第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．如图，在中，过点作于点，为边上一点，连接，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在生活中，其中没应用三角形稳定性的有（   ） A．晾衣架的结构 B．用窗钩来固定窗扇 C．在栅栏门上斜着定根木条 D．商店的推拉活动防盗门 3．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（   ） A．1，2，4 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，8 4．下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 (    ) A． B． C． D． 6．一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（   ） A．7 B．14 C．21 D．14或21 7．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 9．如图，在中，，分别平分，，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，给出下列结论：其中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题是真命题的有（    ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 12．如图，在中，，平分，若，，则 ． 13．若三角形三个内角的比为，则这个三角形是 三角形． 14．如图，，分别是的边和上的点，与的周长相等，与的周长相等．设，，．则 ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 16．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 17．如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为偶数，求的长和的长． 18．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 19．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 20．(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 21．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 22．（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    23．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．如图，在中，过点作于点，为边上一点，连接，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两锐角互余等知识点，先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据直角三角形的两锐角互余可求得的度数即可得解，掌握三角形的内角和是是解答此题的关键． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．在生活中，其中没应用三角形稳定性的有（   ） A．晾衣架的结构 B．用窗钩来固定窗扇 C．在栅栏门上斜着定根木条 D．商店的推拉活动防盗门 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性判断即可得解，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键． 【详解】解：A、晾衣架的结构，应用了三角形稳定性，故不符合题意； B、用窗钩来固定窗扇，应用了三角形稳定性，故不符合题意； C、在栅栏门上斜着定根木条，应用了三角形稳定性，故不符合题意； D、商店的推拉活动防盗门，没有应用三角形稳定系，故符合题意； 故选：D． 3．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（   ） A．1，2，4 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项判断即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故1，2，4不能组成一个三角形，不符合题意； B、，故4，5，9不能组成一个三角形，不符合题意； C、，故6，8，10能组成一个三角形，符合题意； D、，故5，15，8不能组成一个三角形，不符合题意； 故选：C． 4．下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高的定义逐项分析即可得到答案； 【详解】解：A选项线段是的高，选项不符合题意； B选项线段是的高，选项不符合题意； C选项线段是的高，选项不符合题意； D选项线段是的高，选项符合题意． 故选：D． 5．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及折叠问题；根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：， ， 沿着折叠压平，与重合， ， ． 故选：B． 6．一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（   ） A．7 B．14 C．21 D．14或21 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边的长恰好是7的整数倍，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是12和5，设第三边长为， ∴，即：， ∵第三边的长恰好是7的整数倍， ∴第三边的长是； 故选B． 7．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分可得图中各个三角形面积之间的关系， 【详解】解：∵点D为中点， ∴， ∵点E为中点， ∴，， ∴， ∵点F为中点， ∴． 故选：C． 8．下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假、平行公理、对顶角、邻补角，根据平行公理、对顶角、邻补角的相关知识点逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； B、对顶角相等，邻补角互补，故原说法正确，为真命题，符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； 故选：B． 9．如图，在中，，分别平分，，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，给出下列结论：其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项BCD．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴，， 又∵是的外角， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 10．下列命题是真命题的有（    ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题的判断，牢记相关定义与定理是解题的关键．根据实数与数轴的关系、点到直线的距离、垂线的定义、平行公理、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，故①是真命题； 直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是真命题； ，的两边与的两边分别平行， 如图 故④是假命题； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故⑤是假命题； 所以真命题有①③， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了中线的应用，根据是的中线，是的中线，得出，再运用线段的和差关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：9． 12．如图，在中，，平分，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：． 13．若三角形三个内角的比为，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 设这个三角形最小的内角是x，则另外两内角的度数分别为，，再由三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：设这个三角形最小的内角是x，则另外两内角的度数分别为，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 14．如图，，分别是的边和上的点，与的周长相等，与的周长相等．设，，．则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的识别与有关概念，等式的性质，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据与的周长相等，可以得出：，等式的左右边正好是周长的一半，即，由于已知，于是可求出的长，同理可求出的长． 【详解】解：与的周长相等，，，， ， ， ， ， ； 与的周长相等，，，， ， ， ， ， ； 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】4个三角形,三角形的个数与四边形的边数相等 【分析】本题主要考查的是图形的规律性问题，根据图形得到一般规律是解题的关键．首先观察图形，结合三角形的定义及识别方法得到三角形的个数；然后再结合三角形的个数与多边形的边数进行分析，即可完成解答． 【详解】解：为四边形内一点，连接、、、可以得到4个三角形； 三角形的个数与四边形的边数相等． 16．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】的周长为17，是等腰三角形． 【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵a为方程的解， ∴或1， 当时，， 不能组成三角形，故不合题意； ∴， ∴的周长， ∵， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键． 17．如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为偶数，求的长和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积计算，构成三角形的条件，先由三角形中线平分三角形面积得到，进而根据三角形面积计算公式得到，再由构成三角形的条件求出的长即可． 【详解】解：∵在中，是中线，， ∴， ∵是高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长为偶数且， ∴． 18．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)假命题．反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等 (2)真命题 (3)假命题．反例：当时，，不是钝角 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的定义，判断命题正真假，以及写反例． （1）根据平行线的性质，即可解答； （2）根据等腰三角形的定义，即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等； （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：当，时，，不是钝角． 19．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4) 【分析】（1）根据题意，将的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，然后进一步连接起来即可； （2）连接C点与的中点即可； （3）取格点，满足，连接交的延长线于即可； （4）结合图形可知，线段扫过的面积为，据此进一步加以计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，取格点，满足，连接交的延长线于， 则线段即为所求； （4）解：， ∴． 即线段扫过的面积为16． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键． 20．(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 【答案】9平方厘米 【分析】本题考查三角形的中线，连接，根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积（平方厘米） 21．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理即可得的度数；先根据直角三角形的性质可得，再根据角的和差即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴，， ∴． ∵在中，是高，， ∴， ∴． 22．（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，由平行线定理可得，根据平行线的性质可得，，即，即可求解； （2）如图，与相交于点N，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得，即可得证； （3）如图，与相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得由（2）可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴；    （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；    （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 23．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得，然后求出，从而得到，再根据垂直的定义证明即可 （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得从而得到，再根据对顶角相等可得然后等量代换即可得证 （3）根据角平分线定义表示出，从而表示出，利用邻补角即可求出结果； （4）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ； （4），， ， ，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，角平分线的定义，三角形外角性质，对顶角相等，邻补角的求解，利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$