24.2 直角三角形性质 导学案 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

24.2 直角三角形性质 学习目标 1.理解掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. 2.继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的变化、相互联系和相互转化的规律. 学习策略 结合以前学的性质，探索新知识，也就是温故而知新。 学习过程 1. 复习回顾： 已经学过的直角三角形的性质. (1)____________________________________________________ (2)___________________________________________________ 直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二.新课学习： （一）研究直角三角形性质 如图，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD量一量，看看CD与AB有什么关系. A C B D （二）猜一猜 量一量 CD= ;AD= BD= ;AB= ; CD= AB 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 证一证 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB的中线. 归纳: 符号语言： 例1 Rt△ABC中，∠ACB=90 °，∠A=30°，求证：. 归纳; 直角三角形性质4: 例2 如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB＝15°，然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB＝30°，量得CD＝13 m，求旗杆AB的高度． 例3．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点，连结GF.求证：GF⊥DE. 例3．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点，连结GF.求证：GF⊥DE. 例4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长． 例5．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE，G为垂足． (1)求证：DC＝BE； (2)若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数． 四.自主总结： 1. 直角三角形的性质1 直角三角形的两个锐角互余 2. 直角三角形的性质2 勾股定理 3. 直角三角形的性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4．直角三角形的性质4 直角三角形30⁰所对的直角边等于斜边的一半 5.常用辅助线. 构造直角三角形 构造斜边上的中线 当堂训练 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(　　) A．20　B．12　C．16　D．13 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为(　　) A．6 B．6 C．9 D．3 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是______. 4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝______. 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED． (1)求证：△MED为等腰三角形； (2)若∠EMD＝40°，求∠DAC的度数． 当堂训练答案“ 1.C 点拨：∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC，CD=BC=4，∵AD⊥BC，点E为AC的中点，所以DE=EC= 所以▲CDE的周长=CD+DE+EC=16 2.C 点拨：因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,所以∠DAE=∠B=30°，所以∠ADC=60°，所以∠CAD=30°，所以AD为∠BAC的角平分线，因为∠C=90°，DE⊥AB，所以BD=2DE=6,所以BD=9 3.3 点拨： 解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE=1， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠B=∠DAB， ∵∠DAB=∠CAD， ∴∠CAD=∠DAB=∠B， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°， ∴∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=BD+CD=1+2=3， 故答案为：3． 4.8 点拨：解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O， ∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°， ∵∠CAE=15°， ∴∠E=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°． ∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°， ∴AE=2AD=8． 故答案为8． 5. (1)证明：∵AD⊥BC，M为AB边的中点，∴MD＝AB．同理ME＝AB，∴ME＝MD，∴△MED为等腰三角形． (2)解：∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE.又∵MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC，∴∠DAC＝∠EMD＝20°. 学科网（北京）股份有限公司 $$