第1单元 集合与常用逻辑用语 周测复盘卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学１—４　 第一单元 　集合与常用逻辑用语 周测复盘卷 复盘１　空集的应用问题 典例１ 第１３题 错因 忽略空集的情况 复盘 要点 空集是任何集合的子集,这是我们大部分同学能熟知的说 法,然而它是否是你“最熟悉的陌生人”呢? 解题 关键 关键在于对(∁RA)∩B＝⌀分析可知,集合B 需要考虑空集 的情况． 反思 提高 要掌握有空集参与的集合间的关系或运算,特别是根据两个 集合的包含关系来讨论参数的值或范围时,不要忽视空集的 特殊性．如遇到A∩B＝⌀时,你是否注意到“极端”情况:A＝ ⌀或B＝⌀;同样当A⊆B 时,你是否忘记A＝⌀的情形? [变式１－１]　(２０２４􀅰新疆维吾尔自治区乌鲁木齐十二中月考)已知 集合A＝{０,２},⌀表示空集,则下列结论错误的是 (　　) A．⌀⫋A B．０∈A C．{⌀}⊆A D．A⊆{s|s≥０} [变式１－２]　已知p:关于x的方程４x２－２ax＋９＝０的解集至多有２ 个子集;q:１－m≤a≤１＋m,m＞０,若q是p 的必要不充分条件,则 实数m 的取值范围是 (　　) A．m≥７ B．m≤－５ C．m≤－７ D．m≤－７或m≥７ [变式１－３]　已知集合A＝{x|x＜－１,或x＞２},B＝{x|２a≤x≤a ＋３},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a 的取值范围 是　　　　． 复盘２　集合中的新定义问题 典例２ 第８题 错因 新定义的转化困难 复盘 要点 对于集合新定义问题,就是在现有的运算法则和运算规律的 基础上,定义一种新的运算与概念． 解题 关键 解题关键是要知道区间长度的概念,根据方程x２－２mx－ ３m２＝０的两根为－m,３m,x２＋mx－２m２＝０的两根为 m, －２m,利用因为 M∩N 的长度为４,所以２m＝４或－２m＝４, 得m＝２或m＝－２． 反思 提高 解决集合中的新定义问题,关键是根据题目要求及新定义运 算转化为集合的交集,并集与补集的基本运算问题,或转化 为数的有关运算问题． [变式２－１]　(２０２４􀅰云南保山二模)定义集合运算:A＋B＝{z|z＝x ＋y,x∈A,y∈B},设A＝{１,２},B＝{１,２,３},则集合A＋B 的所有 元素之和为 (　　) A．１４ B．１５ C．１６ D．１８ [变式２－２]　(２０２４􀅰四川南充高级中学月考)对非空有限数集A＝ {a１,a２,􀆺,an}定义运算“min”:minA 表示集合A 中的最小元素．现 给定两个非空有限数集A,B,定义集合M＝{x|x＝|a－b|,a∈A,b ∈B},我们称minM 为集合A,B 之间的“距离”,记为dAB．现有如 下四个命题: ①若minA＝minB,则dAB＝０; ②若minA＞minB,则dAB＞０; ③若dAB＝０,则A∩B≠⌀; ④对任意有限集合A,B,C,均有dAB＋dBC≥dAC． 其中,真命题的个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 复盘３　双层量词应用问题 典例３ 第１１题 错因 双量词应用转化混淆 复盘 要点 对于含量词的命题求参数的取值范围的问题,可根据命题的 含义,利用函数值域(或最值)解决． 解题 关键 解题关键是根据对∀x１∈[－３,－２],∃x２∈[１,２],使得 f(x１)≤g(x２)成立,则有f(x)max≤g(x)max,得出[２ln３－４, ＋∞)⫋[３ln２－４,＋∞),[２ln３－３,０)⫋[３ln２－４,＋∞), [３ln２－４,０)⫋[３ln２－４,＋∞),再选择选项． 反思 提高 对于等式型双量词问题,一般先分别求出两个函数的值域即 两个集合,再确定两集合间的关系;对于不等式型双量词问 题,一般先把不等式的两边分别看成常数,转化成两个单量 词问题来解决． [变式３－１]　(２０２４􀅰河南省雎县高级中学９月考试)已知函数f(x) ＝ax＋２(a＞０),g(x)＝ ２x－１ ,若∃x１∈[－１,２],∀x２∈[２,３],使 f(x１)＝g(x２)成立,则实数a的取值范围是　　　　． [变式３－２]　已知函数f(x)＝x２－２x＋３,g(x)＝log２x＋m,若对 ∀x１∈[２,４],∃x２∈[８,１６],使得f(x１)≥g(x２),则实数m 的取值 范围为　　　　． [变式３－３]　已知函数f(x)＝ex,g(x)＝lnx３＋ １ ３ ,对任意m∈R,存 在n∈(０,＋∞),使f(m)＝g(n),则n－m 的最小值为　　　　． 复盘４　提高综合练 １．(２０２４􀅰山东省德州市期中)已知非空集合A,B,A＝{x|x２－５x＋４ ≥０},B＝{x|２－a＜x＜２＋a},若A∩B＝⌀,则实数a的取值范围 为 (　　) A．(０,２) B．(０,２] C．(０,１) D．(０,１] ２．已知a＞０且a≠１,若集合A＝{x|２x２＜logax},B＝{xy＝lnx＋ ln(１２－x) },且A⫋B,则实数a的取值范围是 (　　) A．(０,１４)∪(１,e １ ４e] B．(０,１４)∪[e １ ４e,＋∞) C．(１４,１)∪(１,e １ ２e] D．(１４,１)∪[e １ ２e,＋∞) ３．已知集合A＝{x∈R|x２＋ax＋１＝０},B＝{x∈R|x２＋２x－a＋３＝ ０},若A＝B,则实数a的取值范围是　　　　． ４．对任意两个正整数m,n,定义某种运算(运算符号用􀱋表示):当m, n都为正偶数或正奇数时,m􀱋n＝m＋n;当m,n中一个为正奇数, 另一个为正偶数时,m􀱋n＝mn,则在上述定义下,集合M＝{(a,b)| a􀱋b＝３６,a,b∈N,a＞０,b＞０}中元素个数为　　　　． ５．已知f(x)＝lnxx２ ,g(x)＝２x＋a,若对∀x１∈[２,３],∃x２∈[１,２], 使得f(x１)≤g(x２),求实数a的最小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学１—３ 新高考数学答案 — ２　 由(１)可知:A＝{x|－１＜x＜３},则 m＜３, １－m＞－１, m≥ １２ ,{ 解得 １２ ≤m ＜２,且当 １２ ≤m＜２ 时,A≠B,所以实数 m 的取值范围为 [ １２ ,２) ． 周测复盘卷 复盘１　空集的应用问题 [变式１－１]C　[解题思路]∵A＝{０,２},⌀⫋A,０∈A,A⊆{s|s≥ ０},∴A,B,D正确,∵{⌀}表示以⌀为元素的集合,而集合A 中 不含元素⌀,∴{⌀}不是A 的子集．故 C错误,故选 C． [变式１－２]A　[解题思路]因为q是p 的必要不充分条件,所以 p是q的充分不必要条件,对于p,依题意,知Δ＝(－２a)２－４× ４×９＝４(a２－３６)≤０,所以－６≤a≤６,设P＝{a|－６≤a≤６}, Q＝{a|１－m≤a≤１＋m,m＞０},由 题 意 知 P⫋Q,所 以 m＞０, １－m≤－６, １＋m≥６,{ 解得m≥７,经检验满足题意,故选 A． [变式１－３][解题思路]因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以 B⊆A．当B＝⌀时满足题意,即２a＞a＋３,所以a＞３;当B≠⌀ 时,２a≤a＋３, a＋３＜－１{ 或 ２a≤a＋３, ２a＞２,{ 解得:a＜－４或１＜a≤３．综上可 得,实数a的取值范围是(－∞,－４)∪(１,＋∞)． [参考答案](－∞,－４)∪(１,＋∞) 复盘２　集合中的新定义问题 [变式２－１]A　[解题思路]由题设知A＋B＝{２,３,４,５},∴所有 元素之和为２＋３＋４＋５＝１４,故选 A． [变式２－２]B　[解题思路]对于①,若 minA＝minB,则A,B 中最 小的元素相同,则dAB＝０,故①为真命题;对于②,取集合A＝ {１,２},B＝{０,２},满足 minA＞minB,而dAB ＝０,故②为假命 题;对于③,若dAB＝０,则A,B 中存在相同的元素,所以交集为 非空集,故③为真命题;对于④,取集合A＝{１,２},B＝{２,３},C ＝{３,４},可知dAB＝０,dBC＝０,dAC＝１,则dAB＋dBC≥dAC不成 立,故④为假命题．综上,真命题的个数为２个．故选B． 复盘３　双层量词应用问题 [变式３－１][解题思路]由题意,函数g(x)＝ ２x－１ 在[２,３]上为单 调递减函数,可得１≤g(x)≤２,即函数g(x)的值域构成集合B ＝[１,２],又由函数f(x)＝ax＋２(a＞０)在区间[－１,２]上单调 递增,可得－a＋２≤f(x)≤２a＋２,即函数f(x)的值域构成集 合A＝[－a＋２,２a＋２]．又由∃x１∈[－１,２],∀x２∈[２,３],使 f(x１)＝g(x２)成立,即B⊆A,则满足 －a＋２≤１, ２a＋２≥２,{ 解得a≥１． 即实数a的取值范围是[１,＋∞)． [参考答案][１,＋∞) [变式３－２][解题思路]因为若对∀x１∈[２,４],∃x２∈[８,１６],使 得f(x１)≥g(x２),所以f(x１)min≥g(x２)min,因为f(x)＝x２－ ２x＋３的对称轴为x＝１,x∈[２,４],所以f(x)min＝f(２),因为 g(x)＝log２x＋m,x∈[８,１６],所以g(x)min＝g(８),所以f(２) ≥g(８),即３≥３＋m．所以m≤０． [参考答案](－∞,０] [变式３－３][解题思路]设em＝t,(t＞０)则 m＝lnt,由题知lnn３ ＋ １３ ＝t ,所以n＝３et－ １ ３ ．所以n－m＝３et－ １ ３ －lnt．设h(t)＝ ３et－ １ ３ －lnt,h′(x)＝３et－ １ ３ － １t ,易知h′(t)＝３et－ １ ３ － １t 在(０, ＋∞)上单调递增,注意到h′ １３( ) ＝０．当t∈ ０, １ ３( ) ,h′(t)＜ ０,h(t)单调递减．当t∈ １３ ,＋∞( ) ,h′(t)＞０,h(t)单调递增． 所以h(t)的最小值为h １３( ) ＝３－ln １ ３ ＝３＋ln３． 所以n－m 的最小值为３＋ln３． [参考答案]３＋ln３ 复盘４　提高综合练 １．D　[解题思路]因为A＝{x|x２－５x＋４≥０},得A＝{x|x≤１ 或x≥４},又因为A∩B＝⌀,集合A,B 不是空集,则１≤２ －a＜２＋a≤４,解得０＜a≤１．故选 D． ２．B　[解题思路]依 题 意,B＝ {x ０＜x＜ １ ２ } ,A＝{x|２x２＜logax},且A⫋B,当０ ＜a＜１时,作出函数y＝２x２ 与y＝logax 的大致图象,则２× ( １２ ) ２ ＞loga １ ２ ,即loga １ ２ ＜ １ ２ ＝ loga １ ２ ,所以a １ ２ ＜ １２ ,即０＜a＜ １４ ;当a＞１时,设f(x)＝ ２x２－logax,若０＜x≤１,logax≤０,则f(x)＞０恒成立,A＝ ⌀,满足A⫋B,于是当a＞１时,A⫋B,当且仅当A＝⌀,即 不等式f(x)≥０对∀x∈(０,＋∞)成立,f′(x)＝４x－ １xlna , 由f′(x)＝０得x＝ １２ １ lna ,当０＜x＜ １２ １ lna 时,f′(x)＜ ０,当x＞ １２ １ lna 时,f′(x)＞０,则 函 数 f(x)在 (０, １ ２ １ lna) 上单调递减,在 ( １ ２ １ lna ,＋∞ ) 上单调递增,所 以f(x)min＝f( １２ １ lna) ＝ １ ２lna－ １ ２loga １ ４lna＝ １ ２lna＋ ln(４lna) ２lna ,于是得 １ ２lna＋ ln(４lna) ２lna ≥０ ,即１＋ln(４lna)≥０,变 形得lna≥ １４e ,解得a≥e １ ４e,从而得当a≥e １ ４e时,f(x)≥０恒 成立,A＝⌀,满足A⫋B;综上,实数a的取值范围是０＜a ＜ １４ 或a≥e １ ４e．故选B． ３．[解题思路]分以下两种情况讨论,当A＝B 且A≠⌀,B≠⌀时, 不妨设两个方程的实数根为x１,x２．则 x１＋x２＝－a＝－２, x１x２＝－a＋３＝１,{ 解 得a＝２．当A＝B＝⌀时,a ２－４＜０, ４－４(－a＋３)＜０,{ 解得－２＜a＜２． 综上,实数a的取值范围是(－２,２]． [参考答案](－２,２] ４．[解题思路]∵a＞０,b＞０,a,b∈N．当a、b都为正偶数或正奇数时, 则a􀱋b＝a＋b＝３６,∴满足条件的有(１,３５),(２,３４),(３,３３),􀆺, (３５,１),共３５个;当a、b中一个正奇数,另一个为正偶数时,则a􀱋b ＝ab＝３６．∴满足条件的有(１,３６),(３６,１),(３,１２),(１２,３),(４,９), (９,４),共６个．故集合M 中元素个数为３５＋６＝４１． [参考答案]４１ ５．[解]依题意可知f(x)max≤g(x)max, f(x)＝lnxx２ ⇒f′(x)＝１－２lnxx３ , 则f′(e)＝０,当 ２≤x＜ e时,f′(x)＞０;当 e＜x≤ ３时, f′(x)＜０,所以f(x)在[２,e)上单调递增,在(e,３]上单调 递减,所以f(x)max＝f(e)＝ １ ２e ,g(x)＝２x＋a在[１,２]上单调 递增,则g(x)max＝g(２)＝４＋a,所以 １ ２e≤４＋a ,所以a≥ １２e－ ４,即a的最小值为 １２e－４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋