３log３２ log２３ ＝３log３２× １ log２３ ＝３log３２×log３２＝３(log３２)２ ＞１,即c＞b,又因为a＝log５２＜log５ ５＝ １ ２ ＝log８２ ２＜log８３ ＝b,即a＜b＜c．故选 D． [变式２－３]B　[解题思路]在同一直角坐标系中作出y＝ex,y＝ e－x,y＝lnx,y＝－lnx的图象,由图象可知a＜c＜b．故选B． 复盘３　指、对数函数图象的应用问题 [变式３－１]B　[解题思路]设 M,N 两点的横坐标分别为x１,x２, f(x)＝x在R上递增;g(x)＝ex 在R上递增,且g(x)＞０,如图, 所以t＞０,且x１＝t,ex２＝t,x１＞x２,则x２＝lnt,所以|MN|＝ x１－x２＝t－lnt,t＞０,构造函数h(t)＝t－lnt,(t＞０),则h′(t) ＝１－ １t ＝ t－１ t ,当０＜t＜１时,h′(t)＜０,h(t)单调递减;当t＞１ 时,h′(t)＞０,h(t)单调递增,所以h(t)的最小值为h(１)＝１－ ln１＝１,即|MN|的最小值为１．故选B． [变式３－２]D　[解题思路]x＞０时,f(x) ＝ １x －x ,函数在(０,＋∞)上单调递减, f(１)＝０,令g(x)＝０可得f(x)＝x＋a, 作出函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的图 象如图所示: 由图可知,当a≥１时,函数y＝f(x)与函 数y＝x＋a的图象有２个交点,此时,函 数y＝g(x)有２个零点．因此,实数a的取值范围是[１,＋∞)． 故选 D． [变式 ３－３]ABD　[解题思路]对 ∀x∈R 都 有 f(x＋２)＝ －f(x),则f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x),即函数f(x)是周期 函数,周期为４,函数y＝f(x－１)的图象向左平移１个单位得 函数f(x)的图象,又函数y＝f(x－１)的图象关于点(１,０)对 称,因此函数f(x)的图象关于点(０,０)对称,即函数f(x)是 R上 的奇函数,当x∈(０,１]时,f(x)＝２x－１,即函数f(x)在(０,１] 上单调递增,在[－１,０)上单调递增,而２０－１＝０＝f(０),因此 f(x)在[－１,１]上单调递增,由f(x＋２)＝－f(x)得:f(x＋２) ＝f(－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝１对称,函数f(x)在 [１,２]上递减,对 于 A,f(２０２２)＝f(５０５×４＋２)＝f(２)＝ －f(０)＝０,A 正确;对于 B,因函数f(x)在[－１,１]上单调递 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋