单元素养集训卷2 单元素养集训卷-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习提升卷

数学１０—２　 单元素养集训卷二 单元素养集训卷 满分１５０分　考试时间１２０分钟 测试范围:第六单元到第八单元 　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的． １．(２０２４􀅰江苏南京市六校联合体调研)下列求导正确的是 (　　) A．(sinx－sinπ６ )′＝cosx－sin π ６ B．[(２x＋１)２]′＝２(２x＋１) C．(log２x)′＝ １ xln２ D．(２x＋x２)′＝２x＋２x ２．(２０２４􀅰陕西西安长安区月考)已知函数f(x),其 导函数f′(x)的图象如图所示,则 (　　) A．f(x)有２个极值点 B．f(x)在x＝１处取得极小值 C．f(x)有极大值,没有极小值 D．f(x)在(－∞,１)上单调递减 ３．(２０２４􀅰贵州遵义质量监测)若函数f(x)＝ex ２ －ax 在区间(１,３)上单调递增,则a的可能取值为 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ ４．(２０２４􀅰江苏省镇江市高中月考)日常生活中的饮用水是经过净化 的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加．已知将１t水 净化到纯净度为x％时所需费用(单位:元)约为c(x)＝５２８４１００－x (８０ ＜x＜１００),则净化到纯净度为９８％左右时净化费用的变化率大约 是净化到纯净度为９２％左右时净化费用变化率的 (　　) A．１６倍 B．２０倍 C．２５倍 D．３２倍 ５．(２０２４􀅰吉林长春六中月考)已知a＝ln３,b＝３e ,c＝２ １１ １１ ,则 (　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c ６．(２０２４􀅰湘豫名校联考一轮复习诊断(二))设f′(x)是定义在 R上 的连续函数f(x)的导函数,且f′(x)＞２f(x)．当x＞０时,不等式 e２axf(lnx)＜x２f(ax)恒成立,其中e为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为 (　　) A．０,１e æ è ç ö ø ÷ B．１e ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ C．(e,＋∞) D．(０,e) ７．(２０２４􀅰山东潍坊安丘三区县过程性检测)已知函数f(x)＝ax－(a ＋３)x３ 在区间[－１,１]上的最小值为－３,则实数a的取值范围为 (　　) A．[－９２,＋∞ ) B．(－∞,９] C．[－９２,９] D．(－ ９ ２ ,９) ８．已知函数f(x)＝mx,g(x)＝３lnx＋２e１e≤x≤e ３æ è ç ö ø ÷,若f(x)与g(x) 的图象上分别存在点 M,N,使得 M,N 关于直线y＝e对称,则实 数m 的取值范围是 (　　) A．－９e２ ,＋∞é ë êê ö ø ÷ B．－３e ,－９ e２ é ë êê ù û úú C．－９e２ ,３eé ë êê ù û úú D．－ ３ e ,３eé ë êê ù û úú 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分 分,有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰山东泰安泰安长城中学月考)已知f(x)＝lnxx ,下列说法正 确的是 (　　) A．f(x)在x＝１处的切线方程为y＝x＋１ B．f(x)的单调递减区间为(e,＋∞) C．f(x)在x＝１处的切线方程为y＝x－１ D．f(x)的单调递增区间为(e,＋∞) １０．(２０２４􀅰湖南名校联合体联考)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的 定义域为R,若f′(２)＝８,函数f(２x＋１)和f′(x＋２)均为偶函 数,则 (　　) A．函数f′(x)的图象关于点(１,０)对称 B．函数f′(x)是周期为４的周期函数 C．函数f(x)的图象关于点(３,０)对称 D．∑ ２０２３ i＝１ f′(i)＝８ １１．(２０２４􀅰新疆乌鲁木齐市七十中月考)已知函数f(x)＝xlnx,g(x) ＝１＋lnxx ,则下列说法正确的是 (　　) A．f(x)的图象在x＝１处的切线方程为x－y－１＝０ B．g(x)的极小值为１ C．当x∈ (１e,１) 时,f(x)＜g(x) D．若函数F(x)＝f(x)－ax２ 恰有两个极值点,则a的取值范围是 (０,１２) 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰黑龙江牡丹江第三高级中学月考)已知函数f(x)的导函 数为f′(x),且满足f(x)＝２xf′(１)＋１x ,则f′(１)＝　　　　． １３．(２０２４􀅰河南部分学校一轮摸底测试)若直线y＝－３x＋１３ 与曲线 f(x)＝e－３x＋a相切,则a＝　　　　． １４．(２０２４􀅰山东省新高考联合质量测评联考)若存在x∈(０,＋∞),使 得不等式ex－alnx＜alna成立,则实数a的取值范围为　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． １５．(１３分)(２０２４􀅰河北省石家庄精英中学第三次调研)(１)已知半径 为１的圆内切于一个等腰三角形,当等腰三角形的三边相等时等 腰三角形面积最小; (２)已知半径为１的半圆的圆心在底边上,和一个等腰三角形两腰 相切,当等腰三角形的两腰垂直时等腰三角形面积最小; 结合以上结论,分析①半径为１的球内切于一个正三棱锥;②半径 为１的半球的球心在正三棱锥的底面并且和侧面相切的正三 棱锥． (１)在①②中选择一种情况,猜测何时正三棱锥体积最小; (２)证明你的结论并求此时该正三棱锥的外接球的体积． (注:若选择两种的情况解答,则按第一个解答计分．) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学１０—１ 数学１０—４　 １６．(１５分)(２０２４􀅰湘豫名校联考一轮复习诊断(二))已知函数f(x) ＝lnx－ax＋１ (a∈R且a≠０)． (１)若函数f(x)的最小值为２,求a的值; (２)在(１)的条件下,若关于x的方程f(x)＝m 有两个不同的实数 根x１,x２,且x１＜x２,求证:x１＋x２＞２． １７．(１５分)(２０２４􀅰山东薛城舜耕实验学校月考)已知函数f(x)＝ lnx,g(x)＝ex(ex＝２􀆰７１８􀆺,e为自然对数的底数) (１)求函数F(x)＝f(x)－g(x－１)的单调区间; (２)若不等式xf(x)－k(x＋１)f[g(x－１)]≤０在区间[１,＋∞)上 恒成立,求实数k的取值范围． １８．(１７分)(２０２４􀅰陕西省榆林市五校联考)已知函数f(x)＝alnx－x (a∈R)． (１)讨论f(x)的单调性; (２)若f(x)在 [１e,e ２] 上存２个零点,求a的取值范围． １９．(１７分)(２０２４􀅰河北石家庄二十七中月考)已知函数f(x)＝ln(１ ＋x)＋x ２ ２． (１)当x∈[０,＋∞)时,比较f(x)与x的大小; (２)若函数g(x)＝cosx＋x ２ ２ ,且f(e a ２)＝g(b)－１(a＞０,b＞０),证 明:f(b２)＋１＞g(a＋１)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学１０—３ 单元素养集训卷二 单元素养集训卷 V3a+9 a+ Ba+ 1.C[解题思路]对于A, 【sinr-sin吾） =sinr)'- 3十 sin晋）=ox,故A错误：对于B.根据复合函数的求 f(r 0 4 小值 根大值 导法则，[(2x+1)2了=2(2x+1)(2x+1)'=4(2x+1),故 B错误：对于C,(log2x)'= n2:故C正确：对于D,(2r+ 故f(x)在x= 3a十g上取得小值，且f√3a+9 x2)'=(2)'+(x2)=2ln2+2x,故D错误.故选C, -a+a+3)(N+)-/a1) a 2a a 2.C[解题思路]由题念及图得，f(x)在（一∞，3）上单调递增，在 (3,十0)上单调递减，，f(x)有一个极大值，没有极小值， =-3,要想f(x)-a.x-(a+3).x3在区间[-1,1]上的最小 ∴A,B,D错误，C正确，故选C 3.A[解题思路]由题设f(x)=c一“在区间(1,3)上单调递增， 值为-3：时美-号写≥-3，变形释到-2 所以(x)=c-"(2x-a)≥0恒成立.所以在(1,3)上2z 729≤0，令h(d)=4a3-243a-729,h'(a)=12a2-243,当d 一a0恒成立，即a≤2x恒成立.而y=2x在(1,3)上递 >号时，ha)>0Au)单调地增，当0<a<号时，ha< 增，故a2.所以A特合要求，故选A. 0.h(a)单调递减，且h(0)=-81,h(9)=0,故4a2-243d- 4,A[解题思路]由题意可知，净化所需费用的醉时变化率为 x)=5284×[-(100-x)×(-1)]=100-) 5284 a 729≤0的解集为0<u≤9：a<-3时，令√3十9-1可得a ∴.e(92) 0284=5284.'(98)= 5284 、9 (100-92)F (100-98)2 ，当-是<a<-3时√>1，令f<0将 1321.:98》=132=16,即净化到纯净度为98%左右 a 「a e(92)5284 √3a十g<√3a十g,故fx)在[-1.1]上单羽递减，故 64 f八x)在，x=1处取得最小值，最小值为f(1)=a一(a十3) 时净化贵用的变化率大约是净化到纯净度为92%左右时净 化贵用变化率的16倍，故选A. 3,满足要求，当a<一是时+91恒成立，故表格 5.A[解题思路]令x)-,则f(x)-1,由f(x)>0 如下 r 得，x∈(0，e),由f(x)<0得，x∈(e,+o),所以f(x)在 (0,c)上为增画数，在(c,十∞)为减函数.因为e<3,所以 3u +9 >罗即>3，故a<因为>不所以号-兴 V3a+9 V3a+5 e 2 4 <血，所以mn2<21nv厅，所以ln2T<Ini1,所以 P(r) + 0 0 √11 f(r) 核大值 楼小值 2 VTT 1<,而a=ln3>1,所以ca<h.故选A 故在r√3a十g上取得极小值，且fN3a+9 成B[解题思路]令g)-巴，共中∈R,则) ()二2>0，所以函数g(x)在R上单调递增.对于 -a+3)-a-10=3 要想f(x)=ux-(a+3)x2在区间[-1,1]上的最小值为 不等式e2uf(lnx)<x2f(a.x).x>0,则ew>0,不等式em -3则 --3,变形得到4a3一243d-729-0. )a可化为巴-a成主. 即g(ax)>g(lnr)恒成立.又马数g(x)在R上单调递增。 ◆a）=4d2-243u-729.wu)=12a2-243u<-号 所以不等式ax>lnx在(0，+o∞)上恒成主，所以a>ln在 时wa)>0.r(a)单调递增，又r(-是)=0，故u< 9 (0,十o0)上恒成立.令g(x)-1,其中x>0,则g(x)= 一号时，d加2-243一729=0无解，综上：实数a的取植范 1n,令g(x)=0,得x=e当x∈(0，e)时9()>0，所 国是[-号9小故选C 以g(x)在(0，e)上单调递增：当x∈(e,+o)时，9'(x)<0, 所以g(x)在(e,十o)上单调递减.所以g(x)mx=g(c)一 8,D[解题思路]周为f(x)与g(x)的图象上分别存在点M,N,使 得M,N关于直线y=e对称，令M(x,m.x),N(x,3lnx十 ,所以a>】,故所求实数a的取值范围为 e e 2e),则m+3nr+2e=c.即2e-mx=3nr+2e在 故选B. 2 7.C[解题思路]当-3≤a≤0时.f(x)=ax-(a+3)x单调递 [日心]上有解，甲-mr=3r在[日心]上有解，即 减，故f(x)在x-1处取得最小值，最小值为f(1)一a-(@ +3)=-3,满足要求，当a>0或a<-3时，了(x)=a-3(a -m=业在[日心]上有解，设h()=,r +3),◆f)-0得x-√千成0当u>0 [日e小周)=30m,当<<e时.> 时√3a十g<1恤成立，故表格知下： 0,故)在（日心）为增函疑，音e<<e时，h()<0, 新高考数学答案一33 故r)在(e)为减画载，而h(e)=是h(日）=-3e, 之◆=1.可得f=2f1)-1.解得f)=1。 6e)-号，故6r)在[日e]上的值接为【-3e,是] [参考答案]1 13.[解题思路]依题意，设切点为(xo·e。+r),则eg+u 改-m【-3e,是]m∈[-是，3c]故选D 一3，+号，由f八)=e,求导得了)=-3，于 9.BC[解题思路]对于AC,(1)=n=0,由fx)=,得 1 是-30，=-3，解得-3十a=0,从而=-号，则@ f(x)=1n,所以初线的斜率k=了1)=一l=1. 2 12 3 所以f(x)在x=1处的切线方程为y=x一1.所以A错 误，C正确：对于BD,函数的定义域为(0，+co),f(x)= [参考答案]-号 1-l匹，由f(x)>0.得1-lr>0,解得0<x<e,由 14.[解题思路]由题意：存在x∈(0，+oo),使得不等式e一alnx <alna成主，即c<alnu+alnr=aln(a.x)成主，脚xe'< f(r)<0,得1一ln.r<0,解得x>e,所以f(x)在(0.e)上 ln(ax)efar'成主，令h(x)=xe,x∈(0，十o).则h'（x)=(x 递增，在(e,十o)上递减，所以B正确，D错误.故选BC, 十1)心>0恒成立，所以h(.x)在(0，+∞)上单调递增，所以只 10.ABD[解题思路]因为f(2x十1)是偶函数，所以f(一2x十1) =f(2x十1)，则f(一x十1)=f(x十1)，所以函数f(x) 需x∈(0，+∞)时，有xln(ax)成立，即e<ux,a>号成立. 的图象关于直线x=1对称，由f(一2x十1)=f(2x十 令f.x)= 1)两边求乎得-2f(-2x+1)=2(2x+1),所以 号，则f)=De,所以当x0,D时了 f(2.x+1)=-f(-2x+1).得(x)=-f(2-x) <0:当r∈(1，十∞)时，f(x)>0.所以f(x)在(0,1)上单调递 所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故选项A正 减，在(1.十o)上单调递增.所以f(x)的最小值为e,所以a的 确：令x=1得(1)=一(1)，所以(1)=0，国为函 取值范国是(e,十o). 数(x十2)为偶函数，所以(x十2)=f(一x+2),所 [参考答案](c,十o∞) 以(x)=(4一x),所以函数f(x)的图象关于x=2 15.[解](1)①当正三棱锥为正四面体（或者侧棱与底面边长相等） 对称，所以画数f(x)一一f(2一x)-一f(x十2)→ 时，正三棱锥体积最小 f(x)一f(x十4)，所以f(x)的周期为T一4，所以远 ②当正三棱锥的三条侧棱两两垂直时，正三棱锥体积最小 项B正骑：文因为(x)的周期为T=4,枚(4一x)= (2)对于①： f(一x)=一(2十x》,所以一/(4一x)=一f(2十x)十 对于正三棱锥P一ABC,过点P作PO⊥平面ABC,PDI c,图此f(4一x)=f(2+x)一e,f(4-x)=f(x一2)= BC,垂足分别为O,D,则O为△ABC的中心，D为BC的中 f(2+x)十（→=0，所以函数f(x)的图象关于直线x 点，利用对称性知球心O在P)上，设PD与球O切于点E, =3对称，所以选顷C错误：因为了(x)=子(4一x),所 连接AD.OE. 以f(1)=f(3)=0,又因为f(x)=-f(2-x),所以 设正三棱锥P一ABC的底面边长为a,PO)=h(h>2),则 /0)+了(2)-0，所以罗了(0-了(1)+了(2)+ 0)=0E=1,OP=h-1, (3)=8,所以选项D正确，故选ABD. O,D= 64PD-P0+0E 121 11.ACD[解题思路]由了(x)=1+lnx,则(1)=1，又f(1)= 0,故切线方程为y=x一12一y一1=0.A对：由 利用三角形相敏可得器-品。 )=-号尉0<1时g✉>0，g)送≥ 1时g(x)<0,g(x)递减，所以g(x)有极大值为g(1) h-1 F,则=2，故正三棱锥P-ABC的体 12h -1,无极小值，B错：由上知：0<<是时了)<0， h2+12 代)递浅t>是时了(x)>0.fx)递增，所以在 (h-2)21 当h∈(2,4)时.则V<0,V在(2,4)上单嗣递减，当h∈(4， (日)上，g)均递增，此时zK1)=0- +∞)时，则V>0,V在(4，十∞)上单调递增， 所以当且仅当h=4.体积V取到最小值8，则a=2√6，PD <g(x),C对：由题意F(x)=f(x)-2ax=1 =3Z,PB=√PD+BD=2√6， +1nr一2ar恰有两个零点，即1+ln=2a有两个根，由 故当正三棱锥为正四面休时，其体积取到最小值为8√3。 上知：g(x)=+l匹在(0,1D上递增，在1，十0)上递 减，且x>时g(x)>0成立，要使g(x)与y=2a 有两个交点，则0<2a<g(1)=1→0<a< 乞D对.敝 选ACD. 对于②： 对于正三棱锥P-ABC,球心O为△ABC的中心，连接PO,则 3=2a PO⊥平面ABC,取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC,设 PD与球O切于点E,连接OE, 0 设正三棱锥P一ABC的底面边长为a,OP=h,则OE=1,OD 12.[解题思路]因为f八r)=2xf1)+,则了x)=2f() 新高考数学答案一34 所以函数h(t)在(0,1)上单调递增 利用三角形相似可得：8器-品甲 即Ht∈(0,1)，h()<h(1)=0, ,则a” + 即1-士<21t,又1nm<0, -12h* 1 2-1 所以∈(01).1 正三楼锥P-ABC的体积V=号×汽。h= 1立>2恒成立，即五十>2，得证。 则 17.[解](1)由题意，F(x)-f(,x)-g(x-1)=lnx-e厂.(x>0), -3h(h+3)(h-3 则F(x)=士-e,x>0由y=士y=-e在0， (h2-1)2 十©)上均单调递减，所以F(x)在(0，十∞)上单调递减，又 当h∈(1，V3)时，则V<0,V在(1，w3)上单调递诚，当h∈ F(1)=1-1=0,所以当x∈(0,1)时，F(x)>0,当x∈(1， (3,十∞)时，则V'>0,V在(5，+∞)上单调递增， 十)时，F'(x)<0. 所以当且仅当A=5,体积V取到最小值号，则a=3E,PD 所以函数F(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为 (1,十)： -3),PA=PD+BD-3.∴PB2+PC=BC,则PBL (2)不等式xf(.x)-k(x+1)f[g(.x-1)]≤0即xlnx-k(x+ 1)lne一1=xnr-k(x2-1)≤0在区间[1，十o∞)上恒成立，令 PC,故当正三棱锥的三条侧棱两两垂直时，其体积取到最小值 p(x)=xlnx-k(.x2-1),(x≥1)，则p'(x)=lnx-2kr+1,(z ≥1)，p(1)=0,所以p'(1)=1-2k, 若p)=1一26>0，即<号时，此时存在>1使得当r∈ (1,x)时，p(x)>0, 函数p(x)在(1，u)上单调递增，p(x)>p(1)=0,不合题意： 若≥号时，p)=lnr-2r+1inr-x+1,c≥I 令(x)=lnx-x+1,(x≥1，则(xr)=1-1≤0 x 所以1(x)单调递减，1(x)≤1(1)-0， 16.[解](1)因为fx)=lnx-4+1,x>0, 所以()≤0，当且仅当k=乞'时等号成立， x=1 所以了)+兰->0 所以p(x)在[1，+∞)上单调递减，所以p(x)≤p(1)=0,符合 题意. 当a>0时.有广(x)>0,所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递 增，所以函数f(x)不存在最小值： 综上，实数k的取值范围 [+）月 所以a>0不合题意，故a<0. 当a<0时，令/x)=±4-0，得x=一a. 18.[解](1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且了(x)=-1 当x∈(0，一a)时，了(x)<0,函数f(x)在(0，一a)上单调递减： a-(x>0). 当x∈（一4，十∞）时，(x)>0,函数f(x)在（一a,十6e)上单 当a≤0时，f(x)<0在(0，+∞)上恒成立，故f(x)在(0， 调递增。 十∞)上单调递减： 所以f(r)小M=f(-a)=lh(一a)-4十1=2，解得a=-1. 当a>0时，令(r)>0(r>0),得0<x<a,令(x)<0,得x -a 所以a的值为一1. 所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递城. 2)证明：由（1D知，x)=la+上+1>0. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减：当a>0 时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(，+o∞)上单调递减. 因为x1·x:为方程f(x)=m的两个不同的实数根， 所以1nx,+上+1=m①： ②者a=0-在[仁e门上无零点，不合题意 +十1-m@, 若a≠0，由fx)=0,得1=lnr 0-@得：a-+(估）=0， 令)=则直线y=与数g)在[片心]上的图 象有两个交点， rxg gx=严，当日 <x<e时，g'(x)>0,当e<x<e时 所以x1西-二」 g'(x)<0, 令1=(0<<1)，有1=马-= 所以g)在[片小上单调递增，在红ee门上单调漫改 所以g=g=又（） -e,g(e)= 2 1 所以=兰-=品，从面得五十= 所以要使直线y与([e]） 的图象有两个 令h()=1 上-21(0<1<1)， 交点则2≤上1 则”0-1+片兰-（什-）>0 所以<a≤号，即实数的取值范为(e,号] 新高考数学答案一35 19.[解]1)设函数g)=-=n1+)+号- =0时，等号成立 则=中t1=舌当eo,+时gu≥0， 设)=-3，则h)=1-兰- 由h'(x)>0,得x>3:由h'(x)<0.得0<r<3. 则9(x)在[0，十c∞)上单调递增，所以(x)≥(0)=0，从而 则h(x)在(0,3)上单调递减，在(3，十0)上单调递增. f(x)-x≥0，即f(x)≥x: 因为h(3)=3-3n3<0,h(e2)=e2-6>0,所以h(.x)=0有解， (2)证明：设函数h(x)=f(x)+1一g(x)=ln(1十x)+1 则c一w≥x一3引nx+1,当且仅当x-3n.x=0时，等号成立. 一C05t, 当x>0时，1-cosx≥0，ln(1十x)>0,则h(x)>0恒成立， 即号>≥-3nr+1.即≥r-3r1r+. 则由h(e)>0,得f(c)+1>g(c登)，f(b2)+1>g(b) 复盘2导数在几何中的最优化问题 又f(e立)+1=g(b),所以g(b)>g(e是)， [变式2一1][解题思路]如图， 因为g）=cosr+号，所以g'(x）=r-sinr, 令u(.r)=x一sinx,则M'(r)=1-cosx≥0恒成立， 所以u(x)=g'(.x)在(0，+o)上单调递增.则g(x)>g'(0)=0, 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又b>0,e7>0,所以b>e1, 要证f(b)+1>g(a+1),只需证g(b)>g(a+1).即证> a+1. D 因为b>e导，所以>e. 在四棱锥P一ABCD内作正四枝柱AMNK一HEFG,其中E, 设函数m(x)=e一x一1(x>0),则m(x)=e一1>0，所以 F,G,H.M,N,K分别在棱PD,PC,PB,PA,AD,AC.AB上 m(x)在(0，十∞)上单调递增， 要使國柱体侧面积最大和体积最大，则需其底面圆为正四棱程 因为a>0,所以m(a)>m(0)=0,所以>a十1，所以>4十1， AMNK一HEFG的内切圆，连提HF,设圆柱的底面国半径为 所以g(b2)>g(a十1)，从而f(b)+1>g(a+1)得证. r,高为h,则HF=2N区r,AH-h,在平面PAC内，FH平行 复盘提高练 AC则肥-開2层-2告，解得1合-2-2国 AC PA' 2√2 复盘1导数中的同构问题 柱侧面积为5=2xh=2r(2-2r)=一4x(-r)=一4xr [变式1-1]B[解题思路]由题意得，当x>0时，ef(r)一g(x) =ae-elnr十elna-(I-ex≥0，pe+lm十e(x+lna)≥eln +r=er+elnx,x>0,令F(x)=e+er,则F(x十lna)≥ )十，故当，=号时，国挂侧面叔最大，国挂体积V=矿6 F(lnx),闲为F(r)=e+e>0恒成立，故F(x)=e十er在R 上单调递增.故x十lna≥ln.x,即lna≥lnx-x,令h(x)=n.r一 ,则(x)=⊥-1-1三，当x∈(0,1D时，h'（x)>0.h(x) (3h2-8h+4)=吾h-2(3h-2,当0<h<号时.V>0.V 1nx一x单训递增，当x∈(1，十∞)时，h'(.x)<0,h(x)=lnx一x 单调递减，故方(x)=nx一x在x=1处取得极大值，也是最大 =子(h-h十h)单润递增，当号<6<2时V<0,V=号 值，最大位为A)=-1,故≥-1，解得a>。,故选B （团一十h)单调递减，故当A=号时，圆柱体体积流大此时 [变式1一2]D[解题思路]由题意知，定义域为(0，十©)，广(x) 2 =2ax+a+1-2ur2+a+1,又a≤-1，故/(x)<0,fx)在 r=1-2= 2 (0,十)上单调递减，不坊设x1≥x2,对Vx1·x∈(0，十) [参考答案]片 幢有|f(x1)-f(x2)|≥4x1-x|,即f(x1)-f(x)≤4(2 [变式2-2][解](1)依题得，OA=reosr,AB=rsinz, r1),f(1)十4x1f(xg）十4r:,令g(x)=f(r)十4r,由上可知 g(x)在(0，十∞)上单调递减.则g(x)=2ax+a++4≤0在 停伤 0,寸0)上恒成立，从而a≤，成立，设(x) 文化 24r=h0=-42+D=（-4-D·-42x-1D+D 2x2+1 (2x2+1)月 (2x+1)2 取DC的中点F,所以CF=立· 当x∈(（0，)时，(x)<0.h()单调适减：当x∈ 连接OF,则DCLOF, 1 则DE= 2 r-rsint. -一2，故a≤-2. 故速D. 由DE>0得E(0,受)】 [变式1-3][证明]对任意的x>1,都有f(.x)≥x'-3xln.x+x3, 即e≥x3(x-3lnx+1), 所以fx)=r(-ir）·r2ror·rin 等价于号≥(x-3hr+1,即ew≥（红一3r十1. 设g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1 (2)/(.x)=r2(2cos2x-c0sx)-2(4c0s2x-c0sx-2). 由g'(x)>0,得x>0:由g'()<0,得x<0. 令f(x)=0,得4cos2x-cosr-2=0, 则g(x)在(0.十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减， 故g(x)≥g(0)=0,即e-x-1≥0.即e≥x+1.当且仅当x 解得c0r=1+压或0x=上√⑧（不合题意，舍去） 8 8 新高考数学答案一36