3.4 二元一次方程组及其解法-【提分教练】2024-2025学年新教材七年级数学上册同步精导优化与设计方案（沪科版2024）

数学七年级上册 3.4二元一次方程组及其解法 3.4.1认识二元一次方程组 儿基础巩固练 2x+4y=80, 2.x+3y=80, C. D. 知识点1二元一次方程 3.x+5y=110 5.x+2y=110 6.某工厂接到生产成都第31届世界大学生夏 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( 季运动会吉祥物“蓉宝”的订单，工厂安排 ) 甲、乙两个车间共同生产.若甲车间生产6 3,x十x=1, xy=4, A. B. 天，乙车间生产5天，则两个车间的产量一 10.x-3y=-9 x+2y=6 样多.若甲车间先生产300个“蓉宝”，然后 x-y=2, x+2y=4, C.11-3y= 7 D. 两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间 4 7x-9y=5 多生产100个“蓉宝”，求两车间每天各生产 2.若方程xm-1十5y5=4是二元一次方 多少个“蓉宝”.设甲车间每天生产工个“蓉 程，则m= n= 宝”，乙车间每天生产y个“蓉宝”，则可列方 知识点2二元一次方程组 程组为 3.下列各对数值，是方程2x一3y=6的解的是 5x=6y A. ) 300+4x=4y-100 |x=0, x=1, 6.x=5y, A. B. b y=4 y=-2 300+4y=4.x-100 x=2, x=3, 5x=6y, C. D. C. y=-1 y=0 300+4y=4x-100 4.已知 x=1, 6.x=5y, D y=3 是关于x,y的方程ax十y=2 300+4x=4y-100 的解，则a的值为 7.已知二元一次方程x十3y=14,请写出该方 知识点3根据实际问题列方程组 程的一组整数解： 5.某商店出售大、小盒两种规格的口罩，已知 8.程大位是我国珠算发明家，他的著作《直指 2大盒、4小盒共装80个口罩：3大盒、5小 算法统宗》中记载了一个数学问题，大意是 盒共装110个口罩，则大盒与小盒每盒各装 有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1 多少个口罩？设大盒装x个，小盒装y个， 人分3个，小和尚3人分1个，正好分完.问 则下列方程组中正确的是 ( 大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x 2.x+3y=80, 2x+4y=80, 人，小和尚有y人，则可列方程组为 A. B. 5.x+3y=110 5.x+2y=110 54 ,里。g目里090g 第3章一次方程与方程组 3.4.2代入法解二元一次方程组 N0.1亿基础巩固练 6.用代入消元法解下列方程组： x=3-y,① 知识点1二元一次方程（组）的解 (1) 2x-3y=1:② 1.下列各组数值是二元一次方程x一3y=4的 5n+3m=8,① 解的是 () (2) 2m-n=1:② x=1, A. B. x=2, y=-1 y=1 2.x-3y=3,① (3) x=-1, c. x=4, x+2y=-2:② D. y=-2 y=-1 2.x+4y=5,① (4) 2.在0/=5， ②/-1, x=2, x=1-y.② y=-2 ③ ④ jx=1, y=-3,y=4, y=6 中， 是方程7x一3y=2的解； 是方程2x十y=8的解： 是方 程组 7x-3y=2, 的解.（填序号） 2.x+y=8 知识点2用代入消元法解二元一次方程组 2s+t=3,① 3.用代入法解方程组 下面四个 3s-51=6,② 选项中正确的是 ( A.由②得1=3+6，再代人① 5 易错点对二元一次方程组的解理解不透彻， B.由①得t=3一2s,再代入② 只代入一个方程进行判断致错 C由②得，=6，，再代人① x=3, 3 7.判断 y=-5 是不是二元一次方程组 D.由①得=3士，再代人② 4.x+2y=2, 的解 |x=2y,① x+y=-1 4.二元一次方程组 的解是( 3.x-2y=4,② x=-2, A. B. x=1, y=1 y=-2 x=2, c. x=-4, D. y=1 y=1 5.方程组 3.x-4y=2, 用代入法消去x,所得 x+2y=1 关于y的一元一次方程为 () A.3×2y-1-4y=2B.3(1-2y)-4y=2 C.3(2y-1)-4y=2D.3-2y-4y=2 55 ,,，8 数学七年级上册 NO.2∥能力提升练 5.解方程组 x-y-1=0①， 时，可由①得 4(x-y)-y=5② 1.已知关于x,y的二元一次方程组 x-y=1③，然后将③代人②，得4×1-y=5, 2x十3y=k, 的解中x,y的值互为相反数， x+2y=-1 求得y=一1，进一步求得 x=0,这种方 y=-1. 则k的值为 法被称为“整体代入法” A.1 B.-1 2x-3y-7=0, C.-5 D.5 请用这样的方法解方程组 2.小明说 z=一1·为关于xy的方程ax+b的 2x-3y+2y=9. 7 y=2 x=2, =10的解，小惠说 y--1 为关于x,y的方 程a.x+by=10的解.两人谁也不能说服对 方，如果你想让他们的解都正确，那么需要 添加的条件是 ( ■核心素养练 A.a=12,b=12 B.a=9,b=10 6.阅读材料，善于思考的小军在解方程组 C.a=10,b=11 D.a=10,b=10 2x+5y=3,① ax+by=1 时，采用了一种“整体交换” 3.已知关于x,y的方程组 和 4x+11y=5② 2.x-y=1 的解法： ax-by=5, 的解相同，求a和b的值. 解：将方程②变形：4x+10y十y=5,即2(2x .x十2y=3 +5y)+y=5.③ 把方程①代入③，得2×3+y=5,所以y -1. 把y=-1代人①，得x=4. 所以方程组的解为 x=4, y=-1 请你根据以上方法解决下列问题： 3.x-2y=5, 4.解方程组 ax+by=6, (1)解方程组 时，小强正确解得 9x-4y=19 cx-4y=-2 x=2 (2)已知x,y满足方程组 x2-2xy-7求 而小刚看错了c,解得 x=-2, 2.x2+xy=6, y=2, y=4. xy的值. (1)求出方程组中的c值： (2)求a,b的值. 56 重国0里g目年第书自。多8 第3章一次方程与方程组 3.4.3 加减法解二元一次方程组 NO.1基础巩固练 知识点2变形后加减消元 5.小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组 知识点1直接加减消元 5.x-2y=4,① 1.用加减消元法解二元一次方程组 时，利用①×a十②×b消去 2x+3y=9,② x+3y=4,① 时，下列方法中无法消元的 x,则a,b的值可能是 2x-y=1,② A.a=2,b=5 B.a=3,b=2 是 C.a=-3,b=2 D.a=2,b=-5 A.①×2-② B.②×(-3)-① 6.(1)关于x,y的二元一次方程2x-3y=6 C.①×(-2)+② D.①-②×3 和mx十y=40的三组解分别如表1、表2 2x-3y=11,① 2.用加减法将方程组 中的 所示，则a= ,b= 2x+5y=-5,② 未知数x消去后，得到的方程是 ( ) 表1 表2 A.2y=6 B.8y=16 C.-2y=6 D.-8y=16 3 3.方程组-y=0,① 的解是 0 b 36 12 2x+y=9,② 4.利用加减法解下列方程组： n.x十y=40， (2)解方程组 2x-3y=6. 2z-3y=3.2r+8=I2. (1) x十y=-2: 3x-2y=5: 7.解方程组： (3) 3(x-1)=y+5, 1)/5x+2=1. 5(y+1)=3(x-5). 3.x-y=5: 2.x-3y=4, (2)7x+6y=25. 57 x。,。,，￥ 数学七年级上册 易错点方程变形时，漏乘常数项 5.已知关于x,y的方程组 x-y=4a-3, 8.解方程组 4x-3y=1,① x+2y=-5a. 3x-2y=-1.② (1)①当a=0时，该方程组的解是 ②x与y的数量关系是 .(不含字 母a) (2)是否存在有理数a,使得|x+3|+y=0? 请写出你的思考过程 N0.2能力提升练 1.已知方程组 3x-y=5-2k, 那么x与y的 x+3y=k, ■核心素养练 关系是 ( ) 6.阅读下列解方程组的方法，然后回答问题。 A.4x+2y=5 B.2.x-2y=5 19.x+18y=17,① 解方程组 C.x+y=1 D.5.x+7y=5 17.x+16y=15.② 2.若方程组 4x+3y=1, 解：①-②，得2x+2y=2,即x+y=1,③ kx-(k-1)y=3 的解中x与y ③×16，得16.x+16y=16,④ 的值互为相反数，则k的值为 ②-④，得x=-1, 3.对于X,Y定义一种新运算“”：X*Y= 从而可得y=2, aX+bY,其中a,b为常数，等式右边是通常 的加法和乘法运算.已知3米5=15,4￥7= 所以原方程组的解是口=。一1， y=2. 28,那么1*2 (1)请你仿照上面的解题方法解方程 3x十5y=m+2的 2022.x+2021y=2020, 4.已知关于x,y的方程组 组 2x+3y=m 2020.x+2019y=2018. 解满足x+y=一10，求代数式m2一2m+1 (2)请大胆猜测关于x,y的方程组 的值 (a+2)x+(a+1Dy=a'(a≠b)的解是什 (b+2)x+(b+1)y=b 么.（不用写解答过程） 58 1，,1。3.解：(1)设租用了x条四座电瓶船，则租用了(10 (2)由②得n=2m-1.③ 一x)条六座电瓶船. 把③代入①，得10m-5+3m=8, 根据题意，得100.x+120(10一x)=1060,解得 解得m=1. x=7. 把m=1代入③得n=1. 答：租用了7条四座电瓶船. 则方程组的解为 m=1, (2)由(1)可知，共有学生4×7+6×(10一7)= n=1. 46(名). (3)由②，得x=-2-2y,③ 方案一：租用10条四座电瓶船，1条六座电瓶 把③代入①，得2(-2-2y)-3y=3, 船，总费用为100×10+120×1=1120（元）； 解得y=一1. 方案二：租用7条四座电瓶船，3条六座电瓶船， 把y=一1代入③，得x=0. 总费用为1060（元）： 方案三：粗用4条四座电瓶船，5条六座电瓶船， 所以原方程组的解为口=0， y=-1. 总费用为100×4+120×5=1000（元）： (4)把②代入①，得2(1-y)+4y=5, 方案四：租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船， 总费用为100×1+120×7=940（元），因为940 解得=是 <1000<1060<1120, 所以最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条 把=2代入②，释x= 2. 六座电瓶船. 1 t= 4.解：(1)AB=2-(-3)=5,PQ=220-(-100) 2 所以原方程组的解为 =320.故答案为5；320. y=2 (2)根据题意可得PQ=n一m.故答案为n一m. /x=3, (3)①根据题意可得，t的值为2时，点P表示的 7.解：把 y=-5 代入方程4x十2y=2,左边=4× 数为一3一2×1=一5，点Q表示的数为2一2× 3十2×（一5）=2，右边=2，左边=右边. 2=-2,PQ=1-2-(-5)|=3. ②经过t秒，点P表示的数为一3一t,点Q表示 所以{5是方程4x十2y=2的解： 的数为2一21，则1(2一2t)-(-3-t)|=2,化简 得|5-1=2，可得5-1=2或5-1=-2，解得 =3,代入方程x十y=一1. 把 y=-5 1=3或1=7.故答案为3或7. 左边=3十(-5)=一2，右边=一1，左边≠右边. 3.4二元一次方程组及其解法 所以=3，不是方程x十y=-1的解， 1y=-5 3.4.1认识二元一次方程组 所以 红=3，不是二元一次方程组 ly=-5 基础巩固练 1.D2号 -23.D4.-15.C6.D 4x+2y=2·的解. x+y=-1 x=11·(答案不唯一） 能力提升练 7. y=1 1.B2.D x+y=100, 3.解：由题意得题中的两个方程组与方程组 8. 3r+3y=10o 2x一y=1·的解相同， x+2y=3 3.4.2代入法解二元一次方程组 解方程组 2xy=1得=1. x+2y=3,ly=1. 基础巩固练 将 任代入ax+=l得a+-, 1.A2.②③ ①③④③3.B4.C5.B y=1 ax-by=5,a-b=5, 6.解：(1)把①代入②，得2(3-y)-3y=1,解得y =1. 解得口=3， 1b=-2. 把y=1代入①，得x=2. 4解：1)起：名代入方程组得a十8，解 所以原方程组的解为 x=2, y=2 lc-4=-1 1y=1. 得c=3. 53 (2)方程组/a.x十by=6,① ①十③，得16.x=32,解得x=2. cx-4y=-2.② 将x=2代入②，得6-2y=5,解得y=2 把 =一2，代入①得-2a+4b=6, y=4 x=2, 即a=2b-3.③ 所以原方程组的解是 1 把③代入a+b=3得2b-3+b=3, y=2 解得b=2. 3.x-y=8,① 把b-2代入③得a=1. （3)将原方程组整理，得3x-5y=20,② 则a,b的值分别为1,2. ①-②，得4y=-12,解得y=一3. 2x-3y-7=0,① 把y=-3代入①，得3x+3=8, 5.解： 2x-3y+2y=9,② 7 郎得= 由①，得2x-3y=7,③ 将③代入②，得1+2y=9,解得y=4, 所以原方程组的解是 T= 3 把y=4代入③，得2.x-12=7, y=-3. 19 5.D 解得x=吕，所以原方程组的解为 T= 2 6.解：(1)647 y=4. 6.解：1)/8x-2y=5,0 r=a代入2x-3y=6,得2a-6=6,解得a 把 y=2 (9.x-4y=19.② 由②得3(3.x-2y)+2y=19.③ =6.把=9：代入2x-3y=6,得18-36=6， ly=b 把①代入③得15+2y=19,解得y=2. 把y=2代入①得3.x-4=5,解得x=3. 解得=4.起任二9：T分别代入mr十四 y=4,y=36 则方程组的解为口=3， y=2. =40,得 /9m十4n=400·@×9-①得，320n 4x2-2.xy=7,① m+36n=40②， (2)2x2+xy=6.@ 320,解得n=1.把n=1代入②，得m+36=40, 由①得2(2x2+xy)-4xy=7.③ 解得m=4.所以方程m.x十ny=40变为4.x十y 起②代入③得12-4y=7,解得y=是. =40.把 r=c,代入4x+y=40,得4c+12= y=12 40,解得c=7. 3.4.3加减法解二元一次方程组 (2)由题中表1、表2及(1)可知，《 =9·同时满 基础巩固练 y=4 1.D2.D3. x=3, 足方程2x-3y=6和m.x十ny=40, y=3 所以方程组 m.x+1y=40 4.解：(1)/2-3y=3,0 12x-3y=6 的解是/下=9， y=4. x+y=-2.② ②×2，得2.x+2y=-4,③ 7.解：1)5x+2y=1, 13.x-y=5.② ①+②×2得11x=11, ③-①，得5y=-7,解得y=-2 解得x=1.把x=1代入①得5+2y=1,解得y 51 x=1, 将y= 号代入@，得x一号=-2， 7 =一2，则方程组的解为 y=-2. 解得x=-3 /2x-3y=4,① (2) 7x+6y=25.② T=- 3 ①×2得4x-6y=8,③ 所以原方程组的解是 ③+②得11x=33,解得x=3. y= 1 把x=3代入①释y=号 4.x+8y=12,① (2)3x-2y=5.@ x=3, 则原方程组的解为 ②×4，得12.x-8y=20,③ - 54 8.解：①×2，得8.x-6y=2.③ ②×3，得9x-6y=-3.④ 3.5二元一次方程组的应用 ③-④，得-x=5,即x=-5. 把x=一5代入①，得y=一7，所以原方程组的 3.5.1列二元一次方程组解决 解为/x=-5, 积分和行程问题 y=-7. 基础巩固练 能力提升练 1.D 1.C2.23.13 4.解：已知3.x十5y=m+2,0 2.解：设他选对了x道题，不选或选错了y道题 2.x+3y=m.② 根据题意，得十y25,解得x一3. ①×2-②×3，得y=4-m. 4x-y=90, y=2. 把y=4-m代入②，得x=2m-6. 答：他选对了23道题. 所以原方程组的解为r=2m一6， 3.D 1y=4-m. 4.解：法一设A,B两地间国道和高速公路长分 将=2m-6代入c十3y=-10, 别是xkm,ykm. y=4-m x+y=290, 得2m一6+4一m=-10,解得m=-8, 依题意，得 则m2一2m+1=81. 高十流=5部 x=90, y=200. 5.解：(1)①把a=0代入方程组，得 答：A,B两地间国道和高速公路长分别是90km, x-y=-30·②-①，得3y=3,解得y=1, 200km. x+2y=0②， 法二设该辆汽车在国道上行驶的时间为xh, 把y=1代入①，得x一1=一3，解得x=一2， 在高速公路上行驶的时间为yh. 则该方程组的解为肛二一2， /x+y=3.5, x=1.5, y=1. 解得 y=2. ®2,8@-①得8w=-a+ 依题意，得60x+100y=290, 则A,B两地间国道长是1.5×60=90(km),高速 公路长是100×2=200(km). 解得y=-3a十1③，把③代入①，得x (-3a十1)=4a-3,解得x=a-2,即a= 答：A,B两地间国道长是90km,高速公路长是 x+2,把a-x+2代入③，得y--3(x+2)+ 200km. 1,整理得3x+y=-5. 5.解：设此列高铁列车的车长为xm,车速是 (2)不存在有理数a,使得x十3十y=0.理由 y m./s. 如下： 根据题意画出示意图： 因为x十3|十y2=0,所以x十3=0，y=0, 高铁列过片始 结束 解得x=一3，y=0, 桥全过程 路程=车长+桥长 将工二3·代入方程组，得 -3=4a-3, y=0 -3=-5a, 桥长 车长 解得a=0且a=号，矛盾， 路程= 则不存在有理数a,使得|x十3引十y2=0. 负铁列车完厅始桥5~结束 车长 6解.a88r2020as.8 全在桥上 4长 桥长 ①-②，得2x+2y=2,即x+y=1③， 1800+x=25y, ③×2020，得2020x+2020y=2020④， 可列方程组 ④一②，得y=2, 1800-x=20y, 将y=2代入③，得x=-1. 解得 x=200, 所以原方程组的解是口=。-1， y=80. ly=2. 答：此列高铁列车的车长为200m,车速是80m/s 6.解：设孙悟空的速度是x里分，风速是y里/分，依 (2) (a+2)x+(a十1)y=a(a≠b)的解 1(b+2)x+(b+1)y=b 4r十)=100解得=200故风速是 |x=-1, 题意，得4x-)=60, 1y=50. ly=2. 50里分. 55