专题12.5 行程问题——一次函数的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题12.5 行程问题——一次函数的应用 · 典例分析 【典例1】在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： （1）甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； （2）求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键． （1）由已知得乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地，所以可求得甲车的速度为千米小时，以及两地相距千米，同时由已知可得乙车从B地到达C地共用时8小时，乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； （2）由（1）可知D，G两点的坐标，设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为，用待定系数法即可求得答案； （3）由题意知，，用待定系数法求出甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式，即可求出当小时时，甲乙两车相遇，再分，，，四种情况分别列方程，求出两车之间相距50千米时的时间节点，即得答案． 【解题过程】 解：（1）甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时， 乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地， 甲车的速度为千米小时， 两地相距千米， 甲车比乙车早2小时到达C地， 乙车从B地到达C地共用时8小时， 乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； 故答案为：80；30；240． （2）由（1）可知，，， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； （3）设甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 由题意知，， 则， 解得， 所以甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 令， 解得， 所以当小时时，甲乙两车相遇， 乙车到达C地前，两车之间相距50千米的情况有四种： ①当时，乙车出发1小时以内， ， 解得； ②当时，即甲车从A地出发后到两车相遇前， ， 解得； ③当时，即在两车相遇后到甲车到达C地前， ， 解得； ④当时，即甲车到达C地后到乙车到达C地前， ， 解得； 综上说述，乙车到达C地前，两车出发小时或小时小时或小时或小时，两车之间相距50千米． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（      ） A．5分钟 B．9分钟 C．分钟 D．分钟 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键． 根据图像与题意求甲的函数关系式为，乙的函数关系式为；然后令，分情况求解即可．  【解题过程】 解：由图像可知，甲的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为； 令， 当时，， 解得（舍去）； 当时，， 当时，解得； 当时，解得； 当时，可得， 解得； 综上，的值可能为5或11或17，不可能为9， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①，两城相距千米； ②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时； ③乙车出发后小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距千米时， 或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断④，可得出答案．  【解题过程】 解：由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ∴， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得 ， 解得， ∴， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 令，可得，即， 当时，可解得 ， 当时，可解得 ， 又当 时，，此时乙还没出发， 当 时，乙到达城，； 综上可知当的值为或或或 时，两车相距千米，故④不正确； 综上可知正确的有①②③共三个， 故选：． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程（千米）与计费（元）之间的函数关系图象．有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；③点A的坐标是；④甲、乙两地之间的路程是15千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 ①根据“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系图象的拐点为，即可得知结论成立； ②根据“单价超出费用超出距离”即可算出“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费价格，从而得知结论成立； ③设出“滴滴顺风车”与“滴滴快车”超出部分的函数解析式，利用待定系数法求出两个函数解析式，再联立成方程组，解方程组即可得出A点的坐标，从而得知结论成立； ④将分别代入、中，求出费用即可判定结论成立．  【解题过程】 解：①根据“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系图象可知：行驶里程不超过5公里计费8元，即①正确； ②“滴滴顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为（元），故②正确； ③设时，“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为， 将，代入函数解析式得： ， 解得： “滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为； 当时，设“滴滴顺风车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为， 将、代入函数解析式得： ， 解得： “滴滴顺风车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为 联立、得： ， 解得： 点的坐标为，故③正确； ④将分别代入，， 即甲、乙两地之间的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用元，故④正确． 综上可知，正确的结论个数为4个． 故选D． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）四川省渠县中学创客小组进行机器人跑步大赛，机器人小和小从同一地点同时出发，小在跑到分钟的时候监控到程序有问题，随即开始进行远程调试，到分钟的时候调试完毕并加速前进，最终率先到达终点，测控小组记录的两个机器人行进的路程米与时间分的关系如图所示下列结论：两个机器人第一次相遇时间是在第分钟；小每分钟跑米；赛程总长米；小到达终点时小距离终点还有米其中正确的有（    ） A．仅 B．仅 C．仅 D． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，路程速度时间的运用，在解答时利用函数解析式建立等量关系求解是关键． 利用待定系数法求出线段的解析式，然后当时代入解析式就可以求出两人第一次相遇的时间，可以判断①正确；此时小 分钟跑了米，求得小的速度判断②错误；运用待定系数法求出的解析式，求得点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，当时代入解析式求出全程判断③错误；当时求得此时小走的路程，判断④正确；  【解题过程】 解：①如图，设线段AB的解析式为， 由图象得：，， ， 解得：， 则， 当时，， 解得：，此时点的坐标为， 故故比赛分钟时两机器人第一次相遇， 故①正确； 此时小 分钟跑80米，小的速度为：米/分， 即小每分钟跑米， 故②错误； 设线段的解析式为， 线段经过点， ， 解得：， 线段的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 设线段的解析式为， 经过：，， ， 解得：， 则， 当时，， 点的坐标为， 总赛程长为米， 故③错误； 当小到达终点时小也走了分钟， 即当时，， ∴小距离终点还有米， 故④正确； 故选：B 5．（23-24九年级上·重庆·期中）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．出租车从乙地返回甲地的速度为 D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 【思路点拨】 本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用. 利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可判断A选项； 根据A选项中a的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中k的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可得到直线的解析式，把代入可求得点G的坐标，进而得到点F的坐标，从而判断B选项； 由B选项中点F的坐标，再结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，从而判断C选项； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距，此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，结合货车和出租车的速度进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可判断D选项．  【解题过程】 解：结合图象，可得， 设直线的解析式为， 将代入解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，得， 故A选项正确； 根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， 可得此时出租车距离乙地为， 出租车距离甲地为， 把代入，可得，解得， 货车装完货时，，可得， 根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度＋货车的速度）， 根据直线的解析式为，可得出租车的速度为， 相遇时，货车的速度为， 故可设直线的解析式为， 将代入，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，可得，解得， ， ， 故B选项正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得, ， 出租车返回时的速度为， 故C选项正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距， 此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为， ①出租车和货车第二次相遇前，相距时； 可得， 解得， ②出租车和货车第二次相遇后，相距时； 可得， 解得， 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距． 故D选项错误． 故选：D 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为 m． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键． 待定系数法求小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为．小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为．当时，，计算求解，然后作答即可．  【解题过程】 解：设小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， ∴． 设小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为， 将和代入得， 解得， ∴． 当时，， 解得， ∴， ∴两人相遇时，他们到甲地的距离是， 故答案为：． 7．（2024·山东济南·模拟预测）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键． 先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定、、的解析式，再分别联立与和求得两次相遇的时间，最后作差即可．  【解题过程】 解： 如图： 根据题意可得，，，， 设的解析式为，则 ， 解得 ∴直线的解析式为， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为： 联立 ， 解得， 联立 ， 解得 ． ∴两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 故答案为：3分钟． 8．（23-24八年级下·四川广安·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家小时分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图像．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的倍，若爸爸比小华早分钟到达植物园，则从小华家到植物园的路程是 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是依据数量关系列出的二元一次方程组． 根据题意求出直线解析式和直线解析式，联立求解交点坐标，进而求解；  【解题过程】 解：根据题意作图如下： 小明骑车速度：， 爸爸驾车速度：， 设直线解析式为， 把点代入得， ， 设直线解析式为， 把点，代入得， ， ， 解得：， ∴交点． 设从爸爸追上小华的地点到乙植物园路程为， 由题意得：， ， 从家到乙地的路程为． 故答案为： 9．（2024八年级·全国·竞赛）在一条笔直的公路上，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发匀速行走前往C地（到C地停止）．设行走x分钟后，甲、乙到B地的距离分别为﹐与x的函数关系式如图所示： 由于天气的关系．只有在距离不超过时，两人才能相互看见．从开始出发至乙到达C地，乙能看见甲时x的取值范围是 ． 【思路点拨】 甲到B地前，乙不能看见甲，过B地后，根据甲行求出甲的速度，结合过求出，根据 过求出，甲到达C地前，，解得；甲到达C地后，，解得． 本题主要考查了一次函数的实际应用．熟练掌握一次函数图象的关键点关键信息，待定系数法求函数解析式，函数与不等式组的关系，是解决问题的关键．  【解题过程】 解：甲到B地前，乙不能看见甲， 过B地后，设， ∵甲的速度为，， ∴， ∵与x的函数关系图象过点， ∴， 解得，， ∴， 设， ∵与x的函数关系图象过点， ∴， 解得，， ∴， 甲到达C地前，， 即， 解得； 甲到达C地后，， 解得． 综上或． 故答案为：或。 10．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为 h． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用．根据图象数据求出甲、乙的速度，再求出段，段，段对应的函数解析式，然后根据甲、乙两车相距列出方程求出即可．  【解题过程】 解：由图可知，甲从到所用时间为， 甲车的速度为， 乙出发时甲所走的路程为：， 甲出发时，甲、乙两车相距； 线段对应的函数表达式为：， 设乙车刚出发时的速度为 ，则装满货后的速度为， 根据题意可知：， 解得：， 段对应的函数解析式为， 根据题意得：， 解得， ， 甲出发时，甲、乙两车相距； 坐标为， 坐标为， 设对应的函数解析式为， 则， 解得， 对应的函数解析式为， 由题意得：， 解得， 此时， 综上所述：当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为或或． 故答案为：或或． 11．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）某天早晨，小明从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小明跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．小明、妈妈两人距家的距离（米）与小明出发的时间（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题：小明出发 分钟与妈妈相距米． 【思路点拨】 本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键．求出直线的解析式、直线的解析式、直线的解析式，分三种情况讨论即可求解．  【解题过程】 解：设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 张强返回时的速度是：（米/分）， （米）， ， 如图，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ①， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：， 综上所述，小明出发分钟，分钟，分钟与妈妈相距米， 故答案为：或或． 12．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； （2）求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【思路点拨】 本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要漏解． （1）从图中可以计算出结论即可； （2）设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行驶，三种情况进行解答即可．  【解题过程】 解：（1）从图中可以得出甲船的速度为：， ，两港之间的路程为， 故答案为：120； （2）从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为：， ， 设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为， ，解得：， 甲船从港到港的过程中与的函数关系式为； （3）乙船的速度为：， 设乙船行驶小时两船相距的路程为15千米， 甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 综上所述，乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． （1）求小明步行的速度． （2）已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用； （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．  【解题过程】 （1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 14．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． （1）______，______． （2）求c的值． （3）当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． （4）当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 【思路点拨】 本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离； （2）根据路程=速度×时间，先求出巡逻车的速度，在求出c即可； （3）利用待定系数法求解即可； （4）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．  【解题过程】 （1）解：∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， 故答案为： 1，60； （2）解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， ∴； （3）解：设货车返回中y与x的函数解析式为 将，代入，得 解得， ∴函数解析式为； （4）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得， ∴； ∵， ∴货车卸货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则， 解得， ∴； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得， ∴； 综上所述，当巡逻车出发小时或小时或小时，两车相距15千米． 15．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 ，乙的速度是 ； （2）对比图1．图2可知： ， ； （3）当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． （4）乙出发 h，甲、乙两人相距？ 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （3）利用待定系数法分段求函数关系式； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．  【解题过程】 （1）解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； （2）解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； （3）解：当时，设， 代入得，， 解得 ∴； 甲乙第一次相遇时，， 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ． 综上，与的关系式为 （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 故答案为：或． 16．（2024·河北唐山·二模）如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒． （1）火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒； （2）当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标； （3）若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由点与的坐标求出火车的长度，分别根据“火车行驶的速度（桥的长度火车的长度）整列火车完全在桥上的时间”和“火车从开始上桥到完全过桥所用的时间（桥的长度火车的长度）火车行驶的速度”计算即可； （2）根据火车的长度和点的坐标，求出当车尾刚好经过点时，火车头的坐标，利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式；利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式，两函数表达式联立列方程组并求解即可得到交点坐标； （3）当时，射线与射线无交点，设此时，根据射线所在直线的函数表达式的一次项系数，设出射线所在直线的函数表达式，将点的坐标代入，求出所在直线的函数表达式，再将代入，求出对，再根据“时间路程速度”计算即可．  【解题过程】 （1），， （米， 火车的长度为300米， 则火车行驶的速度为（米秒），火车从开始上桥到完全过桥共用（秒． 故答案为：50，26． （2）火车的长度为300米，， 当车尾刚好经过点时，火车头． 设射线所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 射线所在直线的函数表达式为； 设射线所在直线的函数表达式为，且． 将坐标代入， 得， 解得， 射线所在直线的函数表达式为； 当射线、射线相交时，得， 解得， 射线、射线的交点坐标为． （3）当时，射线与射线无交点，设此时． 设当时，射线所在直线的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， ， 将代入，得， 解得， （秒， 激光射线与射线有交点的时长为18秒． 17．（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； （2）当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； （3）当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可．  【解题过程】 （1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为 ． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）公交车从地向地驶出，到达地后停止小汽车从地向地驶出，小车到达地后立马返回地．两车距地的路程（千米）和公交车离开地的时间（小时）如图所示，根据图象解决一下问题： （1），两地相距 千米，公交车速度为 千米小时， ； （2）小车出发两小时与公交车相距多少千米？ （3）求小车出发几小时后，两车相距千米？ 【思路点拨】 （1）观察图可得，两地的距离，根据“速度路程时间”求得公交车的速度，小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，列关于的方程并求解即可； （2）根据“路程速度时间”，分别求出两车与地的距离并求差即可； （3）利用待定系数法分别求出公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式、小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式，根据两车的距离列绝对值方程并求解，并转换为小车出发后的时间即可． 本题考查一次函数的应用，熟练掌握路程、速度、时间之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．  【解题过程】 （1）由图象可知，，两地相距千米，公交车速度为千米小时， 小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，得，解得． 故答案为：，，． （2）小车的速度为千米小时，则小车出发小时距地的距离为千米， 当小车出发小时时，公交车已出发了小时，公交车行驶小时距地的距离为千米， 千米， 小车出发两小时与公交车相距千米． （3）设公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为． 当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ； 当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ； 综上，小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为． 当时，，解得不符合题意，舍去； 当时，，解得或； 当时，，解得不符合题意，舍去或不符合题意，舍去； 当时，，解得． 综上，当公交车出发小时或小时或小时后，两车相距千米． 小时，小时，小时， 小车出发小时或小时或小时后，两车相距千米． 19．（2024·江苏宿迁·三模）已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是轿车速度的．如图是轿车、货车离站的路程，与行驶时间的函数关系图象． （1）货车的速度为_______；、两地间的路程为______； （2）货车出发后，经过多少时间两车相距? 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想分情况讨论是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以先计算出轿车的速度，然后根据货车的速度是轿车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出、两地间的路程． （2）根据函数图象中的数据，用待定系数法可以分别计算出轿车与行驶时间的函数关系式，货车与的函数关系式，然后分成、、这三种情况讨论即可．  【解题过程】 （1）由图象可得，轿车的速度为：， ∵货车的速度是轿车速度的， ∴货车速度为：， ∵货车从到，用了个小时， ∴的距离是， ∵的距离是， ∴、两地间的路程为：， 故答案为：，． （2）设轿车离站的路程与行驶时间的函数关系式是 ， 将和直接代入上式，可得， 解答， 故轿车离站的路程与行驶时间的函数关系式是 ． 设货车离站的路程与行驶时间的函数关系， 当时，由（1）可得直线经过和，代入上式， 可得， 解答， 故当时，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为 ． ∵、两地间的路程为，货车速度为， 故货车到、两地间的时间为， ∴当时，将 和，代入， 可得， 解答， 故当时，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为 ． 综上可得，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为． 当时，如两车相距，即， 解得， ∵， ∴当时，两车不能相距． 当时，如两车相距，即， 解得，， ∵， ∴舍去，当时，，两车相距． 当时，如两车相距，即， 解得，， ∴当时，，两车相距． 综上所述，货车出发后，经过或小时间两车相距． 20．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图1，一条笔直的公路上有、、三地，、两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从、两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往、两地．甲、乙两车到地的距离、（千米）与行驶时间（时）的关系如图2所示．根据图象进行以下探究：    （1）请在图1中标出地的位置，并写出相应的距离：_，_； （2）在图2中求出甲汽车到达地的时间，并写出甲车从地到地与甲车从地到地的与行驶时间的关系式． （3）地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，请问两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间一共有多长？写出过程． 【思路点拨】 本题是一次函数的应用，属于行程问题，利用平面直角坐标系读出已知条件，有难度，关键是读懂题意，结合图象确定点的坐标，根据点的坐标求一次函数解析式；再根据解析式解决问题． （1）由图2知，甲从用了小时，路程是，再由、两地相距150千米即可得到，则，据此画图； （2）由（1）知，甲车的行驶速度为，从而得到甲车从用时即可得到；甲车从，即当时，设解析式为， 将、代入由待定系数法即可确定与行驶时间的函数关系式；甲车从，即当时，设解析式为，将、代入由待定系数法即可确定与行驶时间的函数关系式； （3）根据题意，标出图象，分别求、、的解析式，求两车距离地小于等于时对应的时间，列不等式组求解，并计算时间差即可．  【解题过程】 （1）解：由图2知，甲从用了小时，路程是，即， 、两地相距150千米， ，即， 如图所示：    故答案为：； （2）解：由（1）知，甲车的行驶速度为， 甲车从用时为，则； 甲车从，即当时，设解析式为， 把、代入得，解得， ， 甲车从，即当时，设解析式为， 把、代入得，解得， ， 综上所述，； （3）解：如图所示：    由（2）知的解析式为； 由图2可知，乙车全程用时， 乙车的行驶速度为， 乙车从用时为，即， 乙车从，即当时，设的解析式为，将把、代入得，解得， ， 乙车从，即当时，设的解析式为，将把、代入得，解得， ， 由题意得，解得；由题意得，解得； ∴∴两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间，即， 答：两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间为小时（或分钟）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.5 行程问题——一次函数的应用 · 典例分析 【典例1】在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： （1）甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； （2）求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键． （1）由已知得乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地，所以可求得甲车的速度为千米小时，以及两地相距千米，同时由已知可得乙车从B地到达C地共用时8小时，乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； （2）由（1）可知D，G两点的坐标，设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为，用待定系数法即可求得答案； （3）由题意知，，用待定系数法求出甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式，即可求出当小时时，甲乙两车相遇，再分，，，四种情况分别列方程，求出两车之间相距50千米时的时间节点，即得答案． 【解题过程】 解：（1）甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时， 乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地， 甲车的速度为千米小时， 两地相距千米， 甲车比乙车早2小时到达C地， 乙车从B地到达C地共用时8小时， 乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； 故答案为：80；30；240． （2）由（1）可知，，， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； （3）设甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 由题意知，， 则， 解得， 所以甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 令， 解得， 所以当小时时，甲乙两车相遇， 乙车到达C地前，两车之间相距50千米的情况有四种： ①当时，乙车出发1小时以内， ， 解得； ②当时，即甲车从A地出发后到两车相遇前， ， 解得； ③当时，即在两车相遇后到甲车到达C地前， ， 解得； ④当时，即甲车到达C地后到乙车到达C地前， ， 解得； 综上说述，乙车到达C地前，两车出发小时或小时小时或小时或小时，两车之间相距50千米． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（      ） A．5分钟 B．9分钟 C．分钟 D．分钟 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①，两城相距千米； ②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时； ③乙车出发后小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距千米时， 或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程（千米）与计费（元）之间的函数关系图象．有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；③点A的坐标是；④甲、乙两地之间的路程是15千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）四川省渠县中学创客小组进行机器人跑步大赛，机器人小和小从同一地点同时出发，小在跑到分钟的时候监控到程序有问题，随即开始进行远程调试，到分钟的时候调试完毕并加速前进，最终率先到达终点，测控小组记录的两个机器人行进的路程米与时间分的关系如图所示下列结论：两个机器人第一次相遇时间是在第分钟；小每分钟跑米；赛程总长米；小到达终点时小距离终点还有米其中正确的有（    ） A．仅 B．仅 C．仅 D． 5．（23-24九年级上·重庆·期中）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．出租车从乙地返回甲地的速度为 D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为 m． 7．（2024·山东济南·模拟预测）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 ． 8．（23-24八年级下·四川广安·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家小时分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图像．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的倍，若爸爸比小华早分钟到达植物园，则从小华家到植物园的路程是 ． 9．（2024八年级·全国·竞赛）在一条笔直的公路上，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发匀速行走前往C地（到C地停止）．设行走x分钟后，甲、乙到B地的距离分别为﹐与x的函数关系式如图所示： 由于天气的关系．只有在距离不超过时，两人才能相互看见．从开始出发至乙到达C地，乙能看见甲时x的取值范围是 ． 10．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为 h． 11．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）某天早晨，小明从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小明跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．小明、妈妈两人距家的距离（米）与小明出发的时间（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题：小明出发 分钟与妈妈相距米． 12．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； （2）求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． （1）求小明步行的速度． （2）已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 14．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． （1）______，______． （2）求c的值． （3）当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． （4）当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 15．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 ，乙的速度是 ； （2）对比图1．图2可知： ， ； （3）当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． （4）乙出发 h，甲、乙两人相距？ 16．（2024·河北唐山·二模）如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒． （1）火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒； （2）当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标； （3）若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 17．（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； （2）当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； （3）当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）公交车从地向地驶出，到达地后停止小汽车从地向地驶出，小车到达地后立马返回地．两车距地的路程（千米）和公交车离开地的时间（小时）如图所示，根据图象解决一下问题： （1），两地相距 千米，公交车速度为 千米小时， ； （2）小车出发两小时与公交车相距多少千米？ （3）求小车出发几小时后，两车相距千米？ 19．（2024·江苏宿迁·三模）已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是轿车速度的．如图是轿车、货车离站的路程，与行驶时间的函数关系图象． （1）货车的速度为_______；、两地间的路程为______； （2）货车出发后，经过多少时间两车相距? 20．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图1，一条笔直的公路上有、、三地，、两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从、两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往、两地．甲、乙两车到地的距离、（千米）与行驶时间（时）的关系如图2所示．根据图象进行以下探究：    （1）请在图1中标出地的位置，并写出相应的距离：_，_； （2）在图2中求出甲汽车到达地的时间，并写出甲车从地到地与甲车从地到地的与行驶时间的关系式． （3）地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，请问两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间一共有多长？写出过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$