第12章 一次函数 章节练习 （26个知识点+40题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第12章 一次函数 章节练习 （26个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点9．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点10．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点11．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点12．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点13．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点14．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点15．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点16．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点17．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点18．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点19．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点20．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点21．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点22．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 知识点23．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点24．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点25．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点26．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 试题练习 一．常量与变量 1．（2023秋•瑶海区校级期中）腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是　　 A．水，食盐水的浓度 B．水，食盐水 C．食盐量，食盐水 D．食盐量，食盐水的浓度 二．函数的概念 2．（2022春•八公山区期末）下列图象中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 三．函数关系式 3．（2022秋•安徽期中）自变量与因变量的关系式为：，当每增加1时，增加 　　． 4．（2024春•无为市月考）已知正方形的边长为，若边长增加 ，则周长增加 ，求与之间的函数关系式． 四．函数自变量的取值范围 5．（2023秋•蒙城县期末）函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•蒙城县校级月考）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 五．函数值 7．（2023秋•阜南县校级月考）定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是　　 A． B． C． D． 8．（2021秋•肥西县期末）根据如图所示的程序计算函数值，若输入的值为，则输出的值为 　　． 六．函数的图象 9．（2020秋•蚌埠月考）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差（米与小文出发时间（分之间的函数关系如图所示．下列说法： ①小亮先到达青少年宫； ②小亮的速度是小文速度的2.5倍； ③； ④． 其中正确的是　　（填序号）． 10．（2023秋•瑶海区校级月考）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该情境中的自变量和因变量分别是 　　； （2）小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 　　米； （3）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 　　米分钟； （4）小红在骑车 　　分钟时，距离商店300米． 七．动点问题的函数图象 11．（2023秋•合肥期中）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点停止．设点的运动路程为，三角形的面积为，若与的关系如图②所示，则的值为 　　． 12．（2021秋•霍邱县期中）已知点和在第一象限内的动点，，设的面积为． （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）当时，求点的坐标； （3）在如图的平面直角坐标系中画出题（1）中的函数图象． 八．函数的表示方法 13．（2023秋•合肥月考）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 （1）在弹性限度内如果所挂物体的质量为 ，弹簧的长度为 ，根据上表写出与的关系式； （2）如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 九．一次函数的定义 14．（2023秋•埇桥区期中）若函数是一次函数，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 一十．正比例函数的定义 15．（2022秋•舒城县校级月考）当　　时，函数是正比例函数． 一十一．一次函数的图象 16．（2022秋•迎江区校级期末）一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 一十二．正比例函数的图象 17．（2021秋•利辛县期末）在同一坐标系中，函数与的图象大致是　　 A． B． C． D． 一十三．一次函数的性质 18．（2022秋•亳州期中）一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（2023秋•庐阳区校级月考）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题： （1）完成下列步骤，画出函数的图象； ①列表、填空： 0 1 2 　2　 1 0 　　 2 ②描点； ③连线． （2）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质． 一十四．正比例函数的性质 20．（2021秋•合肥期末）已知一次函数与，为常数，且，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为　　 A． B． C． D． 21．写一个图象经过第二、四象限的正比例函数：　　． 一十五．一次函数图象与系数的关系 22．（2022秋•瑶海区期中）函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围为 　　． 23．（2023秋•大观区校级期中）已知一次函数． （1）当满足何条件时，随的增大而增大？ （2）当满足何条件时，图象不经过第三象限？ 一十六．一次函数图象上点的坐标特征 24．（2024春•番禺区期末）下列关于函数的结论正确的是　　 A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论为何值，总有 25．（2023秋•大通区期末）已知：如图，一次函数的图象经过点， （1）求、的值； （2）求的面积． 一十七．一次函数图象与几何变换 26．（2021秋•蜀山区校级期中）将直线向上平移2个单位得到的一次函数的关系式是：　　． 27．（2023秋•明光市期中）已知直线经过点． （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位长度使其成为正比例函数，求的值． 一十八．待定系数法求一次函数解析式 28．（2020秋•蚌埠月考）已知与成正比例，当时，．则当时，的值是 A． B．0 C． D． 29．（2022秋•霍邱县期末）已知一次函数，当时，，则此函数与轴的交点坐标是 　　． 一十九．待定系数法求正比例函数解析式 30．（2023春•和县校级期末）一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 二十．一次函数与一元一次方程 31．（2021秋•包河区期末）已知直线和交于点，则关于的方程的解为 　　． 32．（2023秋•霍邱县月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解． 二十一．一次函数与一元一次不等式 33．（2022秋•宣州区校级期中）如图，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标分别为，，下列说法：①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④关于的不等式的解集．其中说法正确的有 　　． 二十二．一次函数与二元一次方程（组） 34．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 35．（2023秋•临泉县期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）根据图象直接写出方程组的解为 　　； （2）根据图象直接写出不等式的解集为 　　； （3）求的面积． 二十三．两条直线相交或平行问题 36．（2023秋•萧县期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的横坐标为1． （1）点的坐标是 　　，直线的解析式是 　　； （2）连接，求的面积． （3）点是直线上一点（不与点重合），设点的横坐标为，的面积为，请直接写出与之间的关系式． 二十四．根据实际问题列一次函数关系式 37．（蚌埠期末）某校为改善教学设备，第一年投资15万元，计划每过一年增加2万元，则年投资量（万元）与经过的年数的函数关系式为　　． 二十五．一次函数的应用 38．（2023秋•宣城期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•淮北月考）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为（人，师生门票总金额为（元． （1）分别写出两种优惠方案中与的函数表达式； （2）请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少； （3）若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？ 二十六．一次函数综合题 40．（宿州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点、，已知，，则的面积是　　 A．6 B．3 C．12 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 一次函数 章节练习 （26个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点9．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点10．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点11．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点12．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点13．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点14．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点15．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点16．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点17．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点18．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点19．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点20．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点21．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点22．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 知识点23．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点24．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点25．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点26．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 试题练习 一．常量与变量 1．（2023秋•瑶海区校级期中）腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是　　 A．水，食盐水的浓度 B．水，食盐水 C．食盐量，食盐水 D．食盐量，食盐水的浓度 【分析】根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可． 【解答】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度． 故选：． 【点评】此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键． 二．函数的概念 2．（2022春•八公山区期末）下列图象中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量，，当给一个值时，有唯一的值与其对应，就说是的函数，是自变量． 【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量一个值，都有唯一的函数值与之相对应， 所以、、不合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 三．函数关系式 3．（2022秋•安徽期中）自变量与因变量的关系式为：，当每增加1时，增加 　2　． 【分析】利用自变量与因变量的关系进行计算即可． 【解答】解：当自变量时，， 当时，， 当每增加1时，增加2， 故答案为：2． 【点评】本题考查常量与变量，理解常量与变量的意义是正确解答的前提，设自变量 的值，代入计算因变量的值是解决问题的关键． 4．（2024春•无为市月考）已知正方形的边长为，若边长增加 ，则周长增加 ，求与之间的函数关系式． 【分析】根据正方形的周长公式，即可求解． 【解答】解：由题意可知， 与之间的函数关系式为． 【点评】本题考查了函数关系式，掌握正方形的周长公式是解题的关键． 四．函数自变量的取值范围 5．（2023秋•蒙城县期末）函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式以及分母不为0可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式以及分母不为0是解题的关键． 6．（2023秋•蒙城县校级月考）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 五．函数值 7．（2023秋•阜南县校级月考）定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可． 【解答】解：、对于方程，解得，故的零点为，不合题意； 、对于方程，解得，故的零点为2，符合题意； 、对于方程，没有实数解，故没有零点，不合题意； 、对于方程，没有实数解，故没有零点，不合题意； 故选：． 【点评】本题考查函数值的意义，当函数值为0时，求出自变量的值是正确判断的前提． 8．（2021秋•肥西县期末）根据如图所示的程序计算函数值，若输入的值为，则输出的值为 　　． 【分析】根据的值选择相应的函数关系式，计算即可得解． 【解答】解：时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数值，理解图表信息准确选择相应的函数关系式是解题的关键． 六．函数的图象 9．（2020秋•蚌埠月考）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差（米与小文出发时间（分之间的函数关系如图所示．下列说法： ①小亮先到达青少年宫； ②小亮的速度是小文速度的2.5倍； ③； ④． 其中正确的是　①②④　（填序号）． 【分析】一次函数图象类问题，搞清楚轴，轴所表达的含义，以及每个点表达的含义． 【解答】解：结合题意，可得轴表示的是小文出发的时间，轴表示的是小文和小亮的路程差． ：小文还未出发； ：小文步行9分后，小亮出发； 小文的速度为：； ：小文出发15分后，小亮追上小文； 小文和小亮的速度差为， 则小亮的速度为； ； ：小文出发19分后，小亮先到达青少年宫； ； ：小文出发发后，到达青少年宫； ． 由以上分析可得，正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 【点评】主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 10．（2023秋•瑶海区校级月考）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该情境中的自变量和因变量分别是 　时间，路程　； （2）小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 　　米； （3）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 　　米分钟； （4）小红在骑车 　　分钟时，距离商店300米． 【分析】（1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和路程； （2）根据题意以及图象可知，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个600米； （3）根据图象中的数据用返回后去往的路程除以所用的时间即可； （4）分开始去往和返回后去往两种情况解答即可． 【解答】解：（1）该情境中的自变量和因变量分别是时间，路程． 故答案为：时间，路程； （2）小红途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了：（米． 故答案为：1200； （3）（米分钟）． 即小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是450米分钟； 故答案为：450； （4）小红刚开始时的速度为：（米分钟）， （分钟）； （分钟）； 故答案为：1、3、6、． 【点评】本题考查了函数的图象，函数的常量与变量，解题的关键是熟练掌握函数的图象，函数的常量与变量的定义． 七．动点问题的函数图象 11．（2023秋•合肥期中）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点停止．设点的运动路程为，三角形的面积为，若与的关系如图②所示，则的值为 　24　． 【分析】结合图形，当点运动路程为6时，点在点处，故，当点运动路程为14时，点在点处，故，进而求出当点在点处的面积，即的值． 【解答】解：由图得，当点运动路程为6时，点在点处，故， 当点运动路程为14时，点在点处，故， 当点在点处时的面积为：， 的值为24． 故答案为：24． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，结合图形分析题意并判断是解题关键． 12．（2021秋•霍邱县期中）已知点和在第一象限内的动点，，设的面积为． （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）当时，求点的坐标； （3）在如图的平面直角坐标系中画出题（1）中的函数图象． 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得出函数表达式；根据函数关系式及点在第一象限即可得出的取值范围； （2）把代入（1）中函数关系即可得出的值，进而得出点的坐标； （3）利用描点法画出函数图象即可． 【解答】解：（1）和点的坐标分别是、， ． ， ． ， 所求的函数关系式为：； ， 解得：； 又点在第一象限， ， 综上可得的范围为：； （2）， ， 解得． ， ， 即； （3）解析式为， 函数图象经过点，，（但不包括这两点的线段）． 所画图象如图： 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 八．函数的表示方法 13．（2023秋•合肥月考）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 （1）在弹性限度内如果所挂物体的质量为 ，弹簧的长度为 ，根据上表写出与的关系式； （2）如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【分析】（1）观察表格中的对应数值，得出弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，进而可得与的关系式； （2）根据题意可知：将代入（1）中的与的关系式求出即可． 【解答】解：（1）由表格中的对应数值可以看出：弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比， 即弹簧所挂物体的质量每增加，弹簧伸长， 当弹簧所挂物体的质量为 时，弹簧伸长的长度为 ， 与的关系式是：； （2）弹簧的最大长度为， 对于，当时，， 解得：． 答：该弹簧最多能挂质量为的物体． 【点评】此题主要考查了函数的表示法，根据实际问题抽象出函数的关系式，理解题意，找出弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比是解决问题的关键． 九．一次函数的定义 14．（2023秋•埇桥区期中）若函数是一次函数，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【分析】根据一次函数的定义列出有关的方程，继而求出的值． 【解答】解：函数是一次函数， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如、是常数且的函数叫做一次函数进行求解是解题的关键． 一十．正比例函数的定义 15．（2022秋•舒城县校级月考）当　　时，函数是正比例函数． 【分析】根据正比例函数的定义列出关于的不等式组，求出的值即可． 【解答】解：函数是正比例函数， ，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 一十一．一次函数的图象 16．（2022秋•迎江区校级期末）一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、三、四象限或一、二、四象限，此题得解． 【解答】解：由选项：由一次函数经过第一、三象限，则，则，故图象经过第一、三、四象限， 选项图象经过原点，则，不合题意； 由选项一次函数经过第二、四象限，则，则，故图象经过第一、二、四象限，故只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 一十二．正比例函数的图象 17．（2021秋•利辛县期末）在同一坐标系中，函数与的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】分别利用一次函数和正比例函数的图象性质，分析得出即可． 【解答】解：、由经过第二、四象限，则，与轴交于负半轴，则，则，故此选项错误； 、由经过第二、四象限，则，与轴交于正半轴，则，则，故此选项正确； 、由经过第一、三象限，则，与轴交于正半轴，则，则，故此选项错误； 、由没经过原点，图象不合题意，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数与正比例函数图象的性质，正确得出的符号是解题关键． 一十三．一次函数的性质 18．（2022秋•亳州期中）一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数不经过哪个象限，本题得以解决． 【解答】解：一次函数，，， 该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 19．（2023秋•庐阳区校级月考）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题： （1）完成下列步骤，画出函数的图象； ①列表、填空： 0 1 2 　2　 1 0 　　 2 ②描点； ③连线． （2）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质． 【分析】（1）根据画函数图象的性质可以解答本题； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质． 【解答】解：（1）①， 当时，，当时，， 故答案为：2，1； ②和③如图所示； （2）由图象可得， 当时，随的增大而增大， 故答案为：当时，随的增大而增大． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 一十四．正比例函数的性质 20．（2021秋•合肥期末）已知一次函数与，为常数，且，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确． 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确； 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 21．写一个图象经过第二、四象限的正比例函数：　　． 【分析】根据题意可得正比例函数的比例系数，故写一个比例系数小于0的即可． 【解答】解；设正比例函数解析式为， 图象经过第二、四象限， ， 可以写， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小． 一十五．一次函数图象与系数的关系 22．（2022秋•瑶海区期中）函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围为 　　． 【分析】由函数的图象经过一、二、四象限，可知， 【解答】解：函数的图象经过一、二、四象限， ， 解不等式组得， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图形余性质，解题的关键是能关键所过的象限判断与的符号． 23．（2023秋•大观区校级期中）已知一次函数． （1）当满足何条件时，随的增大而增大？ （2）当满足何条件时，图象不经过第三象限？ 【分析】（1）根据一次函数与系数的关系解答即可； （2）根据一次函数与系数的关系得到满足条件的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）在一次函数中，当时，即时，随的增大而增大； （2）在一次函数中，当，且时，图象不经过第三象限， 即，解得． 当时，图象不经过第三象限． 【点评】本题考查了一次函数与系数的关系，熟练掌握一次函数与系数的关系是解答本题的关键． 一十六．一次函数图象上点的坐标特征 24．（2024春•番禺区期末）下列关于函数的结论正确的是　　 A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论为何值，总有 【分析】利用正比例函数的性质以及图象上点的坐标性质，分别判断得出即可． 【解答】解：．当时，， 函数图象不经过点，选项不符合题意； ．， 函数图象经过第一、三象限，选项符合题意； ．， 随的增大而增大，选项不符合题意； ．只有当时，，选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 25．（2023秋•大通区期末）已知：如图，一次函数的图象经过点， （1）求、的值； （2）求的面积． 【分析】（1）将点的坐标代入一次函数求出的值，从而得到一次函数解析式，再将点的坐标代入求解即可得到的值； （2）设直线与轴的交点为并求出点的坐标，然后根据计算即可得解． 【解答】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得， 一次函数表达式为， 一次函数的图象经过点， ， 解得； （2）如图，设直线与轴的交点为， 令，则， 所以，点的坐标为， ， ， ， ． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，（2）将的面积分成两个三角形的面积的和求解是解题的关键． 一十七．一次函数图象与几何变换 26．（2021秋•蜀山区校级期中）将直线向上平移2个单位得到的一次函数的关系式是：　　． 【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答． 【解答】解：直线向上平移2个单位，得，即， 故答案为． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键． 27．（2023秋•明光市期中）已知直线经过点． （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位长度使其成为正比例函数，求的值． 【分析】（1）将点代入解析式，求解即可； （2）根据函数图象平移规律以及正比例函数的定义，即可获得答案． 【解答】解：（1）把代入， 可得， 解得； （2）向上平移个单位长度的解析式为， 由题意得， 解得． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和函数图象的平移变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 一十八．待定系数法求一次函数解析式 28．（2020秋•蚌埠月考）已知与成正比例，当时，．则当时，的值是 A． B．0 C． D． 【分析】设，把，代入求出的值，把代入函数关系式即可得到相应的的值； 【解答】解：设， 则由时，，得到：， 解得． 则该函数关系式为：； 把代入得到：； 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．解决本题的关键是得到与的函数关系式． 29．（2022秋•霍邱县期末）已知一次函数，当时，，则此函数与轴的交点坐标是 　或　． 【分析】本题分情况讨论①时对应，时对应；②时对应，时对应；将每种情况的两组数代入即可得出答案． 【解答】解：①将，代入得：，将，代入得：， 解得：，； 函数解析式为， 当时，， 函数与轴的交点坐标； ②将，，代入得：，将，代入得：， 解得：，， 函数解析式为， 当时，， 函数与轴的交点坐标； 故答案为：或． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解． 一十九．待定系数法求正比例函数解析式 30．（2023春•和县校级期末）一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为， 正比例函数的图象经过点， ，解得， 这个正比例函数的表达式是． 故选：． 【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 二十．一次函数与一元一次方程 31．（2021秋•包河区期末）已知直线和交于点，则关于的方程的解为 　　． 【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题． 【解答】解：由知，． 直线和交于点， 当时，， 即关于的方程的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 32．（2023秋•霍邱县月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得、的值，从而得到方程，解方程即可． 【解答】解：一次函数的图象经过点，， ，解得， 关于的方程为， ， 故关于的方程的解为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得、的值是解题的关键． 二十一．一次函数与一元一次不等式 33．（2022秋•宣州区校级期中）如图，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标分别为，，下列说法：①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④关于的不等式的解集．其中说法正确的有 　④　． 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各个说法分析判断即可得解． 【解答】解：①如图所示：随的增大而增大，故说法错误； ②由于一次函数的图象与轴交点是，所以，故说法错误； ③由于一次函数的图象与轴的交点坐标是，所以关于的方程的解为，故说法错误； ④如图所示：关于的不等式的解集，故说法正确． 综上所述，说法正确的结论是：④． 故答案为：④． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，以及一次函数与一元一次方程，数形结合是求解的关键． 二十二．一次函数与二元一次方程（组） 34．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 【分析】首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 35．（2023秋•临泉县期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）根据图象直接写出方程组的解为 　　； （2）根据图象直接写出不等式的解集为 　　； （3）求的面积． 【分析】（1）根据函数和的图象交于，即可得到结论； （2）根据图象即可确定的取值范围； （3）分别求出点和点坐标，进一步即可求出的面积． 【解答】解：（1）函数和的图象交于， 方程组的解为， 故答案为：； （2）根据图象可知，的的取值范围是； 故答案为：； （3）当时，， 点， 当时，， 点， ， 的面积． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与三角形的面积，一次函数与一元一次不等式的关系，正确地求出方程组的解是解题的关键． 二十三．两条直线相交或平行问题 36．（2023秋•萧县期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的横坐标为1． （1）点的坐标是 　　，直线的解析式是 　　； （2）连接，求的面积． （3）点是直线上一点（不与点重合），设点的横坐标为，的面积为，请直接写出与之间的关系式． 【分析】（1）根据点横坐标及得出纵坐标进而得出点坐标；最后通过两点坐标得出一次函数解析式； （2）根据各点坐标即三角形面积公式即可求出； （3）分情况讨论，利用图形面积的和差以及三角形的面积公式列式求解即可． 【解答】解：（1）将代入函数得点纵坐标为2， 将点；，代入得： 解得， 故解析式为：， 故答案为：；； （2） 如图：点的坐标为，，点的坐标为， ； （3）①如图，点在之间： ； ②点在点下方，如图： ； ③点在点的上面 ； 综上所述：． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形的面积的求解，会分割图形面积是关键． 二十四．根据实际问题列一次函数关系式 37．（蚌埠期末）某校为改善教学设备，第一年投资15万元，计划每过一年增加2万元，则年投资量（万元）与经过的年数的函数关系式为　　． 【分析】根据第一年投资15万元，计划每过一年增加2万元，进而直接得出与的关系式即可． 【解答】解：根据题意得出： 年投资量（万元）与经过的年数的函数关系式为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意得出正确等量关系是解题关键． 二十五．一次函数的应用 38．（2023秋•宣城期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为　　 A． B． C． D． 【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【解答】解：设甲仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数关系式为：，根据题意得： ， 解得， ； 设乙仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数关系式为：，根据题意得： ， 解得， ， 联立， 解得， 此刻的时间为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 39．（2023秋•淮北月考）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为（人，师生门票总金额为（元． （1）分别写出两种优惠方案中与的函数表达式； （2）请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少； （3）若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？ 【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额购买成人票金额除去3人后的学生票金额； 优惠方案②：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率，列出关于的函数关系式， （2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论 （3）把分别代入解析式解答即可． 【解答】解：（1）按优惠方案一可得 ， 按优惠方案二可得 ； （2）， ①当时，得，解得， 当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多； ②当时，得，解得， 时，，选方案一较划算； ③当时，得，解得， 当时，，选方案二较划算． （3）当时，，解得，不满足， 当时，，解得，满足题意， 学生有14人． 【点评】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点的取值，再进一步讨论． 二十六．一次函数综合题 40．（宿州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点、，已知，，则的面积是　　 A．6 B．3 C．12 D． 【分析】根据直线解析式分别求出点、的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：当时，， 解得， 点的坐标是，即， ， ， 点的横坐标是4， ，即， 的面积． 故选：． 【点评】本题是对一次函数的综合考查，根据直线的解析式求出点、的坐标是解题的关键，同时也考查了矩形的性质，难度不大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$