第2单元 一元二次函数、方程和不等式 周测训练卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学２—２　 第二单元 　一元二次函数、方程和不等式 周测训练卷 考试时间４５分钟 测试内容:不等式性质,基本不等式,二次函数,二次不等式和方程 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的． 　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　１．(２０２４􀅰广东深圳南头中学月考)已知a,b,c∈R,则下列说法中错误 的是 (　　) A．ac＞ b c ,c＜０⇒a＜b B．a＞b＞c⇒ １b－c＜ １ a－c C．a＞b,ab＞０⇒１a＜ １ b D．a＞b⇒ac ２≥bc２ ２．(２０２４􀅰山东威海乳山银滩高级中学月考)已知函数y＝x２＋bx＋３ (其中b是实数)中,y的取值范围是[０,＋∞),若关于x 的不等式 x２＋bx＋３＜c的解集为(m－８,m),则实数c的值为 (　　) A．１６ B．２５ C．９ D．８ ３．(２０２４􀅰四川省资阳市第一次诊断性考试)已知a,b均为正数,且１a ＋２b＝ １ ２ ,则２a＋b的最小值为 (　　) A．８ B．１６ C．２４ D．３２ ４．(２０２４􀅰江西省“红色十校”第一联考)在 EXCEL软件中,函数 ROUND(number,num_digits)是四舍五入函数,它含有两个参数, 其中number表示要进行四舍五入的数,num_digits表示保留小数 的位数．如:ROUND(１􀆰４５６,２)＝１􀆰４６,已知m＝log２３＋ １ log２３ ,则 ROUND(m,０)＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ５．(２０２４􀅰湖北武汉华师大附中月考)已知a＝３log８３,b＝－ １ ２log １ ３１６, c＝log４３,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c ６．(２０２４􀅰山西介休一中第二次联考)设函数f(x)＝３２－ １ ２x＋１ ,正实 数a,b满足f(a)＋f(b－１)＝２,则 b ２ a＋１＋ a２ b＋２ 的最小值为 (　　) A．１２ B． １ ３ C． ２ ３ D． １ ４ ７．八一起义纪念碑(如图甲所示)是江西省南昌市的标志性建筑,它坐 落于南昌市中心的八一广场．纪念碑的碑身为长方体,正北面是叶 剑英元帅题写的“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．建军节 那天,李华同学去八一广场瞻仰纪念碑,把地面抽象为平面、碑身抽 象为线段AB,李华同学抽象为点C,则李华同学站在广场上瞻仰纪 念碑的情景可简化为如图乙所示的数学模型,设A,B 两点的坐标 分别为(０,a),(０,b),要使AB 看上去最长(可见角∠ACB 最大),李 华同学(点C)的坐标为 (　　) A．(ab,０) B．(２ ab,０) C．(ab,０) D．(２ab,０) ８．已知a＞０,b∈R,若x＞０时,关于x的不等式(ax－１)(x２＋bx－４) ≥０恒成立,则实数b＋２a 的最小值是 (　　) A．２ B．４ C．２ ２ D．１ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选项 中,有多项符合题目要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分分, 有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰吉林通化梅河口五中七模)十六世纪中叶,英国数学家雷科 德在«励智石»一书中首先把“＝”作为等号使用,后来英国数学家哈 里奥特首次使用“＜”和“＞”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的 引入对不等式的发展影响深远．若a,b,c∈R,则下列说法不成立的 是 (　　) A．若ab≠０且a＜b,则１a＞ １ b B．若０＜a＜１,则a３＜a C．若a＞b＞０,则b＋１a＋１＜ b a D．若c＜b＜a且ac＜０,则cb２＜ab２ １０．(２０２４􀅰新疆库尔勒高中联考)已知正数a,b满足a≥２a＋ １ b ,b≥１a ＋２b ,则 (　　) A．ab≥３ B．(a＋b)２≥１２ C．１a＋ １ b≥ ２ ３ ３ D． １ a＋ １ b＜ ２ １１．(２０２４􀅰名校联盟山东省优质校模拟)著名的伯努利(Bemouli)不 等式为:(１＋x１)(１＋x２)􀆺(１＋xn)≥１＋x１＋x２＋􀆺＋xn,其中实 数x１,x２,􀆺,xn 同号,且均大于－１．特别地,当n∈N∗,且x＞－１ 时,有(１＋x)n≥１＋nx．已知伯努利不等式还可以推广为:设x,r ∈R,若r≥１,且x＞－１,则(１＋x)r≥１＋rx．设a,b为实数,则下 列结论正确的为 (　　) A．任意a∈(０,＋∞),且任意b∈[１,＋∞),都有(１＋a)b＋ １＋１a æ è ç ö ø ÷ b ≥２(b＋１) B．任意b∈(１,＋∞),存在a∈(０,＋∞),使得ab＋b＜ab＋１ C．任意a∈(０,１],且任意b∈(－１,＋∞),都有(１＋b)a≤ab＋１ D．任意b∈[１,＋∞),存在a∈N∗,且a≤b,使得 ba æ è ç ö ø ÷ b ≤ １a－b＋１ 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．能够说明“设a,b,c是任意实数,若a２＞b２＞c２,则a＋b＞c”是假命 题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　． １３．(２０２４􀅰湖南邵阳邵东三中月考)某小区要建一 座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是 由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的十 字形地域,四个小矩形加一个正方形面积共为 ２００平方米．计划在正方形 MNPQ 上建一座花 坛,造价为每平方米４２００元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分) 铺设花岗岩地坪,造价为每平方米２１０元,再在四个角上铺设草 坪,造价为每平方米８０元．设AD 长为x 米,总造价为S元,则当x 为　　　　时,总造价S最小为　　　　元． １４．(２０２４􀅰安徽第一届百校大联考)已知正实数m,n满足２m３＋２n３ ＋６mn＝２７,则m＋n的取值范围为　　　　． 四、解答题:本题共１小题,共１０分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． １５．(２０２４􀅰江苏盐城东台中学模拟)某服装厂生产一批羽绒服,由于 受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,其次品率p与日 产量x(万件)之间满足关系:p＝ １ １２－x ,０≤x≤m, ３ ４ ,x＞m ì î í ï ï ï ï (其中m 为小 于１２的正整数)．已知每生产１万件合格的羽绒服可以盈利３万 元,但每生产１万件次品将亏损１万元,故厂方希望定出合适的日 产量(注:次品率＝次品数/生产量,如p＝０􀆰１表示每生产１０件产 品,有１件为次品,其余为合格品)． (１)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y(万元)表示为日产量x (万件)的函数; (２)当日产量为多少时,可获得最大利润? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学２—１ 新高考数学答案 — ３　 第二单元　一元二次函数、方程和不等式 周测训练卷 １．B　[解题思路]ac ＞ b c ,不等式两边同时乘以,得a＜b,故 A正 确;a＞b＞c,则a－c＞b－c＞０,所以 １a－c＜ １ b－c ,故 B错误; a＞b,不等式两边同时除以ab,得 １b ＞ １ a ,故 C正确;a＞b, 当c２＞０时,ac２＞bc２,当c２＝０时,ac２＝bc２,所以ac２≥bc２, 故 D正确．故选B． ２．A　[解题思路]因为y的取值范围是[０,＋∞),则b２－１２＝０, 因为不等式x２＋bx＋３＜c的解集为(m－８,m),则令x２＋bx ＋３＝c,即x２＋bx＋３－c＝０,两根x１＝m－８,x２＝m,则 |x２－x１|＝ (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ b２－４(３－c)＝８,即 １２－４(３－c)＝８,且判别式Δ＝b２－４(３－c)＝１２－４(３－ c)＞０,解得c＝１６,故选 A． ３．B　[解题思路]因为a,b均为正数,且 １a ＋ ２ b ＝ １ ２ ,所以２a＋b ＝２ １a ＋ ２ b( )(２a＋b)＝２ ４＋ b a ＋ ４a b( ) ≥２ ( ４＋ ２ ba 􀅰４a b ) ＝１６,当且仅当 b a ＝ ４a b 时,即a＝４,b＝８时 等号成立,故选B． ４．B　[解题思路]函数y＝log２x 在(０,＋∞)上单调递增,则有１ ＝log２２＜log２３＜log２４＝２,令 函 数f(x)＝x＋ １ x ,显 然 f(x)在(１,２)上单调递增,当x∈(１,２)时,f(x)∈(２,２􀆰５)． 因此２＜log２３＋ １ log２３ ＜２􀆰５,即２＜m＜２􀆰５,所以 ROUND (m,０)＝２,故选B． ５．A　[解题思路]由题意可得a＝３log８３＝３× log２３ log２２３ ＝log２３＞１, b＝－ １２log １ ３ １６＝－ １２ × log３１６ log３ １ ３ ＝log３４＞１,０＜c＝log４３ ＜１,又log２３－log３４＝ lg３ lg２－ lg４ lg３＝ (lg３)２－lg２lg４ lg２lg３ ,由于lg２ ＞０,lg４＞０,lg２≠lg４,∴lg２lg４＜ (lg２＋lg４２ ) ２ ＝(lg ８)２＜ (lg３)２,故log２３－log３４＞０,∴a＞b,综合可得a＞b＞c,故选 A． ６．D　[解题思路]根据已知得f(－x)＋f(x)＝２,所以函数f(x) 的图象关于点(０,１)对称,易知f(x)在 R上为增函数,所以 由f(a)＋f(b－１)＝２得,a＝１－b,所以a＋b＝１,所以(a＋ １)＋(b＋２)＝４,所以 b ２ a＋１＋ a２ b＋２＝ １ ４ [(a＋１)＋(b＋２)]􀅰 ( b ２ a＋１＋ a２ b＋２) ＝ １ ４ [a２＋ (b＋２)b２ a＋１ ＋ (a＋１)a２ b＋２ ＋b ２ ] ≥ １ ４ (a２＋２ab＋b２)＝ １４ (a＋b)２＝ １４ ,当且仅当a＝ ３５ ,b＝ ２ ５ 时取等号．故选 D． ７．A　[解题思路]设OC＝c,则C(c,０)． tan∠ACB＝tan(∠OCA－∠OCB)＝tan∠OCA－tan∠OCB１＋tan∠OCAtan∠OCB ＝ a c － b c １＋ac 􀅰b c ＝a－b c＋abc ≤ a－b ２ c􀅰abc ＝a－b ２ ab ,当且仅当c＝ ab c ,即c＝ ab时取等号,∵∠ACB 为锐角,故当tan∠ACB 最大时,∠ACB 最大．故选 A． ８．B　[解题思路]设f(x)＝ax－１,g(x)＝x２＋bx－４,因为a＞０, 所以当０＜x＜ １a 时,f(x)＝ax－１＜０,当x＞ １a 时,f(x) ＝ax－１＞０,由(ax－１)(x２＋bx－４)≥０可知f(x)g(x)≥ ０,当f(x)≤０时,g(x)≤０,即当０＜x≤ １a 时,g(x)≤０．当 f(x)≥０时,g(x)≥０,即当x≥ １a 时,g(x)≥０．所以对于 g(x)＝x２＋bx－４,必有g １a( ) ＝０,即 １ a２ ＋ba －４＝０ ,得 b＝４a－ １a ,所以当a＞０时,b＋ ２a ＝ ４a－ １ a( ) ＋ ２ a ＝４a ＋ １a ≥２ ４a× １ a ＝４ ,当且仅当４a＝ １a ,即a＝ １２ 时,等 号成立,所以b＋ ２a 的最小值为４．故选B． ９．ACD　[解题思路]由题意,当a＝－２,b＝１时,满足a＜b,但 １a ＜ １b ,∴A错误;∵０＜a＜１,∴a３－a＝a(a２－１)＝a(a ＋１)(a－１)＜０,∴a３＜a,∴B正确;∵a＞b＞０,∴b＋１a＋１ －ba ＝ a－b a(a＋１)＞０ ,∴C错误;∵c＜b＜a,ac＜０,∴a＞ ０,c＜０,b∈R,当b＝０ 时,则cb２＝ab２,∴D 错 误．故 选 ACD． １０．ABD　[解题思路]由a≥ ２a ＋ １ b ,b≥ １a ＋ ２ b ,得a＋b≥ ３a ＋ ３b ,即a＋b≥３􀅰a＋bab ,而a＞０,b＞０,则ab≥３,A 正 确;显然a＋b≥２ ab,当且仅当a＝b时取等号,则(a ＋b)２≥(２ ab)２≥１２,B正确;取a＝２,b＝２,则满足a ≥ ２a ＋ １ b ,b≥ １a ＋ ２ b ,此时 １ a ＋ １ b ＝１＜ ２ ３ ３ ,C错 误;由a≥ ２a ＋ １ b ,得a＞ ２a ,即a＞ ２,于是 １a ＜ ２ ２ , 同理 １ b ＜ ２ ２ ,则 １ a ＋ １ b ＜ ２ ,D正确．故选 ABD． １１．ACD　[解题思路]选项 A:由a＞０,b≥１,则(１＋a)b≥１＋ab, 且 １＋ １a( ) b ≥１＋ba ．∴ (１＋a)b＋ １＋ １a( ) b ≥２＋ a＋ １a( )b,由基本不等式可知a＋ １ a ≥２ a 􀅰 １ a ＝ ２,当且仅当a＝１时 取 等,∴(１＋a)b＋ １＋ １a( ) b ≥ ２(b＋１),故选项 A正确;选项B:∵a＞０,∴a－１＞－１, 又b＞１,∴ab＝(１＋a－１)b≥１＋b(a－１),即ab≥１＋ab －b,∴ab＋b≥ab＋１恒成立,故选项 B错误;选项 C: ∵０＜a≤１,且b＞－１,∴ １a ≥１ ,且ab＞－１,∴(１＋ ab) １ a ≥１＋ １a 􀅰ab＝１＋b,即 ０＜１＋b≤(１＋ab) １ a , ∴(１＋b)a≤ab＋１,故 选 项 C 正 确;选 项 D:① 若b∈ N∗ ,则当a＝b时,不等式 ba( ) b ≤ １a－b＋１ 显然成立; ②若b∉N∗ ,∵b≥１,∴a－bb ＝ a b －１≥－１ , a b( ) b ＝ １＋ a－bb( )[ ] b ≥１＋a－b,∴ 当a∈ (b－１,b)时, a b( ) b ≥１＋a－b＞０．∴ ba( ) b ≤ １a－b＋１ ,记[b]为不 超过b的最大整数,易知[b]∈(b－１,b),∴当a＝[b] 时, b a( ) b ≤ １a－b＋１ 成立,∴任意b∈[１,＋∞),存在 a∈N∗ ,且a≤b,使得 ba( ) b ≤ １a－b＋１ ,故选项 D 正 确,故选 ACD． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 — ４　 １２．[解题思路]令a＝－３,b＝－２,c＝１,则a２＞b２＞c２,此时a＋b ＝－５＜１＝c,所以原命题是假命题． [参考答案]－３、－２、１(答案不唯一) １３．[解题思路]设AD＝x,DQ＝y,因为两个相同的矩形ABCD 和 EFGH 的面积共为２００m２,所以x２＋４xy＝２００,即y＝２００－x ２ ４x , 所以总造价S＝４２００x２＋２１０×４xy＋８０􀅰４􀅰 １２y ２＝３８０００＋ ４０００x２＋４０００００ x２ ＝３８０００＋２ ４０００x２×４０００００ x２ ＝３８０００＋ ８００００＝１１８０００元,当且仅当４０００x２＝４０００００ x２ 时,即x＝ １０ 时,等号成 立,所 以 S 的 最 小 值 为 １１８０００ 元,此 时 x 的 值 为 １０． [参考答案] １０　１１８０００ １４．[解题思路]根据题意可得:２m３＋２n３＋６mn＝２７,即２(m＋n) (m２＋n２－mn)＋６mn＝２７,设 m＋n＝t,则:２t(t２－３mn)＋ ６mn＝２７,２t３－６tmn＋６mn＝２７,∴２t ３－２７ ６t－６ ＝mn ,∵m,n＞０, ∴２t ３－２７ ６t－６ ＞０ ,∴(２t３－２７)(６t－６)＞０,解得０＜t＜１或t＞ ３３４ ２ ,又∵２t ３－２７ ６t－６ ＝mn≤ ( m＋n ２ ) ２ ＝t ２ ４ ,∴２t ３－２７ ６t－６ － t２ ４ ≤ ０,化简得(t－１)(t３＋３t２－５４)≤０,①当０＜t＜１时,不等式不 成立;②当t＞３ ３４ ２ 时,t３＋３t２－５４≤０,即(t３－２７)＋３(t２－９) ≤０,(t－３)(t２＋６t＋１８)≤０,又t２＋６t＋１８＞０恒成立,可得 ３３４ ２ ＜t≤３ ,∴m＋n的取值范围为 (３ ３４ ２ ,３] ． [参考答案](３ ３４ ２ ,３] １５．[解](１)由题意可知y＝３􀅰(１－p)x－１􀅰px＝(３－４p)x,又 因为p＝ １ １２－x ,０≤x≤m, ３ ４ ,x＞m,{ 因此当０≤x≤m 时, y＝(３－４p)x＝ (３－４􀅰 １１２－x)x＝ ３２x－３x２ １２－x , 当x＞m 时,y＝(３－４p)x＝ (３－４× ３４ ) 􀅰x＝０, 所以盈利额y(万元)与日产量x(万件)之间的函数关系式为: y＝ －３x２＋３２x １２－x ,０≤x≤m, ０,x＞m．{ (２)当x＞m 时,每天的盈利额为０; 因此当０≤x≤m 时,设u＝１２－x,０≤x≤m, 则x＝１２－u,且u∈[１２－m,１２], 则y＝－３ (１２－u)２＋３２(１２－u) u ＝ －３u２＋４０u－４８ u ＝－３(u＋１６u ) ＋４０,分以下两种情形讨论: 情形一:当１２－m≤４,即８≤m＜１２时, y＝－３(u＋１６u ) ＋４０≤－３×２ u× １６ u ＋４０＝１６ , 当且仅当u＝１６u ,即u＝４∈[１２－m,１２]时,y取最大值１６,此 时x＝８． 情形二:当１２－m＞４,即０≤m＜８时,y＝－３(u＋１６u ) ＋４０ 在[１２－m,１２]上单调递减, 所以当u＝１２－m,即x＝m 时,y取最大值． 综上所述,当０≤m＜８时,日产量x＝m(万件)时,可获最大利 润;当８≤m＜１２时,日产量x＝８(万件)时,可获最大利润． 周测复盘卷 复盘１　基本不等式应用条件问题 [变式１－１]ABC　[解题思路]不等式a２＋b２≥２ab成立的条件是 a,b∈R;a＋b２ ≥ ab 成立的条件是a≥０,b≥０,A 错;由于x∈ (－∞,０)∪(０,＋∞),故函数y＝x＋ １x 无最小值,B错;由于 sinx＝ ４sinx 时,sinx＝２无解,故y＝sinx＋ ４sinx 的最小值不为４, C错;当x＞０且y＞０时,xy ＞０ ,y x ＞０ ,由基本不等式可得 y x ＋xy ≥２ ,当且仅当x＝y时等号成立;而“yx ＋ x y ≥２ ”的充要 条件是“xy＞０”,因为x＞０,y＞０⇒xy＞０且xy＞０推不出x＞ ０且y＞０,所以 D正确．故选 ABC． [变式１－２][解](１)∵４x＋４－x≤２x＋２－x＋ ７４ , ∴(２x＋２－x)２－２≤２x＋２－x＋ ７４ , 即(２x＋２－x)２－(２x＋２－x)－１５４ ≤０ , 即 (２x＋２－x－ ５２ ) (２x＋２－x＋ ３ ２ ) ≤０, 解之得－ ３２ ≤２ x＋２－x≤ ５２ , ∵２x＋２－x≥２ ２x×２－x＝２,当且仅当x＝０时取得等号, ∴２≤２x＋ １ ２x ≤ ５２ ⇒ (２x)２－２×(２x)＋１≥０, ２×(２x)２－５×(２x)＋２≤０,{ 解得 １ ２ ≤２ x≤２⇒２－１≤２x≤２１, 由y＝２x 在R上单调递增可得－１≤x≤１,故 M＝[－１,１]． (２)∵m,n∈M,且m＞０,n＞０,则m,n∈(０,１], 由 m＋２ n＝１,两边平方得,m＋４n＋４ mn＝１, 所以 １ ４m＋ １ n － ３ mn n ＝m＋４n＋４ mn４m ＋ m＋４n＋４ mn n － ３ mn n ＝nm ＋ m n ＋ n m ＋ m n ＋ １７ ４ ＝ ( nm ＋ m n ) ２ ＋ nm ＋ m n ＋ ９ ４ , 不妨令t＝ nm ＋ m n ,则t≥２,当且仅当m＝n＝ １９ 时等号 成立, 所以 １ ４m＋ １ n － ３ mn n ＝t ２＋t＋ ９４ ＝ (t＋ １ ２ ) ２ ＋２, 由二次函数的单调性可知 (t＋ １２ ) ２ ＋２≥３３４ ,当t＝２时取得 等号, 综上,当m＝n＝ １９ 时,１ ４m＋ １ n － ３ mn n 取到最小值３３ ４ ． 复盘２　二次不等式恒成立、有解问题 [变式２－１]D　[解题思路]因为命题“∃x∈R,(１－a)x２＋(１－ ２a)x＋１≥０”为真命题,若１－a＝０,即a＝１,则∃x∈R,－x＋１ ≥０;若１－a＜０,即a＞１,要使得命题为真命题,则Δ＝(１－ ２a)２－４(１－a)≥０,即４a２－３≥０,解得a≤－ ３２ 或a≥ ３２ ,又 因为a＞１,所以此时a＞１;若１－a＞０,即a＜１,则满足命题 “∃x∈R,(１－a)x２＋(１－２a)x＋１≥０”为真命题．综上,a∈R, 故选 D． [变式２－２]A　[解题思路]∵f(x)＝x２＋|x－１|,f(x)≥(m＋ ２)x－１,∴x２＋|x－１|≥(m＋２)x－１,即(x－１)２＋|x－１|≥ mx,令g(x)＝x２－２x＋１＋|x－１|,若g(x)＝x２－x,x≥１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋