专题13.4 三角形中的边角关系、命题与证明（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题13.4 三角形中的边角关系、命题与证明（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（   ） A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种 4．（2024七年级下·江苏·专题练习）的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（   ） A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．6或7 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知、分别为的边，的中点，连接，，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（23-24七年级下·江苏南京·期中）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 9．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，，点P为外一点（点P不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（    ） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 10．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，求的度数是 ．    12．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在中，，和外角的平分线交于点，和的平分线交于点，…，和的平分线交于点，则的度数为 ．    13．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，分别是，边上的高线．若，，则的度数是 ． 14．（23-24七年级下·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ． 15．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（6分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为偶数．求的周长． （2）化简：． 17．（6分）（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，P为中任意一点．证明：． 18．（8分）（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，且的面积为27，求的面积． 19．（8分）（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：    （1）将向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，画出； （2）画出边上的高； （3）的面积为______； （4）若，点为异于点的格点，则点的个数有______个． 20．（10分）（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知在中，，过点D作，垂足为E，为的一条角平分线，为的平分线． （1）如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由， ②判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，若，点G在边上，与交于点M，用含有的代数式表示，则 ； （3）如图3，若，点G在边上，与的延长线交于点H，用含有的代数式表示，并说明理由． 21．（12分）（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】 三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是． 【问题思考】 如图1，在中，延长到点D，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由． 【问题拓展】 在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和． （3）如图2，当，此时，的位置关系为 ； （4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系； （5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系． 22．（12分）（23-24七年级下·江苏常州·期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． （2）如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． （3）如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，直接写出的度数． 23．（13分）（23-24七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.4 三角形中的边角关系、命题与证明（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【思路点拨】 本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质．根据非负数的性质可得，再由三角形的三边关系，可得，即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴， 解得：， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， 即， ∴这个三角形的第三边可以是3． 故选：B 2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解题过程】 解：①因为，则，所以是直角三角形； ②因为，设，则，，，所以是直角三角形； ③因为，所以，则，所以是直角三角形； ④因为，所以，又，，解得，是直角三角形； 能确定是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：D． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（   ） A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种 【思路点拨】 本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键． 【解题过程】 解： ①∵正三角形的每个内角是， ∴能够镶嵌成一个平面图案； ②∵正方形的每个内角是， ∴能够镶嵌成一个平面图案； ③∵正五边形的每个内角是， ∴不能镶嵌成一个平面图案； ④∵正六边形的每个内角是， ∴能够镶嵌成一个平面图案； ⑤∵一般三角形的三个内角组合在一起是，6个就可以组成， ∴能够镶嵌成一个平面图案； ⑥∵一般四边形四个内角组合在一起可以组成， ∴4个即能够镶嵌成一个平面图案． 综上所述，符合题意的有①②④⑤⑥共5种， 故选：D． 4．（2024七年级下·江苏·专题练习）的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（   ） A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．6或7 【思路点拨】 本题主要考查了三角形的面积的应用，解题时需要熟练掌握并理解． 依据题意，设的三边分别为，，，再结合面积法，令边上高为4，边上高为12，边上高为，则，最后依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解． 【解题过程】 解：设的三边分别为，，， 由题意，令边上高为4，边上高为12，边上高为， ． ． ，． ， ． ， ． 为整数， 或5． 故选：B． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知、分别为的边，的中点，连接，，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了根据三角形中线求面积，根据中点和中线，得出图中各三角形面积的倍数关系，推出四边形的面积，，进一步计算得出答案即可，得出图中各三角形面积的倍数关系是解题的关键． 【解题过程】 解：∵、分别为的边，的中点，连接，，为的中线， ∴，，， ∴和等底同高，和等底同高，和等底同高， ∴，，， 又∵，， ∴，， ∴四边形的面积，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【思路点拨】 延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答． 【解题过程】 解：如图，延长交于点，    设的度数为，的度数为， 平分，平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 将代入可得， 整理得， 故选：D． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】 本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积．连接，如图，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为5求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值． 【解题过程】 解：连接，如图， 点为的中点， ， 为的中线， ，， 点为中点， ， 四边形的面积为10， ， 即， 解得， 作于点，如图， ， ， ， ， 的最小值是8； 故选：C． 8．（23-24七年级下·江苏南京·期中）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】 本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【解题过程】 解：如图， ，的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，故①正确， 平分， ， ，， ，故②正确； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ．故④正确， 综上正确的有：①②④， 故选：C． 9．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，，点P为外一点（点P不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（    ） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】 根据点P有6种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求解． 【解题过程】 解：如图一，， ∵， ∴， ∴； 如图二，在四边形中，， ∴； 如图三，， ∵， ∴， ∴； 如图四，延长交于点D， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 如图五，延长， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴； 如图六，延长， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 综上判断①、②、③、④都正确， 故选：D． 10．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【解题过程】 解：根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，求的度数是 ．    【思路点拨】 本题考查了多边形内角与外角，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问题．连接，则，则图中所求的几个角的和是五边形的内角和． 【解题过程】 解：连接，    在与中，， ， 在五边形中 ． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在中，，和外角的平分线交于点，和的平分线交于点，…，和的平分线交于点，则的度数为 ．    【思路点拨】 本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，利用类推法找出规律是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【解题过程】 解： 是一个外角， ， ， 和外角的平分线交于点， ，， ， 同理， ， 以此类推： ， ， ； 故答案为：． 13．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，分别是，边上的高线．若，，则的度数是 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【解题过程】 解：，分别是，边上的高线， ，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， 故答案为：134． 14．（23-24七年级下·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ． 【思路点拨】 此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解． 【解题过程】 解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴选4，5，7，9， 如图，①当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是8， ②当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 如图，当时， ③当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是11， ④当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11． 故答案为：11． 15．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形的面积，连接，设，，，由，，可得，，进而可得，，由，可得，由，可得，即得，根据当取最大时，取最大，由当时，取最大值，可得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【解题过程】 解：连接， 设，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大， 当时，取最大值， ∴， 由得，， ∴与面积之和的最大值， 故答案为：． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（6分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为偶数．求的周长． （2）化简：． 【思路点拨】 本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【解题过程】 （1）解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 17．（6分）（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，P为中任意一点．证明：． 【思路点拨】 此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．延长交于点D．利用三角形三边关系得到，同理可得，，进一步即可得到结论． 【解题过程】 证明：如图所示，延长交于D， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴.① 同理可得，② .③ 由①＋②＋③得， 即． 18．（8分）（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，且的面积为27，求的面积． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，因此，由此可得． （2）由，中上的高与中上高相同，可得，因此，由此可求出．同理可求出，，即可求出的面积． 【解题过程】 （1）理由如下： 平分，平分， ． ， ， ， ． （2），中上的高与中上高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． 19．（8分）（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：    （1）将向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，画出； （2）画出边上的高； （3）的面积为______； （4）若，点为异于点的格点，则点的个数有______个． 【思路点拨】 本题考查了平移作图，面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平移作图方法即可； （2）根据三角形高的定义即可作图； （3）把三角形的面积看成正方形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （4）设中边上的高为，中边上的高为，由，得，则，找过点且平行于的直线上得格点，即可求得． 【解题过程】 （1）解：根据题意可得：向上平移个单位，向左平移个单位，如图，      ∴即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）的面积为， 故答案为：． （4）设中边上的高为，中边上的高为， 则，， ∵， ∴，则， 如图，格点，在过点且平行于的直线上，符合题意， 即：当时，异于点的格点的有2个， 故答案为：2． 20．（10分）（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知在中，，过点D作，垂足为E，为的一条角平分线，为的平分线． （1）如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由， ②判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，若，点G在边上，与交于点M，用含有的代数式表示，则 ； （3）如图3，若，点G在边上，与的延长线交于点H，用含有的代数式表示，并说明理由． 【思路点拨】 （1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得，即可证明与的位置关系； （2）根据四边形内角和等于可求出，，根据角平分线的定义可得出，，进而得到，再进行等量代换即可； （3）根据三角形外角的性质先得到，，，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于进行等量代换即可求出． 【解题过程】 （1）①，理由如下 ∵，， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． ②，理由如下 ∵， ， ∴， ∴． （2）三角形内角和为，则四边形可以看作是两个三角形拼接而成，即有四边形内角和为：， ∵， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． 将其代入， 得． 故答案为：． （3），理由如下 ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 又∵，， ∴， 整理得， ∴． 将其代入， 得． 21．（12分）（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】 三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是． 【问题思考】 如图1，在中，延长到点D，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由． 【问题拓展】 在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和． （3）如图2，当，此时，的位置关系为 ； （4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系； （5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的定义可求得和的度数，再根据，即可求出的度数． （2）由（1）得，将，代入化，再将 代入化简以后的式子中即可得与m的关系式． （3）根据四边形的内角和等于，且，可得，进一步可得．根据角平分线的定义及平行线的性质可得． （4）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，．再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系． （5）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，，再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系． 【解题过程】 （1）， ． ∵，分别平分和， ，， ， ． （2）的大小不变，理由如下： 由（1）得， ． （3）∵四边形内角和等于， 而， ， ， ， ∵，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：平行 （4）∵四边形中， ， ， ， ∵、分别平分和， ，， ． （5）如图，时， ∵四边形中， ， ， ． ∵、分别平分和， ，， ， ． 22．（12分）（23-24七年级下·江苏常州·期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． （2）如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． （3）如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，直接写出的度数． 【思路点拨】 本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质．新定义的应用，解题的关键是能对新定义的理解和运用． （1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答． （2）先证明，是“优雅三角形”，结合①当“优雅角”为；②当另两个角中有优雅角这两个情况，分别得出的度数为，的度数为，以及的度数为，即可作答． （3）进行角的运算得，结合平分以及是“优雅三角形”， 三角形的内角和定理等性质，进行分类讨论，再逐一列式计算，即可作答． 【解题过程】 （1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：， “优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得： ， 故答案为：； （2）解：交于点， ， ∵点在线段上 ∴ ∵，是“优雅三角形”， ∴①当“优雅角”为时，另一个角为，则，的度数为， ②当另两个角中有“优雅角”时， 即另两个角之和为， 根据“优雅三角形”的定义， 设另两个角的小的角为，则另两个角的大的角为 则 ∴ 另两个角分别为：，， 若，则的度数为， 若，此时点与点重合 则的度数为 综上所述，的度数为或或； （3）解：，， ， ， ∴ ∵平分交于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是“优雅三角形”， ①当，， ∵， ∴， 解得，； ②当，， ∵ ∴ ∵是的外角，且 ∴与相矛盾 ∴无解，故不符合题意； ③当，， ∵ ∴ ， 解得， ∴ ∵， ∴ 此时，符合条件 ∴， ④当，， ∵， ∴ ∴， 解得，； ⑤当，， ∴ ∴， 解得，； ⑥当，， ∵， ∴与矛盾 ∴无解，故不符合题意； 综上，的度数为：， 23．（13分）（23-24七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【思路点拨】 本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． （1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果； （2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可． （3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论； （4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断； ②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明； （5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【解题过程】 解：（1）；理由见如下： 过点A作于点H，如图所示：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵， ∴； 方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵D为的中点， ∴， ∴， 同理得：，， ∴； （3）是的中线，则 ， 同理， ， ； （4）①； ∴与面积相等的三角形有，，，，； ②， 理由如下：， ， ； （5）在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：27． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$