第2单元 一元二次函数、方程和不等式 周测复盘卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学２—４　 第二单元 　一元二次函数、方程和不等式 周测复盘卷 复盘１　基本不等式应用条件问题 典例１ 第１４题 错因 忽略基本不等式的使用条件 复盘 要点 基本不等式是解决代数式最值的常用工具,但在实际应用 中,常由于忽略使用基本不等式的前提条件而致错．尤其等 号不成立时,要学会构造函数求解最值． 解题 关键 解题关键是２m３＋２n３＋６mn＝２７,由立方和公式展开２(m＋ n)(m２＋n２－mn)＋６mn＝２７,通过换元设 m＋n＝t,表示 ２t３－２７ ６t－６ ＝mn ,再利用mn的范围去表示m＋n的范围． 反思 提高 利用基本不等式解决最值错因归纳:①忽视“正数”条件致 错;②忽略验证“积为定值”或“和为定值”致错;③等号不成 立致错． [变式１－１]　(多选)(２０２４􀅰江苏南通百校联考)下面结论错误的是 (　　) A．不等式a２＋b２≥２ab与a＋b２ ≥ ab 成立的条件是相同的 B．函数y＝x＋１x 的最小值是２ C．函数y＝sinx＋ ４sinx ,x∈ (０,π２) 的最小值是４ D．“x＞０且y＞０”是“yx＋ x y≥２ ”的充分条件 [变式１－２]　(２０２４􀅰新疆乌鲁木齐高中阶段考)已知关于x的不等 式４x＋４－x≤２x＋２－x＋７４ 的解集为M． (１)求集合M; (２)若m,n∈M,且m＞０,n＞０,m＋２n＝１,求１４m＋ １ n－ ３ mn n 的 最小值． 复盘２　二次不等式恒成立、有解问题 典例２ 第８题 错因 转化方向混乱 复盘 要点 对于二次不等式恒成立或有解问题,通常需要借助二次函数 的图象进行理解,充分明白三个二次的“联姻”关系,进而解 决相关问题． 解题 关键 根据不等式恒成立,转化为g(x)＝x２＋bx－４,必有g(１a ) ＝ ０进而确定得b＝４a－１a ,然后利用基本不等式求最值． 反思 提高 二次不等式恒成立(或有解)问题的解法: ①若 f(x)在 区 间 D 上 有 最 值,则∀x∈D,f(x)＞０⇔ f(x)min＞０;∀x∈D,f(x)＜０⇔f(x)max＜０; ②若能分离常数,即将问题转化为:a＞f(x)(或a＜f(x)), 则a＞f(x)⇔a＞f(x)max;a＜f(x)⇔a＜f(x)min; ③讨论函数,排除不合题意的参数范围,筛选出符合题意的 参数范围． [变式２－１]　(２０２４􀅰山东青岛莱西质检)若命题“∃x∈R,(１－a)x２ ＋(１－２a)x＋１≥０”为真命题,则实数a的取值范围为 (　　) A．a≤１ B．a＞１ C．a≤－ ３２ 或a≥ ３２ D．a∈R [变式２－２]　已知f(x)＝x２＋|x－１|,不等式f(x)≥(m＋２)x－１ 恒成立,实数m 的取值范围是 (　　) A．[－３－２ ２,０] B．[－３－２ ２,－３＋２ ２] C．[－３＋２ ２,０] D．(－∞,－３－２ ２]∪[－３＋２ ２,＋∞) 复盘３　利用基本不等式求最值中结构变形问题 典例３ 第６题 错因 结构变形不合理 复盘 要点 基本不等式是求解代数式最值的重要工具之一,其特点是灵 活性、技巧性较强,解答时需仔细观察题设条件与所求代数 式之间的关系,结合灵活变形,通过构造、消元、换元等考虑, 解决最值． 解题 关键 解题关键是先根据已知得f(－x)＋f(x)＝２,得出f(a)＋ f(b－１)＝２得,a＝１－b,所以a＋b＝１,所以(a＋１)＋(b＋２) ＝４,b ２ a＋１＋ a２ b＋２＝ １ ４ [(a＋１)＋(b＋２)]( b ２ a＋１＋ a２ b＋２) ＝ １ ４[a ２＋ (b＋２)b２ a＋１ ＋ (a＋１)a２ b＋２ ＋b ２] ≥１４(a ２＋２ab＋b２)＝ １ ４ (a＋b)２＝１４． 反思 提高 利用基本不等式解最值的技巧:①凑项;②凑系数;③分离; ④换元;⑤整体代换;⑥取平方;⑦构造;⑧添加参数．注意: 对于较大难度的基本不等式应用问题往往需要进行灵活变 形及多种方法的综合运用． [变式３－１]　(多选)已知x２(y２＋１)＝４,则 (　　) A．xy＜２ B．x２y≥－１ C．x＋xy≤２ ２ D．x２＋xy≤１７４ [变式３－２]　(２０２４􀅰湖北宜荆荆随１０月联考)已知a,b均为正数, 且a＋２b＝１,则２a＋ ４a＋b b 的最小值为 (　　) A．１１ B．１３ C．１０ D．１２ [变式３－３]　(２０２４􀅰山西大学附中月考)若正实数a,b满足a＋b＝ １,则 b ２ a＋１＋ a２ b＋２ 的最小值为　　　　． 复盘４　提高综合练 １．(多选)(２０２４􀅰湖南长沙市高中模拟)设a,b为两个正数,定义a,b 的算术平均数为A(a,b)＝a＋b２ ,几何平均数为G(a,b)＝ ab,则有: G(a,b)≤A(a,b),这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代, 美国数学家 D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”,即Lp(a,b)＝ ap＋bp ap－１＋bp－１ ,其中p为有理数．下列关系正确的是 (　　) A．L０．５(a,b)≤A(a,b) B．L０(a,b)≥G(a,b) C．L２(a,b)≥L１(a,b) D．Ln＋１(a,b)≤Ln(a,b) ２．(２０２４􀅰山西太原市区县１０月联考)已知定义在R上的函数f(x) 满足f(x＋２)＝f(－x),f(x＋１)＝－f(x－１),当x∈[０,１]时, f(x)＝－x２＋２x,若f(a)＝f(２b),其中a∈[１,２],b∈ [２,５２],则当 １ a＋ ２ b－１ 取最小值时,f(a)＝ (　　) A．１２ B． ３ ４ C． ７ ８ D． ８ ９ ３．(２０２４􀅰陕西第一次联考)已知a＝log０．３５,b＝log２５,则 (　　) A．２a＋b－ab＜０ B．b－２a－ab＜０ C．a＋３b＋ab＞０ D．a－２b＞２a＋b ４．(多选)(２０２４􀅰河北保定部分高中月考)已知实数a,b,c满足c＞１ 且c２＋ab＝c＋abc,则下列结论正确的是 (　　) A．|a|＋|b|＞２ B．若c＝a＋b,则３a＋４b的最小值为７＋４ ３ C．log２|a|＋log２|b|－log２(１＋c２)的最大值为－１ D．若４c２－a４－b４＝６,则c的最小值为 ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学２—３ 12.[解题思路]令d=-3,b=-2.c=1,则a2>b>c2,此时a+b =一5<1=c,所以原命题是醒命题. 周测复盘卷 [参考答案]一3、一2、1（答案不唯一） 13.[解题思路]设AD=x,DQ=y,因为两个相同的矩形ABCD和 复盘1 基本不等式应用条件问题 BGH的面积共为200m,所以2+4y=200,即y=200=主 [变式1-1]ABC[解题思路]不等式a+≥2ab成立的条件是 所以总造价S=4200x2+210×4y+80·4·7y=38000+ a,bCR:生>历底主的条件是a≥0,6≥0，A错：由于r∈ (-0,0)U(0,十0)，故画数y=r十上无最小值.B错：由于 且000r2+4000038000+2/400r2×4000 =38000+ sin.r=- 8000=11800元.当且仅当4000r2=40000时.即x=V10 时，ir-2无解，故=r十品的最小值不为4 sinr C错：当x>0且y>0时，二>0.义>0，由基本不等式可得义 时，等号成主，所以S的最小值为118000元，此时x的值 为√10. 十号≥2，当且仅当上一y时等号成立：而“士+兰≥2”的充要 y y [参考答案]√/10118000 条件是“ry>0”,因为x>0,y>0→xy>0且y>0推不出x> 14.[解题思路]根据题意可得：2m3+2n2+6mn=27,即2(m十n) 0且y>0,所以D正确.故选ABC (m2+2-mn)十6mn=27,设m十n=1,则：21(2-3mn)+ [变式1-2][解](1D:4+4<2+2+了 7 6m=27,2r-6mn+6mm=27.2-2=mm,m.n>0. 61-6 2-2 (2+2)y-2+2+子， 61-6 >0.(21-27)(61-6)>0,解得0<1<1或> 即2+2-(2r+2)-<0 即(2+2-)(2+2+受）≤0， 0,化简得(1-1)(+32-54)≤0，①当0<1<1时，不等式不 3 成立4②当>3酒时.产+32-54≤0，Pr-27)+3(-9) 解之得-2≤2+2≤： 2 :2+2≥2√2×2-2，当且仅当x=0时取得等号， ≤0，(1-3)(t2+61+18)≤0，又t+61+18>0恒成立，可 22+受{60 2 解得分<2<221<2r<2, [参考答案（亚， 由y一2在R上单调递增可得一1≤x≤1，故M-[一1,1门. (2),m,nM,且m>0,n>0,则m,n∈(0,1]， 15.[解](1)由题意可知y=3·(1-p)x-1·p.x-(3-4p)x,又 由√m+2m=1,两边平方得，m十4n十4√mm=1, 12-0≤x≤m 因为p 因此当0≤x≤m时。 所以品。3网 >m, =m十4u十4Wmm十4n十4ma3m 32x-3.x2 4m y=(3-1p)r= 12-x /m+17 4 当>m时y=(3-4p)r=(3-4X是） 3 ·r=0. =(√+)+√品+√+号 所以盈利额y(万元)与日产量x(万件)之间的函数关系式为 -32+32x,0≤r≤m 不妨令一√m +√，则≥2，当且仅当m==号时等号 12-x 0,x>, 成立 (2)当x>m时，每天的盈利额为0： 因此当0≤x≤m时，设u=12-x,0≤x≤m, 以+ -3m-++号-(+）+2， 则x=12-4.且u∈[12-m,12], 则y=-312-)2+32(12-2=-32+40w-48 由二次函数的单调性可知(+之） +2≥型当1=2时取得 等号， 16 十40.分以下两种情形讨论： 综上，当m=古时，动十】-3严取到最小值号 情形一：当12-m≤4，即8≤m<12时， 复盘2二次不等式恒成立、有解问题 y- +9）+40<-3x2×亚+40-16 [变式2-1]D[解题思路]周为命题“3x∈R,(1-a)x2+(1 2u)x十1≥0"为真命题，若1-4=0，即a=1,则3x∈R,-x十1 当且仅当4=6，即4=4∈[12-m,12]时，y取最大值16，此 ≥0：若1一《<0，即a>1,要使得命题为真命题，则△=(1一 时x-8. 2a)-41-0)≥0，即4u-3>0,解得a≤-号或u>.又 情形二：当12-m>4,即0≤m<8时，y= 40 因为a>1,所以此时a>1:若1-a>0,即a<1,则满足命题 “3x∈R(1-a)x2+(1-2a)x十1≥0”为真命题.综上，u∈R, 在[12一m,12]上单调递减， 故选D. 所以当u=12-m,即x=m时，y取最大值. [变式2-2]A[解题思路]：f(x)=x+|x-11,f（x)≥(m+ 综上所述，当0≤m<8时，日产量x=m(万件)时，可获最大利 2)x-1..x2+|x-1|≥(m十2)x-1,即(.x-1)2+x-1| 润：当8≤m<12时，日产量x=8(万件)时，可获最大利润. m.x,令g(x)=x2-2x+1+x-1,若g(x)=x2-x,x≥1 新高考数学答案一4 x2-x≥m.x.￥价于m≤x-l,令h(x)=x-1,x≥1，h(x) 0..m≤0.若g(x)=x2-3.x+2,x<1,.x2-3a十2≥mx (a十b=4十b=L:（a,b),当且仅当a=b时，等号成立， 2(a+b) 脚x2一(m十3)x十2≥0.①当△=(m+3)2-8≤0，即-3-2V2 故C正确：对于D选项，当n=1时，由C可知，L2(a,b) ≤m≤一3+22时，不等式x2一(m十3)x+2≥0在（一6,1）上 a十b=L1（u,b),故D错误.故选AC 2 慢成立：②当△=(m十3)2-8>0，即m>-3十2W2或m<-3 2.D[解题思路]根据f(x十2)一f(一x)可得f(x)的图象关于x 一2√2时，要使不等式x2一(m十3)x+2≥0在（一0∞，1）上恒成 =1对称，因为∫(x十1)=一f(x-1),所以f(x十3)= 12-(H+3)×1+2≥0， 立，则有 m+3-√m+38≥1 解得∫m≤0， (m+3>2v2,-8 -+=-.0的周嘉为.：6[2号] 2 .2b∈[4.5J,∴.2b-4∈[0,1].a∈[1,2，f(2b)=f(26 十2√2<m≤0.综上所递，实数m的取值范围是[-3一2√2,0]. 2 故选A -4)=oa+2h-4=2,即a+26=6心+6月 复盘3利用基本不等式求最值中结构变形问题 [变式3-1]ACD[解题思路]由x2(y2+1)=4,可得x2= ≥寸×6+4)-号当且仅当a=6-1,a=6=号 y中国为y≥0，所以0x2≤4，所以xy2-4-2<4,即xy <2,放A正确：取x2=1,y=-3,x(y2+1)=4,而x2y= 时.孝号成立)=（合）-（号）-（号）+ 一3<-1，故B错误：因为x2(y十1)2=x2(y2+1十2y)=4+ X号-号故选D 2·2≤4+x2(y2+1)=8,当且仅当y=1时等号成立，所以x 十xy≤22，故C正确：由x2(y2+1)=4,可得x2=4-x2y,x2 3.C[解题思路]由题意可得。-1og,0.3<0,古-10og2>0.则 +w-4+-()+≤当时 a60,且+号-2由=0ga3+l0g4=le1k2e0, ab 等号成立，故D正确，故选ACD. [变式3-2]A[解题思路]2+4十b_2a+2+如十b=3+ 1D,即0<2a+b<1.因为ab<0,所以2a十b>ab,故A错 ab 误：因为h-2a-(2a+b)=-4a>0,所以b-2d>2a+b> 6,即6-2a-ab>0,故B错送：2+名=-3bg0.3 ab 十log2=1og0.054<-1.因为ab<0,所以a十3b>一ab. a=b=号时，等号成立.故选A 即a十3h十ab>0.故C正确：图为a十3h>-ab>0,所以2a [变式3一3][解题思路]根据已知a+b=1,所以(a十1)十(h十2) +b一(a-2b)>0,脚2a十b>a-2b.故D错误.故选C. 年+高=a+1+6+2(点+) =4,所以 4.ABD[解题思路]由c2+ub=c十ab.得(c一ab)(c一1)=0.而 c>1.则e=ab>1,对于A,la+|b≥2√1ab>2,A正 确：对于B,c=a十b>1,则ah=a十b,显然a,b均为正 L「a+C6+2)6士a十》4+2≥1(a+2ab+62)一 4+1 6+2 数：即有日+方-1，国此3a+6=(3a十46（日十 子a十b=十，当且仅当a=号6=号时等号成立： [参考答案]叶 合）兴+“+7≥2受·西+1=1+4原，当且仅 a 当0-白，即5=2h=2+3时取等号，B正确：对于 复盘4提高综合练 b u 1.AC[解题思路]对于A选项，La,b)=石+6=Va≤ C.lg l+oglog (log. 1+1 后石 g+1o限，南c>1.得十c之2.周 b-A(a,b),当且仅当a=b时，等号成立，故A正确： 2 og+log:lb1-log1+2)<lg:之=-1.C错 对于B选项，L0(4,b)= 2 2ab 2ab =ub= 误：对于D,由4e2-a-b=6.得4c=a+b+6≥ + a+b2√a6 a 2√ab+6=2a262+6=2”+6,当且仅当a2=b=c时 G(a,b),当且仅当a=b时，等号成立，故B错误：对于C远 取等号，即2≥3.由>1，得c≥，则c的最小值为5， 项，L2(a,b)=a士左-++4+：≥0+公+2ab D正确.故选ABD. a十b 2(a+b) 2(a+b) 第三单元 函数的概念与性质 周测训练卷 f(2024-ln2)=f(2-ln2)--f(1-1n2)=-e-2+l= 1.A[解题思路]因为盛数f(x+1)的定义城为{x一3<x3}, 号八 所以函数f(x)的定义城为{x一2<x4},又函数h(x) 22023/2).则-2<2≤4且x-2≠0，解得-1< V 1 A[解题思]周为-（告）-（尝）<16（号） x2且x≠2，所以函数h(x)的定义域为（一1,2）.故选A. 2.A[解题思路]当x>1时，f(x)=-f(x-1),令x-1=t,则x -()-()<1.0<器<<1 =t十1，即f(t)=一f(1十1)，则f(+2)=一f(1十1)= f(t),即f(x)是周期为2的函数，又因为2024一1n2-2022 +2-ln2-2×1011+2-ln2,且2-ln2>2-lne=1,所以 在0，+四止单酒递瑞，所以一（器）<（尝） a,综上，c<a<h,故选A 新高考数学答案一5