第四章 2 角&专题五-【提分教练】2024-2025学年新教材七年级数学上册同步精导优化与设计方案（北师大版2024）

第四章基本平面图形 类型3与线段上的动点有关的计算 7.如图，直线AB上有一点P,点M,N分别为 6.如图，已知线段AB=12cm,点C为线段 线段PA,PB的中点，AB=14. AB上的一动点，点D,E分别是AC和BC (1)若点P在线段AB上，且AP=8,求线 的中点 段MN的长度： ADC龙B (2)若点P在直线AB上运动，设AP=x, (1)当点C运动到AB的中点时，求DE的 BP=y,请分别计算下面情况时MN的长度： 长度： A M P N B (2)当点C运动到AC=4cm时，求DE的 ①当P在AB之间： 长度 ②当P在A左边： (3)小明说，无论点C怎样运动，线段DE的 ③当P在B右边： 长度都不变.你认为小明的说法正确吗？为 你发现了什么规律？ 什么？ 2角 第1课时角 N0.1基础现固练芬实基种现两新知 2.下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角 的是 知识点1角的定义，分类及表示方法 1.下列说法正确的是 ( A.角是有公共端点的两条射线 B.两条线段组成的图形叫作角 C.角可以看成是由一条射线绕着它的端点 旋转而成的图形 D.任意一个角都可以用它的顶点字母来 表示 67 ,,￥ 七年级数学上册 3.下面的这些角中（填写角的编号，如：∠8）： 易错点度、分、秒转换时，误按十进制进行换 算而致错 10.(1)把23.29°转化为用度、分、秒表示的 形式； 锐角是 ;平角是 :周角是 (2)把3314'24"转化为用度表示的形式. 知识点2角的度量及换算 4.如图，以O为顶点且小于180的角有() A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 5.下面等式成立的是 ( A.83.5=8350 B.90°-5723'27”=3237'33 C.15°48'36"+372759"=52°16'35" D.41.25°=4115 ND2能力提升练 突破能力提升素养 6.若∠1=5837'，∠2=4355'，则∠1+∠2= 11.阅读下列语句：①在∠AOB的边OA的延 长线上取一点P:②角的两边可长可短； 7.当时钟指向上午10点20分时，时针与分针 ③一条直线就是一个平角：④有公共点的 的夹角是 度. 两条射线组成的图形叫做角.其中错误的 知识点3方位角 语句有 () 8.如图，射线OA表示的方向是 A.1个 B.2个 北 C.3个 D.4个 12.已知∠a=18°18'，∠3=18.18°，∠y= 3 东 18.3°，下列结论正确的是 () 0 659 A.∠a=∠3 B.∠a<∠3 南 C.∠a=∠Y D.∠>∠Y A.北偏东65 B.北偏西35 13.如图，某海域有三个小岛A,B,O,在小岛 C.南偏东65 D.南偏西35 O处观测到小岛A在北偏东60°的方向 9.一架飞机从某地向南偏东30°方向飞行了 上，小岛B在南偏东40°的方向上，则 1200km,返回时飞机应向 ) ∠AOB的度数是 A.北偏西30°方向飞行1200km B.北偏西60°方向飞行1200km C.东偏南30°方向飞行1200km D.东偏南60°方向飞行1200km 68 品 第四章基本平面图形 14.现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状 17.如图，小明的地图上有A,B,C三地，地图 包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂 被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但 向上抬，举到10点10分处，每天连续走 知道C地在A地的北偏东30°，在B地的 200米，能有效缓解此症状：这里的10点 南偏东45°，请你帮他确定C地的位置。 10分处指的是时钟在10点10分时时针 和分针的夹角，请你求出这个夹角的度数 是 15.魏老师去农贸市场买菜时发现，若把10千 克的菜放在秤上，则指针盘上的指针转了 180°，第二天魏老师请同学们回答以下两 个问题： (1)若把0.5千克的菜放在秤上，则指针转 过 度： (2)若指针转了243°，则这些菜共有 千克 16.计算： (1)32°19'+1653'16"： (2)7235÷2+1833×4. ■核心素养练 18.如图所示： 图1 图2 图 (1)在∠AOB内引一条射线时，图1中共 有 个角： (2)在∠AOB内引两条射线时，图2中共 有 个角： (3)在∠AOB内引三条射线时，图3中共 有 个角： (4)在∠AOB内引n条射线(n为正整数) 时，共有 个角， 69 重年重年。，，，。里g。￥ 七年级数学上册 第2课时 角的比较大小 N0.1基础现固练， 夯实基破现周新妇 知识点3角的有关运算 6.如图，∠AOB=90°，直线CD经过点O, 知识点1角的比较大小 ∠BOD=110°.则∠AOC的度数为() 1.下列说法正确的是 A.30 B.20 A.角的两边画的越长，这个角就越大 C.15 D.109 B.角的大小与角的两边所画的长短无关 C.角的大小与它的度数的大小是不一致的 D.放大镜可以把角的度数放大 2.在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC, 则一定存在 () 第6题图 第7题图 A.∠AOB>∠AOC 7.如图，∠AOB=100°，∠BOC=30°，小明想 B.∠AOB<∠AOC 过点O引一条射线OD,使∠AOD: C.∠BOC>∠AOC ∠BOD=1：3(∠AOD与∠BOD都小于平 D.∠AOC>∠BOC 角)，那么∠COD的度数是 3.若∠a=6.6°，∠B=66',则∠a (填 A.45° B.45或105 “>”“<”或“=”)∠B. C.120 D.45或120 知识点2角的平分线 8.如图，已知∠AOB=40°， 4.如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条 ∠BOC=3∠AOB,OD平 件中不能确定OC平分∠AOB的是() 分∠AOC,求∠BOD的 度数 0 A.∠AOC=∠BOC B∠A0C-∠A0B C.∠AOB=2∠BOC D.∠AOC+∠COB=∠AOB 5.如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC 的平分线.∠COB=42°，则∠DOC的度 数是 0 A.59 B.60 C.69° D.70 0 第四章基本平面图形 知识点4角的基本作图 13.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那 9.如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作 样拼在一起，其中A,B,D三点在同一直线 出了∠NCB=∠AOB,作图痕迹中，弧 上，BM为∠CBE的平分线，BN为∠DBE FG是 的平分线，则∠MBN的度数是 A.60 B.67.5 C.75 D.85 14.已知∠AOB=30°，∠BOC=80°，那么 D A.以点C为圆心，OD长为半径的弧 ∠AOC B.以点C为圆心，DM长为半径的弧 15.如图，OM,ON分别是∠B0C和∠AOC的 C.以点E为圆心，OD长为半径的弧 平分线，∠AOB=84°. D.以点E为圆心，DM长为半径的弧 (1)∠MON= 10.如图，已知∠a和∠3.求作：∠AOB,使 (2)当OC在∠AOB内部绕点O转动时， ∠AOB=2∠a一∠B.(保留作图痕迹，不 ∠MON的度数 (填“会”或“不 写作法) 会”)改变 易错点对符合条件的角的位置情况考虑不 全而致错 第15题图 第16题图 16.如图，点O为直线AB上一点，∠BC=80°， 11.已知∠AOB=40°，∠BOC=20°，则∠AOC 的度数为 OE是∠BC的平分线，2∠AOF=3∠COF. A.60 B.20 (1)求∠AOF的度数： C.40 D.20°或60 (2)试说明OC平分∠EOF的理由. NO2☑能力提升练 突破能力提升素养 12.如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD,下 列结论错误的是 ) A.OB,OC分别平分∠AOC,∠BOD B.∠A(OD=∠AOB+∠AOC C.∠BOC= 2∠A0D-∠AOB D.∠cOD=∠AOD-∠BOC × 第12题图 第13题图 71 七年级数学上册 ■核心素养练 (3)如图2所示，射线OC在∠AOB的外 部，且OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.试 17.已知：如图1所示，OC是∠AOB内部一条 着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关 射线，且OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. 系.（写出详细推理过程） 图1 图2 (1)若∠AOC=80°，∠BOC=50°，则 ∠EOF的度数是 (2)若∠AOC=a,∠BOC=B,求∠EOF的 度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与 ∠AOB之间的数量关系：（写出计算过程） 专题（五） 与角平分线有关的计算问题 类型1和差倍分问题 类型2分类讨论问题 1.如图，O为直线AB上一 2.如图，已知OC是∠AOB的 点，∠AOC=3∠BOC. 平分线。 3 (1)当∠AOB=60°时，求 OC是∠AOD的平分线，A ∠AOC的度数： 求∠COD的度数。 (2)在(1)的条件下，∠EOC=90°，请在图中 补全图形，并求∠AOE的度数. 72 重国0。量ggg。。 第四章 基本平面图形 类型3整体思想的应用 类型4折叠问题 3.已知，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC 4.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落 的平分线 在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那 么∠DAE等于 A.10 B.15 C.20 D.30° 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60 时，∠MON的度数是多少？ (2)如图2，当∠AOB=a,∠BOC=60时，求 第4题图 第5题图 ∠MON与a的数量关系， 5.如图，将长方形纸片ABCD按如图所示的 (3)如图3，当∠AOB=a,∠BOC-3时， 方式折叠，EF,EG为折痕，点A落在A'处， ∠MON与a,3存在数量关系吗？如果有， 点B落在B处，点A',B,E在同一直线上。 请写出结论并说明理由。 (1)如果∠BEG=65°，求∠AEF的度数： (2)请你说明，当∠BEG的度数发生变化 时，∠FEG的度数总是90°. 73 。,,,2角 4.D解析：A.:∠AOC=∠BOC,.OC平分 ∠AOB.所以A选项正确，不符合题意： 第1课时角 1.C B:∠A0C=号∠A0B0C平分∠A0B.所 2.A解析：要是能用∠1，∠O表示同一个角，必 以B选项正确，不符合题意.C.,∠AOB=2 须共用角的顶点，且角的两边重合，选项B、C,D ∠BOC,∴.OC平分∠AOB.所以C选项正确， 中，∠O表示不明确，不符合题意；选项A符合 不符合题意：D.,·∠AOC十∠COB=∠AOB, 题意，故选A. ∴.OC不一定平分∠AOB.所以D选项错误，符 3.∠2∠3∠44.D5.D 合题意：故选D, 6.10232'7.170 5.C6.B7.D 8.C解析：射线OA表示的方向是南偏东65°，故 8.解：因为∠BOC=3∠AOB,∠AOB=40°， 选C. 所以∠BOC=120°， 9.A 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+120° 10.解：(1)23.29°=23°+0.29°=23°+0.29×60 =160°. =23°+17.4'=23°+17′+0.4×60”=23°+ 又因为OD平分∠AOC, 17+24"=2317'24". 所以∠A0D=2∠A0C=80, (2)331424=33°+14+(24×0/=33°+ 所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=80°-40° =40. 14+0.4=33+14.4=33°+(14.4×60)° 9.D 33°+0.24°=33.24. 10.解：如图所示，∠AOB=2∠a-∠3. 11.D12.C13.80°14.115 15.(1)9(2)13.5 16.解：(1)3219'+1653'16” =32°+16°+19'+53'+16” =48°7216" 11.D12.C13.C =491216”. 14.50°或110°15.(1)42°(2)不会 (2)7235'÷2+1833'×4 16.解：(1)由题意，知∠AOC=180°-∠BOC =3617'30”+74121 =100°， =110°29'30". 因为2∠AOF=3∠COF, 17.解：要确定C地的位置，只需画出以B为端点 所以∠A0F=号∠A0C=60 南偏东45°方向的射线和以A为端点北偏东 (2)因为∠AOF=60°， 30°方向的射线，如图所示，两射线的交点即C 地的位置. 所以∠COF=40°， 又因为OE平分∠BOC, 且∠BOC=80°，所以∠COE=40°， 所以∠COF=∠COE, 所以OC平分∠EOF. 17.解：(1)OE平分∠AOC, ∠AOC=80°， ∠E0C-∠A0C=40 ,OF平分∠BOC,∠BOC=50°， 18.(1)3(2)6(3)10 ∠P0C=7∠B0C=25: (4)n+1)(n十2) 2 ∴.∠EOF=∠EOC+∠FOC=65°. (2).'OE平分∠AOC,∠AOC=a, 第2课时 角的比较大小 1.B2.A3.> ∴∠coE=7a. 51 :OF平分∠BOC,∠BOC=3, (2)易知∠AOC=∠AOB+∠BOC=a十60°. ·∠C0F=2R 因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的 平分线， ∠0r=∠0oE+∠oF=a+2R 所以∠C0M=2∠A0C=a+30,∠C0N= :∠EOF=a+A)=2(∠A0C+∠B0C, 2∠B0C=30, ∠AOC+∠BOC=∠AOB, ∠EOF与∠AOB之间的关系为： 所以∠MON=∠COM-∠CON=Za. ∠EOF=∠AOB(浅∠A0B=2∠BOF. (3)∠MON只和&有关，和3无关，∠MON (3)∠EOF=2∠AOB,理由： 理由如下： :OE平分∠AOC,OF平分∠BOC 易知∠AOC=∠AOB+∠BOC=a+B. :∠C0E=2∠A0C.∠CoF=2∠B0C 因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的 平分线， ·.∠EOF=∠COE-∠COF= ∠AOC 所以∠cOM=2∠A0C=2a+2B,∠C0N= ∠BOC=∠AOB. 3∠B0C-2B. 专题（五）与角平分线有关的计算问题 所以∠MON=∠COM-∠CON= 1.解：因为∠A0C=寸∠B0C, 2, 所以∠MON只和a有关，和B无关，∠MON= ∠AOC+∠BOC=180°， 1 所以4∠AOC=180°， 24. 所以∠AOC=45°. 4.B 因为OC平分∠AOD, 5.解：(1)根据折叠得，∠BEG=∠B'EG,∠AEF 所以∠COD=∠AOC=45. =∠A'EF,所以当∠BEG=65°时，∠BEG 2.解：(1)因为OC是∠AOB的平分线， =65°. 所以∠A0C=2∠AOB, 所以∠BEB'=∠BEG+∠B'EG=65°+65 =130°. 因为∠AOB=60°，所以∠AOC=30° 所以∠AEA'=180°-∠BEB=180°-130 (2)如图1，∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+ =50° 30°=120°； 所以∠AEF=∠A'EF=号∠AEA'=号X50 =25. (2)根据折叠得，∠AEF=∠A'EF= 图 图2 2∠AEA. 如图2，∠AOE=∠EOC-∠AOC=90°-30 =60°. ∠BEG=∠BEG=∠BEB. 故∠AOE的度数为60°或120. 因为∠AEB=180°， 3.解：(1)因为∠AOB=90°，∠BOC-60°， 所以∠FEG=∠A'EF+∠B'EG=∠AEA 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°. 因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的 专∠BEB=(∠AEA'+∠BEB)= 平分线， 所以∠C0M=号∠A0C=75,∠C0N= ∠AEB=2×180°=90. 3多边形和圆的初步认识 2∠B0C=30. 1.D2.D3.144.A5.C6.B 所以∠MON=∠COM-∠CON=45°. 7.3 52